GRANDEURS ET MESURES

1. GRANDEURS ET MESURES Sommaire I Qu’est-ce qu’une grandeur ? II Exemples de grandeurs III Démarche commune à l’étude des différentes grandeurs IV Le calcul sur les grandeurs V Quelques problèmes

2. I Qu’est-ce qu’une grandeur ? Les notions de grandeur et de mesure tiennent une place importante dans la vie quotidienne : « Sur les routes, la vitesse est limitée » « Cette valise n’est pas assez grande pour y placer toutes mes affaires »« Les êtres vivants grandissent » etc. Mais il n’est pas facile de définir ce qu’est une grandeur. On peut se contenter de la « définition » suivante : une grandeur est un attribut d’un objet, d’une personne, d’un phénomène,… susceptible de variation (pour un même « objet » ou d’un « objet » à l’autre). grandeurs mesurables(on peut en plus définir somme et rapport) Ex : la longueur (on sait définir la somme de deux longueurs et le rapport entre deux longueurs) les grandeurs repérables (on peut définir une relation d’ordre) Parmi les grandeurs, on peut distinguer grandeurs non mesurables Ex : la dureté d’un matériau (on sait seulement définir ce que veut dire «être plus dur que ») les grandeurs non repérables Ex : la gentillesse (notion trop subjective pour qu’on puisse définir une relation d’ordre)

3. les grandeurs de base Exemples : longueur, masse, durée, angle,… On distingue également les grandeurs dérivées Exemples : aire, volume, vitesse,… Remarques : - Première remarque : On peut définir plusieurs grandeurs pour un même objet . Exemple : on peut définir le périmètre d’une surface (c’est une longueur) et on peut définir l’aire de cette surface. - Deuxième remarque : Définir précisément ce qu’est telle ou telle grandeur n’est pas toujours facile. Exemple : comment définir la masse d’un objet ? A l’école, on ne va pas donner une définition de la masse. On va approcher cette notion à l’aide de manipulations permettant de faire des comparaisons :

4. objet A « B est plus lourd que A » objet B objet A objet C objet A objet D Les objets A, C et D ont même masse. - Troisième remarque : aujourd’hui, nous sommes entourés d’appareils qui évitent que nous ayons à faire des comparaisons entre objets (exemple concernant la masse : nous utilisons des balances à affichage digital). Il faut, bien entendu, apprendre à utiliser ce genre d’appareils mais en amont les comparaisons d’objets sont indispensables pour avoir une idée de ce qu’est telle ou telle grandeur (exemple concernant la masse : utilisation de balances permettant des comparaisons directes entre objets).

5. - Quatrième remarque : Certaines grandeurs sont difficiles à mesurer. Exemple : comment mesurer l’épaisseur d’une feuille de papier ? Si on ne dispose pas de l’instrument de mesure adéquat, on mesurera, par exemple, l’épaisseur de 100 feuilles de papier puis on effectuera un calcul. - Cinquième remarque : Les tableaux de conversion doivent être connus et utilisés mais pas de façon systématique (les relations entre les unités usuelles peuvent se faire sans recours à ce tableau)

6. - Autre remarques : On écrit « 10 g 25 cg » ou « 10,25 g » mais pas « 10 g,25 » Attention : cm² signifie (cm)² et pas c(m)² donc 1 cl = mais 1cm² (être conscient de cette difficulté) On écrit km/h (ou ) mais pas kilomètre/h ou km/heure et surtout pas kmh (on a intérêt à dire « kilomètre par heure »)

7. II Exemples de grandeurs 1°) Exemples de grandeurs relevant des mathématiques et des sciences physiques abordées à l’école primaire Longueur Lignes Angle Secteurs angulaires Objets variés Masse Événements Durée Aire Surfaces Volume Solides 2°) Autre exemples de grandeurs : masse volumique, intensité d’un courant électrique, etc.

