Solitäre Wellen & Solitonen

1. Solitäre Wellen &Solitonen

2. Solitäre Wellen & Solitonen • Einführung (Entdeckung der Solitonen) • Korteweg – de – Vries – Gleichung • Fermi – Pasta – Ulam – Problem • Arbeiten von Zabusky & Kruskal • Die Sine – Gordon – Gleichung • Grundprinzipien für lineare Wellen (Ausbreitung) • Elementare Ideen zur Ausbreitung nichtlinearer Wellen

3. Die Entdeckung der Solitonen Ich beobachtete die Bewegung eines Bootes, das von einem Pferdegespann ziemlich rasch einen engen Kanal entlang gezogen wurde, als das Boot plötzlich anhielt nicht jedoch die Wassermasse im Kanal , die das Boot in Bewegung gesetzt hatte; sie sammelte sich rund um den Schiffsbug in einem Zustand wilder Erregung, ließ das Schiff dann plötzlich hinter sich , rollte mit hoher Geschwindigkeit vorwärts, nahm dabei die Form einer großen einzelnen Erhöhung an, ein abgerundeter , glatter, wohldefinierter Haufen Wasser, der entlang dem Kanal anscheinend ohne Formveränderung oder Geschwindigkeitsabnahme seinen Lauf nahm. Ich begleitete diese Welle auf meinem Pferd und überholte sie , während sie sich immer noch mit einer Geschwindigkeit von etwa acht oder neun Meilen pro Stunde bewegte, wobei sie ihre ursprüngliche Gestalt von etwa 30 Fuß Länge und ein bis eineinhalb Fuß Höhe beibehielt. Die Höhe nahm allmählich ab, und nachdem ich das ganze für etwa ein oder zwei Meilen beobachtet hatte, verlor ich es in den Windungen des Kanals aus dem Auge.

4. Die Entdeckung der Solitonen • Was passiert einer gewöhnlichen Welle in einem sehr tiefen Kanal ??? • Funktionenreihe nach Fourier: Verschiedene Frequenzen Verschiedene Geschwindigkeiten

5. Die Entdeckung der Solitonen • Dispersion = Auseinanderlaufen von Wellen verschiedener Frequenzen Russell‘s Welle Keine Dispersion Warum ? Nichtlineare Kopplung

6. Die Entdeckung der Solitonen Russell‘s Experimente Geschwindigkeit Amplitude Translationswellen

7. Die Entdeckung der Solitonen

8. Die Entdeckung der Solitonen Scheinbar einzelne Welle teilt sich auf langsam schnell ? Gedächtnis ? Alles beim Alten außer Kleine Phasenverschiebung

9. Die Entdeckung der Solitonen Soliton Gebrochene Welle

10. Korteweg-de-Vries-Gleichung • 10 Jahre nach Russell‘s Tod – 2 Holländer folgende Formel hergeleitet: D.J.Korteweg Umskalierung Suchen Translationsinvariante Lösung

11. Korteweg-de-Vries-Gleichung • Translationsinvariante Lösung der Form: mit: Forderung: Lösung:

12. Fermi-Pasta-Ulam-Problem • Verknüpfung von: Nichtlinearem Problem mit KDV-Gleichung !!! Betrachte: N-1 N N+1 Nur Ww. unter Nachbarn Bewegungsgleichung:

13. Fermi-Pasta-Ulam-Problem Bsp‘s:   …sind so gewählt, dass die max. Auslenkung von Q herrvorgerufen durch die Nichtlinearitäten sehr klein sein soll !!

14. Fermi-Pasta-Ulam-Problem Numerisch Integrieren Anfangsdaten eines Sinus • Ziel: In die KDV-Gleichung umschreiben • Qn in eine kontinuierliche Form bringen mit: Mac-Laurin-Erweiterung • Bewegungsgleichung:

15. Fermi-Pasta-Ulam-Problem • Betrachte: f….als Mac-Laurin-Reihe: • Die Wahl von f wie in (1) führt nun zu: • mit: • Boussinesq-Gleichung!!!

