Desigualdades

1. MATE 3011 – PRESENTACION #6 Desigualdades

2. Desigualdades o Inecuaciones • Unadesigualdades un enunciadoquedeclaraque dos cantidades o expresiones NO son equivalentes. Porejemplo, 2x + 3 > 11. • Si se obtiene un enunciadocierto al reemplazar un númerob por la x , entoncesb esunasoluciónde la desigualdad.

3. Desigualdades (continuación) • Porejemplo, • x = 5 esunasolución de 2x + 3 > 11 yaque 13 > 11 is cierto, pero… • x = 3 noesunasoluciónyaque 9 > 11 esfalso. • Resolver unadesigualdadimplicaencontrar TODAS lassoluciones.

4. Soluciones y Desigualdades • Casitodaslasdesigualdadestienen un númeroinfinito de soluciones • Porejemplo, el conjunto de TODAS lassoluciones de la desigualdad 2 < x < 5 consiste de todos los númerosreales entre 2 y 5 . • Llamamos a esteconjunto un intervaloabierto y lo denotamos (2, 5) .

5. Soluciones y Desigualdades (continuación) • La gráfica del intervaloabierto (2, 5) es el conjunto de todos los puntos en la recta numéricaqueyacen entre x = 2 y x = 5, sin incluirlosextremos. • Ilustramos:

6. Intervalos • Las soluciones de la desigualdad 2 ≤ x ≤ 5 , SIincluyenx = 2 and x = 5 , y se denota [2, 5] , un intervalocerrado. • Aquí se muestra la gráfica de esteintervalocerrado:

7. Otrostipos de Intervalos • La tablamuestraotrostipos de desigualdades, queconsideraremos:

8. OtrosTipos (continuación)

9. Propiedades de Desigualdades • Nota quemultiplicar o dividir ambos lados de la desigualdadpor un número real negativoinviertela desigualdad.

10. Ejemplo Resuelve la desigualdad: Solución: , como desigualdad , como intervalo La gráfica es :

11. Ejemplo Resolver: Solución:

12. MásDesigualdades Solución: Un número es solución de la desigualdad dada si y solo si satisface simultáneamente: y

13. Solución (continuación)

14. Valor Absoluto

15. Ejemplo Resolver:

16. Desigualdadescuadráticas • Resolver la desigualdadcomosifueraunaecuacióncuadrática. • Las solucionesrealesde la ecuacióndividen el conjunto de los reales en regiones. • Debemosseleccionarpuntosde cadaregiónparadeterminarcuálregióncontienepuntosquesatisfacen la desigualdad. • Describir el conjunto de soluciones.

17. Desigualdades cuadráticas

18. Desigualdades cuadráticas • Elegir un valor representativo en cada región. x x= 4 x=0 x=-3

19. Desigualdades cuadráticas • Determinar y describir el conjunto de soluciones. x= 4 x=0 x=-3

20. Desigualdades cuadráticas

21. Desigualdades cuadráticas • Examinar un elemento representativo de cada región x = 0 x = -1 x = 1

22. Desigualdades cuadráticas • Determinar y describir el conjunto de soluciones. x = 0 x = -1 x = 1

23. DesigualdadesRacionales • A su vez, los signos de P y Q dependen de los ceros de P y Q, si los hay.

24. DesigualdadesRacionales • Resumiendo, para resolver una desigualdad de la forma (ó ): • Determine primeramente los ceros de P y Q. • Utilice los ceros para dividir la recta numérica en regiones. • Elegir un valor representativo en cada región. • Evaluar la ecuación racional en cada valor representativo y determinar si satisface o no la desigualdad. • Describir el conjunto de soluciones.

25. DesigualdadRacional • Solución: • El numerador de la expresión es positivo siempre. • Esta expresión será positivo cuando el denominador, x – 2, es positivo también. • x – 2 es positivo cuando x > 2. • El conjunto de solucioneses:

26. DesigualdadesRacionales • Determine primeramente los ceros de P y Q. • 2x – 1 = 0 cuando x = ½ . • 3x + 3 = 0 cuando x = -1. • Utilice los ceros para dividir la recta numérica en regiones.

27. DesigualdadesRacionales • Elegir un valor representativo en cada región. x = 0 x = 1 x = -2 • Evaluar la ecuación racional en cada valor representativo

28. DesigualdadesRacionales • Describir el conjunto de soluciones. x = 0 x = 1 x = -2