8. III Démarche commune à l’étude des différentes grandeurs 1°) Première étape : comparaisons (directes et indirectes) permettant de « faire apparaître » la nouvelle grandeur qu’on veut étudier. Quelle surface a la plus grande aire ? Premier exemple (notion d’aire) : Il va sans dire qu’il faudra adapter cet exercice pour la classe (on peut penser, par exemple, à une situation avec deux terrains de jeux où on se demande quel est le terrain où il y a le plus de place pour jouer) Quelle surface a la plus grande aire ? Quelle surface a la plus grande aire ? Il s’agit de découvrir qu’on peut couper la première surface en deux morceaux et réassembler les morceaux pour obtenir la deuxième surface.

9. Deuxième exemple (notion de volume) Quel est celui des deux récipients qui peut contenir le plus de liquide ? On peut envisager une comparaison directe par transvasement ou une comparaison indirecte (on utilise un troisième récipient transparent qui permet de comparer les hauteurs de liquide obtenues quand on transvase dans celui-ci soit le contenu du premier récipient soit le contenu du deuxième récipient).

10. 2°) Deuxième étape : mesurages en utilisant un « objet » choisi arbitrairement, appelé objet étalon (la grandeur de cet objet est l’unité choisie pour effectuer le mesurage) Premier exemple (notion d’aire) Quelle surface a la plus grande aire ?

11. Autres exemples d’exercices pour cette deuxième étape : 1°) Mesurer les aires des deux surfaces coloriées en utilisant l’unité 1 2°) Mesurer les aires des deux surfaces coloriées en utilisant l’unité 2 3°) Mesurer les aires des deux surfaces coloriées en utilisant l’unité 3 Unité 1 Unité 2 Unité 3

12. Deuxième exemple (notion de volume) Combien de verres peut-on verser dans le premier récipient ? Combien de verres peut-on verser dans le deuxième récipient ? 3°) Troisième étape : introduction d’une unité « légale » 4°) Quatrième étape : utilisation de tout un système d’unités 5°) Cinquième étape : établissement de formules

13. IV Le calcul sur les grandeurs Des écritures du type 2 m + 5 m = 7 m et 124 cm + 2m = 3,24 m sont correctes (leur usage est même recommandé) car il s’agit d’égalités entre longueurs (et non entre nombres) qui ont du sens puisqu’on sait définir la somme de deux longueurs. Exemples de calculs sur les grandeurs : 3 h 15 min = 3,25 h 1 m 7 cm = 1,07 m 2 h 30 min = 2,5 h 3 kg + 500g = 3000 g + 500 g = 3 500 g 3h 45 min + 1h 28 min = 4h 73 min = 4h + 60min + 13 min = 4h + 1h + 13 min = 5h 13 min 3 × 25 min = 75 min = 60 min + 15 min = 1h 15 min Pour le périmètre d’un carré : 4 × 37 cm = 148 cm = 1,48 m Pour la périmètre d’un polygone : 1,5 cm + 21 mm + 0,5 dm + 3 cm = 1,5 cm + 2,1 cm + 5 cm + 3 cm = 11,6 cm

14. Pour l’aire d’un rectangle : 3 cm × 4 cm = 12 cm² 3 cm × 1,5 m = 3 cm × 150 cm = 450 cm² ou 3 cm × 1,5 m = 0,03 m × 1,5 m = 0,045 m² Pour la calcul de la vitesse d’un véhicule qui parcourt 40 km en 2 h 30 min : 3 kg × 5 €/kg = 15 € Si B est un point du segment [AC] et si AB = 5 cm et BC = 4 cm, on pourra écrire : AB + BC = 5 cm + 4 cm = 9 cm ou AB + BC = 5 + 4 = 9 (en cm) Calcul avec des grandeurs Calcul avec des nombres

15. Remarque concernant les calculs faisant intervenir des grandeurs : Comme dans d’autres domaines, des techniques de calcul réfléchi peuvent être utilisées (en particulier pour des calculs concernant des durées). Exemples : Combien de temps dure le trajet d’un train qui part à 7 h 17 min et arrive à 9 h 05 min ? On peut utiliser une ligne numérique dessinée (ou virtuelle) et travailler sur les écarts en utilisant des points d’appui « faciles » : soit 1h 48 min 5 min 43 min 1 h 7 h 17 min 9 h 9h 5 min 8 h ou dire : Si le train roulait durant 2 h, il arriverait à 9 h 17 min. Comme il arrive à 9 h 5 min, il roule donc 12 min de moins que 2h. Il roule donc durant 1 h 48 min.

