COMBINACIONES

1. Las combinaciones se forman también de r elementos de un conjunto disponible de n de ellos. Se diferencian de las permutaciones en virtud de que en las combinaciones interesa solamente la selección de elementos y no el orden de ellos. Bernardo F y Marco A. G. COMBINACIONES Para determinar el número de combinaciones de n objetos de orden r, que se representan mediante Cnro (nr) o nCr, considerando que están formadas las combinaciones Cnr, si a cada una se les permuta sus r objetos, tenemos r! maneras distintas de hacerlo, el producto r!xCnr nos da el total de permutaciones de n objetos dosponibles tomados de orden r, por lo tanto r!xCnr=Pnr , despejando Cnr= Pnr/r! = n!/[r!(n-r)!].

2. Solución: C52=5!/2!(5-2)!=5!/(2!x3!)=120/(2x6)=120/12=10 Que son: {DJ, DO, DP, DV, JO, JP, JV, OP, OV, PV} Bernardo F y Marco A. G. Ejemplo: Un comandante de la policía federal tiene a su disposición cinco personas (Daniel, José, Oscar, Pedro y Víctor), requiere para el turno vespertino elegir a dos de ellas para formar una pareja que realice, en cierta zona, el patrullaje correspondiente. ¿De cuántas maneras diferentes el comandante puede formar la mencionada pareja? Ejemplo: ¿De cuántas formas diferentes un director técnico puede formar el equipo titular de basquetbol (cinco personas), si dispone de diez jugadores? Solución: C105=10!/[5!(10-5)!]=10!/(5!x5!)=(10x9x8x7x6)/5! C105=252 formas diferentes

3. Bernardo F y Marco A. G. NÚMEROS COMBINATORIOS En matemáticas son muy importantes los números combinatorios, que se representan mediante (nr), donde: n es el numerador y r el orden, la expresión que nos da el número combinatorio es n!/[r!(n-r)!]. PROPIEDADES 1) Cuando los números combinatorios son de orden cero, toman el valor uno. (n0)=n!/[0!(n-0)!]=n!/(1xn!)=n!/n! 2) Si el numerador y el orden de los números combinatorios es igual, también toman el valor uno. (nn)=n!/[n!(n-n)!]=n!/(n!x0!)=n!/n!=1 3) Los números combinatorios de orden uno son iguales a n. (n1)=n!/[1!(n-1)!]=n!/(n-1)!=n

4. Bernardo F y Marco A. G. 4) Si n es el numerador de dos números combinatorios con un orden cada uno de ellos, que al sumarse complementen dicho numerador (r+[n-r])=n, los números combinatorios son iguales. (nr)=(nn-r), desarrollando el último (nn-r)=n!/([n-r]!x[n-(n-r)]!) (nn-r)=n!/([n-r]!xr!) L. Q. Q. D. 5) Si dos números combinatorios con igual numerador, pero uno con orden r y el otro con orden r+1, se suman; siempre se tiene otro número combinatorio con numerador n+1 y de orden n+1. (nr)+(nr+1)=(n+1r+1). Demostración: (nr)+(nr+1)=n!/(r!x[n-r]!)+n!/([r+1]!x[n-(r+1)]!) Aplicando la fórmula del factorial a los denominadores (nr)+(nr+1)=n!/(r!x[n-r-1]!x[n-r])+n!/([r+1]xr!x[n-r-1]!)

5. Bernardo F y Marco A. G. Complementando denominadores para igualarlos (nr)+(nr+1)=n!(r+1)/([r+1]xr!x[n-r-1]!x[n-r]!)+n!(n-r)/([r+1]!x[n-r-1]!x[n-r]) Efectuando operaciones (nr)+(nr+1)=[n!(r+1)+n!(n-r)]/([r+1]xr!x[n-r-1]!x[n-r]!) (nr)+(nr+1)=[n!(n+1)]/([r+1]xr!x[n-r-1]!x[n-r]!) Aplicando la fórmula del factorial en numerador y denominado, tenemos: (nr)+(nr+1)=(n+1)!/([r+1]!x[n-r]!) L. Q. Q. D. EJERCICIOS I) Trabajando con Excel Obtener el triángulo de Pascal. II) Mediante los números combinatorios obtener el quinto término del binomio (a+b)7.

6. Bernardo F y Marco A. G. III) De un grupo de diez personas debe elegirse un comité formado por cinco. Calcular el número de comités diferentes que se pueden elegir, si: • Las diez personas son elegibles libremente • Dos de las personas elegibles no pueden aparecer juntas en el comité • Dos de las personas deben estar siempre juntas, dentro del comité o fuera de él • En el comité debe haber un presidente IV) En un plano hay n puntos, sin que haya tres alineados. Calcular el número de rectas que se pueden definir con los puntos del plano.