La dinámica de reservas y flujos

1. La dinámica de reservas y flujos Charles Nicholson Department of Applied Economics and Management, Cornell University

2. La relación entre reservas y flujos • Para comprender la dinámica de un sistema, es importante relacionar los comportamientos de las reservas y flujos en el sistema, por ejemplo: • Dado los flujos hacia la reserva, ¿cuál es el comportamiento en tiempo del valor de la reserva? • Dado el comportamiento en tiempo de la reserva, ¿cuál debería haber sido la tasa neta promedio de cambio? • Se pueden contestar estas preguntas con cálculo… Lectura: Aracil y Gordillo, capítulo 3

3. La relación entre reservas y flujos • El cambio en la reserva = ingresos – egresos • = “el flujo neto” • El valor de la reserva integra los flujos • El flujo neto es el derivado de la reserva • Podemos derivar expresiones apropriadas, pero también podemos utilizar una alternativa para desarrollar nuestra intuición: • “Integración gráfica”

4. Integración gráfica • Dado una gráfica de comportamiento de flujos en tiempo, siempre se puede inferir el comportamiento de la reserva • Dado este comportamiento, se puede inferir el patrón de flujos netos hacia (o desde) la reserva

5. Integración gráfica: un ejemplo • Una reserva con valor inicial, St0 = 100 • Con una unidad de “unidades” • El flujo inicial = 0 unidades/mes • Incrementa a 20 unidades/mes en t=10 • Disminuye a 0 unidades/mes en t=20 • ¿Cuál es el comportamiento de la reserva?

6. Integración gráfica: un ejemplo Flujo neto, unidades/mes La reserva, unidades

7. Integración gráfica: un ejemplo • Considerar una sola reserva • Un ingreso, un egreso • El egreso = 50 • El ingreso es variable • Dibujar el valor de la reserva en tiempo • Sugerencia: Dibujar el valor de ingreso neto en tiempo primero

8. Integración gráfica: Ejercicio

9. Integración gráfica: Ejercicio S incrementa con una tasa decreciente S no cambia S disminuye, tasa que disminuye S disminuye, tasa que incrementa

10. Integración gráfica

11. Encadenamiento de reservas y flujos • El sistema de retroalimentación más sencillo tiene un sendero de retroalimentación positivo del primer orden • “Primer orden” significa “una reserva” • Ejemplo: población ¿Cuál tipo de comportamiento en tiempo?

12. Encadenamiento de reservas y flujos • Una formulación general Resultará en crecimiento exponencial si ES>0, TFC>0

13. El poder de crecimiento exponencial • Un acertijo francés antiguo: Tiene un estanque donde crece una flor de loto Su tamaño se dobla cada día Si creciera sin restricciones, cubriría el estanque en 30 d, así eliminando el resto de vida que contiene Lo observa pero no parece ser un problema significativo como para preocuparse Se decide podar la flor cuando cubre la mitad del estanque ¿En cuál día lo podaría?

14. El poder de crecimiento exponencial Se decide podar la flor cuando cubre la mitad del estanque ¿En cuál día lo podaría? ¡El día 29! Se doblaría el día siguiente y cubriría el estanque, así que se tiene sólo un día para podarlo Sin embargo, ninguna cantidad real puede crecer para siempre. Al aproximar sus límites, los redondeles positivos se debilitan y los negativos se fortalecen.

15. Disminución exponencial • Una estructura similar a la de crecimiento exponencial • Una perspectiva: “ingreso neto < 0” TNN=Pob*TFN-Pob/LP TNN=Pob(TFN-(1/LP)) TNN<0 if TFN<(1/LP)

16. Disminución exponencial • Si el ingreso neto<0, se lo podría considerar un egreso neto TNM=Pob/LP-Pob*TFN TNM=Pob(1/LP)-TFN) TNM>0 if (1/LP)>TFN

17. Crecimiento y disminución exponenciales • La misma estructura sencilla puede generar cualquier comportamiento, sólo depende de los valores de los parámetros • “La estructura causa el comportamiento” • Los valores de los parámetros también influyen

18. Sistemas lineales de primer orden • Un modelo poblacional con tasas de nacimiento y muerte • Similar a lo que acabamos de revisar • Incorporar una “capacidad de carga poblacional” • Esto es un recurso limitante

19. Modelo poblacional básico

20. Incorporar capacidad de carga y su relación con la población Añadir un redondel de retroalimentación de balanceo TFN es ahora una función de la propor-ción de la población a la capacidad de carga, no una constante

21. Incorporar el efecto en FDR (la tasa fraccional de muertes) TFM es ahora una función de la proporción de la población a la capacidad de carga, no una constante Añadir redondel de balanceo

22. ¿Cuál comportamiento tendrá este sistema? • En comparación con el modelo poblacional básico, hay 2 redondeles más de balanceo • ¿Se observerá crecimiento exponencial? • Suponer: • Una población inicial de 10 • Una capacidad de carga = 100 • Una FBR para poblaciones cerca de 0 = 0.05 • Una FDR para poblaciones cerca de 0 = (1/AL)=(1/80)=0.0125

23. Comportamiento poblacional Equilíbrio dinámico Crecimiento con rendimiento decreciente Crecimiento inicial exponencial ¿Por qué la población final < capacidad de carga?

24. Población final < capacidad de carga • Las tasas de nacimiento y muerte se balancean antes de alcanzar la máxima capacidad • Este resultado depende de las funciones no lineales que especificamos • TFN = f(Relación poblacion con capacidad de carga) • TFM = g(Relación poblacion con capacidad de carga)

25. Tasas de nacimiento y muerte

26. ¿Qué pasaría con una capacidad de carga no fija? • ¿Qué pasaría si la capacidad de carga podría ser agotada por la población? • ¿Cuál sería el comportamiento? • Ejemplo: el modelo de agricultura maya

27. El modelo de agricultura maya Tasa neta Capacidad de carga

28. El modelo de agricultura maya Este redondel de retroalimentación finalmente domina

29. Ejercicio