16. V Quelques problèmes : Le dimanche matin, un escargot commence l’escalade d’un mur de 4 mètres de haut.Chaque jour, il grimpe de 2 mètres. Chaque nuit, il redescend d'un mètre. Quel jour atteint-il le sommet du mur ? Solution Mardi soir Dimanche matin Mardi matin Lundi soir Dimanche soir Lundi matin 4 m 3 m 2 m 1 m

17. Placez les objets de 1 kg, 2 kg, 3 kg, 4 kg et 5 kg sur la balance pour qu'elle soiten équilibre. Justifiez votre réponse.

18. Solution 2 kg 1 kg 3 kg 1 kg 2 kg 3 kg 1 4 kg 5 kg 4 kg 5 kg Masse totale à répartir entre les deux plateaux de la balance :1 kg + 2 kg + 3 kg + 4 kg + 5 kg + 6 kg + 7 kg = 28 kg Sur chacun des plateaux, il doit y avoir 14 kg. On doit donc ajouter 8 kg sur le plateau de droite et 7 kg sur le plateau de gauche. La seule possibilité pour ajouter 8kg sur le plateau de droite est d’ajouter 3kg et 5kg. On ajoute alors bien 7 kg sur le plateau de gauche car 1 kg + 2 kg + 4 kg = 7 kg

19. Si on prend comme unité d’aire l’aire d’un carreau, quelle est l’aire de la partie hachurée de la figure ci-dessous ? Solution : 1°) Aire totale de la figure = 10 2°) Aire totale de la partie non hachurée : 4 + 1,5 + 1 = 6,5 3°) Aire de la partie hachurée : 10 - 6,5 = 3,5

20. A l'école, il y a deux horloges. L'une avance de quatre minutes toutes les heureset l'autre retarde d'une minute toutes les heures.Le directeur les a mises à l'heure hier et maintenant l'une marque 17h 36min et l'autre15h 36 min. Quelle heure est-il? Solution : Depuis que le directeur a mis les pendules à l’heure la différence entre les heures indiquées par les deux horloges a atteint 2 heures soit 120 minutes. Or cette différence valait 0 quand le directeur a mis les pendules à l’heure et a augmenté ensuite de 5 minutes toutes les heures (car une des horloges avance de quatre minutes toutes les heures alors que l’autre retarde d’une minute toutes les heures). Depuis que le directeur a mis les pendules à l’heure, il s’est donc écoulé 120 : 5 heures soit 24 heures. On peut maintenant trouver l’heure qu’il est de deux manières : La pendule qui avance a pris 24 × 4 soit 96 minutes d’avance c’est-à-dire 1h 36 minutes d’avance. Il n’est donc pas 17h 36min comme l’indique la pendule qui avance mais17h 36min – 1h 36min soit 16h. ou La pendule qui retarde a pris 24 × 1 minutes soit 24 minutes de retard. Il n’est donc pas 15h 36min comme l’indique la pendule qui retarde mais 15h 36 min + 24 min soit 16h.

21. Trouver de nombreuses façons différentes et originales de partager un rectangle en quatre régions de même aire. Quelques réponses possibles :

22. Quelle que soit la façon de regarder cet objet on le voit toujours ainsi : Chacun des petits cubes composant cet objet à des arêtes qui mesure 1cm. Quel est le volume de cet objet ? Exemple de solution Nombre de petits cubes composant cet objet (on découpe l’objet en tranches horizontales) : 9 + 9 + 25 + 9 + 9 = 61 Chaque petit cube a un volume égal à 1 cm³. Le volume de l’objet est donc égal à 61 cm³ D. Pernoux http://dpernoux.net