1 / 41

Metody matematyczne w in ż ynierii chemicznej

Metody matematyczne w in ż ynierii chemicznej. Wyk ł ad 3 . Ca ł kowanie numeryczne. Graficzna definicja ca ł ki oznaczonej. P. a. b. P i. Graficzna definicja ca ł ki oznaczonej. y. f ( x ). x. x 2. x 1. a. b. P i. Metoda prostok ą tów. y. a. b. x. x 2. x i. x i +1. x N.

bonifacy-ania
Download Presentation

Metody matematyczne w in ż ynierii chemicznej

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Metody matematyczne w inżynierii chemicznej Wykład 3. Całkowanie numeryczne

  2. Graficzna definicja całki oznaczonej P a b

  3. Pi Graficzna definicja całki oznaczonej y f(x) x x2 x1 a b

  4. Pi Metoda prostokątów y a b x x2 xi xi+1 xN x0 x1

  5. Błąd metody zależnośću(x)= przybliżamy (aproksymujemy) inną funkcjąU(x, h) = Wymagane jest by funkcja "zastępcza" dla h  0 była zbieżna do u(x). Oznacza to, że różnica (Residuum) R musi dążyć do 0 dla h dążącego do 0

  6. Błąd metody Dla metody istotne jest jak szybko zmniejsza się R,co można zapisać n – dodatnia liczba całkowita oznaczająca rząd metody Dla jednego kroku metoda prostokątów ma rząd n = 2 Wielokrotne użycie każdej z metoda zmniejsza rząd o 1 Ostatecznie

  7. Pi Metoda trapezów y a b x x2 xi xi+1 xN x0 x1

  8. Metoda trapezów Ostateczny wzór na obliczanie całki metodą trapezów:

  9. Metoda trapezów algorytm • Przeczytaj granice całkowania, x0 i xN • Przeczytaj ilość podziałów N • Oblicz h = (x0 - x1)/N • Oblicz y0 i yN • Oblicz P = h/2(y0 + yN) • Przyjmij i = 1 • Oblicz xi = x0 +ih • Oblicz yi • Oblicz P = P + hyi • Zwiększ i o 1 (i=i+1) • Jeżeli iN-1 to idź do p. 6 • Drukuj P • Koniec

  10. Czytaj N, x0,xN P = P + hyi h = (x0+xN)/N i = i + 1 y0 = y(x0) i  N-1 yN = y(xN) Drukuj P P = h/2(y0 + yN) koniec i = 1 xi = x0+ih y = funkcja x yi = y(xi) powrót 1 Metoda trapezów schemat blokowy start 1 y(x)

  11. Metoda Simpsona y2 y1 y0 P x0 x0+2h x0+h

  12. Metoda Simpsona Inna postać:

  13. Metoda Simpsona • n 2 • n = 2k, gdzie k to dowolna liczba naturalna Warunki jakie musi spełniać ilość podziałów n:

  14. Metoda Simpsona program 10 DEF FNy(x) = jakaś funkcja x 20 INPUT "Podaj granice całkowania:"; x0, xN 30 INPUT "Na ile części podzielić przedział (liczba parzysta)"; N 40 IF (INT(N/2)-N/2) <> 0 THEN PRINT "N nie jest liczbą parzystą": GOTO 30 50 h = (xN-x0)/N 60 P = h/3*(FNy(x0)+FNy(xN)) 70 FOR i = 1 TO N-1 80 xi = x0 + i*h 90 P = P + h/3*(3+(-1)^(i+1))*FNy(xi) 100 NEXT i 110 PRINT "Całka ma wartość: "; P 120 END

  15. Metoda Romberga • Modyfikacja metody trapezów • Zwiększenie dokładności poprzez zastosowanie ekstrapolacji http://en.wikipedia.org/wiki/Richardson_extrapolation

  16. Metoda Romberga Granice całkowania <a, b> dzielimy na N części to Przybliżoną wartość całki określa wzór: Jeżeli krok zmniejszymy 2-krotnie: W ten sam sposób obliczmy: Jest oczywiste, że dla N otrzymamy wynik pozbawionybłędu metody. Pozostaje problem błędu zaokrąglenia!

  17. Metoda Romberga Utwórzmy nowy ciąg zgodnie z równaniami: itd. Można wykazać, że ciąg taki jest szybciej zbieżny niżciąg pierwotny.

  18. Metoda Romberga Można utworzyć ciąg: itd. który jest jeszcze szybciej zbieżny.

  19. yi+1 y(2i+1)/2 yi y3/2 y1/2 y1 y0 x0 x1 xi xi+1 x1/2 x(2i+1)/2 x3/2 Metoda Romberga Obliczenie przy znanym

  20. Metoda Romberga przykład Obliczyć całkę oznaczoną: 0,693 147 181

  21. Szacowanie błędu całkowania numerycznego Ogólny wzór na przybliżoną całkę oznaczoną: Jeżeli obliczymy wartość całki dla dwóch kroków o długości h1 = h oraz h2 = h/2

  22. - Szacowanie błędu całkowania numerycznego błąd metody jest funkcją kroku: Zakładamy, że h jest bardzo małe Poszukujemy tylko wartości A Podstawiając h:

  23. Szacowanie błędu całkowania numerycznego

  24. Szacowanie błędu całkowania numerycznego

  25. Metoda Monte Carlo

  26. Zasada metody fmax(x) a a b

  27. Generowanie punktów • Generuje się współrzędne x i y • Wykorzystuje się liczby losowe o rozkładzie jednostajnym • Domyślny generator ma zakres 0-1 • Współrzędna x = a + l.l.*(b-a) • Współrzędna y = l.l.*fmax(x)

  28. Obliczanie ilości trafień • Wylosowany punkt o współrzędnych (xi, yi) jest trafiony jeżeli:

  29. Dokładność • Dokładność metody zależy od: • Ilości wygenerowanych punktów • Jakości generatora liczb losowych

  30. Algorytm • Podaj granice całkowania i funkcję f • Podaj ilość losowań N • Znajdź fmax • I,j=0 • X=a+rnd*(b-a) • Y=rnd*fmax • I=I+1 • Jeżeli f(X)<=Y to j=j+1 • Jeżeli i<N to idź do 4 • P=i/j*(b-a)*f(b) • Drukuj P

  31. Numeryczne obliczanie pochodnych

  32. x0 x2 Pochodne funkcji w punkcie x1

  33. - Pochodne centralne

  34. Pochodne centralne O(h2)

  35. Pochodne centralne O(h3)

  36. Pochodne w przód/w tył O(h)

  37. Pochodne w przód/w tył O(h2)

  38. Pochodne w przód/w tył O(h3)

  39. Zastosowanie numerycznego obliczania pochodnej w algorytmie znajdowania pierwiastków metodą Newtona

  40. Algorytm metody Newtona Wprowadzić punkt startowy x1 oraz dokładność Obliczyćy1 Obliczyćy'1 Obliczyć Jeżeli |x2-x1| todrukuj x2, koniec. x1= x2 Powrót do punktu 2 Koniec.

  41. Algorytm obliczenia pochodnej 3.1 Przyjąć krok h = 0.001 3.2 Obliczyć y0 = f(x-h) 3.3 Obliczyć y2 = f(x+h) 3.4 Obliczyć y' = (y2- y0 )/(2h) 3.5. Sprawdzić, czy y' nie jest równe 0. Jeżeli tak drukuj informację "zły punkt startowy" i zakończ program.

More Related