16. Fermi-Pasta-Ulam-Problem • Lösung der Boussinesq-Gln.ist (für endlose Kette): • Ziel: Wollen die Boussinesq-Gln. auf die KDV-Gln. reduzieren!!! • Skalierung: für…x,t,u, + neuen Parameter einführen • Entwickeln: u in … • Konsistenz nur wenn:

17. Fermi-Pasta-Ulam-Problem • Die KDV-Gleichung erhält man wenn man die Gln. für u(1) integriert: • Für kubisch-nichtlineare Ketten mit f(Q) wie in (2) erhält man: • Müssen r = 0 wählen: • Konsistenz nur wenn: • Integration führt dann auf: Modifizierte KDV-Gleichung

18. Zabusky & Kruskal • Def: ……..“Solitäre Welle“ Welle die sich ohne Änderung der Form fortpflanzt und ein lokales Profil besitzt • Soliton: ….Taucht erstmals auf in den Arbeiten von Z & K • KDV-Gleichung: ….Multiplizierten den 3-ten Ableitungsterm mit Faktor: 0,022 & Periodische Randbedingungen: • Ergebnis: ….Welle mit stabiler Amplitude & fast identisches Profil wie“ Solitäre . Welle!“ Viel wichtiger als die Form ist die Teilcheneigenschaft !!!

19. Zabusky & Kruskal KDV-Soliton…. (sech)2 - Form MKDV-Soliton…. sech - Form • Ziel: …. Wollen Modell studieren für den Stoß zweier Solitonen • … müssen die KDV – Gln. erstmal in eine homogene Gln. transformieren. • …Ausgangspunkt ist die KDV – Gleichung in der Form: Folgt eine in f homogene Gleichung: Cole – Hopf - Transformation

20. Zabusky & Kruskal • Ziel: … Wollen diese Gleichung lösen • Suchen eine Lösung der Form:

21. Zabusky & Kruskal • Weil lineare Gln.: …soviele Exponentialfkt. einfügen wie man will • Wählen nur zwei Stück : • Exakte Lösung von f(1) einsetzen in rechte Seite obiger Gln.

22. Zabusky & Kruskal • Integration gibt: • ??? Endlos ???: • Setzen Lsg. von f(1) und f(2) in die rechte Seite ein: • Für alle folgenden Iterationen gilt: • Absolut notwendig damit wir eine exakte Lsg. erhalten !!! • Wir erhalten somit als exakte Lsg. :

23. Die Sine – Gordon – Gleichung • Klein – Gordon – Gleichung: • Herleitung aus der Lagrangedichte: • Skyrme (1958): „Nichtlineare Feldtheorie“ • Suchen nach stabilen Wellenlösungen: ( Mit Lorentzinvarianz )

24. Die Sine – Gordon - Gleichung Kink Kollision zweier Kinks 1875 zeigte Bäcklund den Aufbau einer Lösungshierarchie Bäcklund - Transformation

25. Die Sine – Gordon - Gleichung

28. Die Sine – Gordon - Gleichung • Ziel: Suchen die Bäcklundtransformierte für die Sine – Gordon - Gleichung • Betrachte: Allgemeine nichtlineare Klein – Gordon – Gleichung: In den Koordinaten: • Annahme: Beide Lösungen sind unabhängig: • Betrachte: Gleichungspaar: Mit den Variablen:

29. Die Sine – Gordon - Gleichung • Bisher: Form von „F,g und f“ nicht spezifiziert Obige Form soll dazu dienen die Ableiungsterme für  und t in zwei Gleichungen zu entkoppeln. Ableiten obiger Gleichung führt zu: • Linearkombination: Wenn  und ‘unabhängige Lösungen sind, finden wir: • Ableiten:

30. Die Sine – Gordon - Gleichung •  Muß eine Konstante sein !!! • Betrag von  ist nicht so wichtig wie sein Vorzeichen: • Mit: • folgt: Sine – Gordon = NLKG + Bäcklundtransformation

31. Die Sine – Gordon - Gleichung Sei eine Lsg. gegeben: 2-parametrige Familie von verwandten Lsg. Einfachste Lösung: Einsetzen + Integration: Entspricht der Single – Kink – Lösung ! Weitere Lösungen durch geometrische Konstruktion: 0 a2 a1 Kommutativ !!! 1 2 a2 a1 3

32. Die Sine – Gordon - Gleichung • Insgesamt erhält man also: • Mit den Single-Kink-Lösungen: • Und der Lösung:

33. Grundprinzipien für lineare Wellen • Elementarste lineare Welle: Dispersionsrelation: • Bsp: Klein – Gordon – Gleichung: Hat die Dispersionsrelation: Phasengeschwindigkeit: Gruppengeschwindigkeit:

34. Grundprinzipien für lineare Wellen • Wenn (k) komplex: • Harmonische Lösungen wachsen dann exponentiell und: • Instabil für: • Zerfallen exponentiell für: • Schwierig wenn: …Hierbei ist L ein linearer Operator

35. Grundprinzipien für lineare Wellen • Bsp. Wenn Folgt: Reine Dispersionsgleichung mit: Wenn  reell und positiv, dann ist die Gleichung dissipativ mit: • Obige Gleichung ist ein brauchbares Beispiel für das Anfangswertproblem

36. Grundprinzipien für lineare Wellen • Seien die Anfangswerte gegeben durch: • Ziel ist die Bestimmung von: • Anfangswerte gegeben durch Fourier • Für ein allgemeines lineares Gln-Sys. ist  = (k) ,wie oben, erhält man ein Lsg. Für alle t >0 durch:

37. Grundprinzipien für lineare Wellen • Wählen nun (x,t) wie folgt: • Vertauschen die Integrationen: Mit: • Müssen die beiden Integrale abschätzen I2 ist ungerade deshalb: I1 kann man wie folgt abschätzen:

38. Grundprinzipien für lineare Wellen • Also: • Ableiten nach a und integrieren gibt: Mit: Folgt: • Als Ergebnis erhalten wir also:

39. Grundprinzipien für lineare Wellen • Gaussfkt. für Anfangswerte: • Ergebnis ist: Wenn  reell und positiv ist dann… für Wenn: dann oszilliert  • Unterschied Dissipation und Dispersion

40. Ausbreitung Nichtlinearer Wellen • Lineare Version der KDV in der Form: Mit: • Ist eine rein dispersive Gleichung ! • Der uxxx-Term bringt dispersive Effekte in die dispersionslose Gleichung • Betrachte nun: • Problem: …Entwicklung der Anfangswerte • Für die dispersionslose Gleichung:

41. Ausbreitung Nichtlinearer Wellen Analogie: Hat als Lösung: Welche sich mit der Geschwindigkeit u0 ausbreitet. Mit gegebenen Anfangswerten: Lautet die komplette Lösung:

42. Ausbreitung Nichtlinearer Wellen • Umschreiben in: • Nachprüfen: und gibt Welches für Lösungen von …gilt: • Für die meisten Funktionen auch nicht einfacher! • Aber:…

43. Ausbreitung Nichtlinearer Wellen • Die funktionale Gleichung ist dann: • Dies wird gelöst von: u t = 0,0 t = 0,5  u t = 1,5 t = 1,0  • Minimale Brechzeit:

44. Ausbreitung Nichtlinearer Wellen • Mehrwertigkeit interpretieren als Diskontinuität für t >Brechzeit: • Galilei-Transformation führt auf: • Ersetzen die Mehrwertigkeit durch Diskontinuität !!! u X • Problem: Wo fügt man die Diskontinuität ein ???

45. Ausbreitung Nichtlinearer Wellen • Fläche unter den Anfangsdaten: • Flächen unter dem Dreieck: • Ähnliche Dreiecke: • Man erhält:

46. Ausbreitung Nichtlinearer Wellen • Ergebnis: • Ohne Dispersiven-Term tritt Mehrdeutigkeit nach endlicher Zeit auf !!! • Durch Einführung von uxxx-Term wird Mehrdeutigkeit verhindert • Durch den Zabusky-Term wird Mehrdeutigkeit auf alle Zeiten verhindert • Dispersion wirkt der Tendenz der NL Diskontinuitäten zu bilden entgegen !!!

47. Ausbreitung Nichtlinearer Wellen • Einführung von Dissipation durch: • Dies ergibt die Burger-Gleichung: • Kann linearisiert werden durch Cole-Hopf-Transformation • Man erhält: • Mit: • Folgt: • Schließlich:

48. Ausbreitung Nichtlinearer Wellen • KDV ist die einfachste dispersive Erweiterung von • Burger ist die einfachste dissipative Erweiterung von • Einfachste Lösung der Burger-Gleichung ist von Taylor u x

49. Ausbreitung Nichtlinearer Wellen Nichtlinearität Soliton Dispersion Wechselwirkung

50. Ausbreitung Nichtlinearer Wellen Ausbreitung Nichtlinearer Wellen Nichtlinearität Soliton Dispersion Wechselwirkung