Estymatory parametru samoafiniczności procesów o długiej pamięci

1. SENAMEK Sebastian Michalski Szkoła Główna Handlowa Warszawa, 25.05.2004 smicha@sgh.waw.pl Estymatory parametru samoafiniczności procesów o długiej pamięci Microsoft PowerPoint 2003Poprzednie wersje mogą nie wyświetlać animacji

2. Wymiar przestrzeni euklidesowej Liczba przypisana (zbiorowi) przestrzeni w taki sposób, aby punkt miał wymiar = 0, prosta wymiar = 1, płaszczyzna wymiar = 2; przestrzeń = 3. Liczba współrzędnych niezbędnych do określenia położenia punktu w zbiorze. W algebrze liniowej: n = dim(V) liczba będąca mocą jej bazy — n liniowo niezależnych wektorów rozpinających przestrzeń, a dowolny układ n+1 wektorów jest liniowo zależny.

3. Przestrzeń topologiczna Uogólnienie pojęcia przestrzeni metrycznej: Przypisanie przestrzeni (zamiast odległości) rodziny zbiorów (topologii), którą stanowią sumy (również nieskończone) kul otwartych (zbiorów punktów odległych od środka o mniej niż promień) Wymiar topologiczny – wymiar pokryciowy Henri Lebesque Pokrycie obiektu przez DE wymiarowe kule o odpowiednio małym promieniu wymaga niepustego przecięcia minimalnie DT+1 kul. [Addison,1997]

5. Przestrzeń topologiczna Zachowanie własności homeomorficznych przestrzeni Homeomorfizm to funkcja z jednej przestrzeni topologicznej w drugą mająca następujące własności: wzajemna jednoznaczność (bijekcja) ciągłość (przeciwobraz dowolnego zbioru otwartego w Y jest zbiorem otwartym w X) otwartość (obraz dowolnego zbioru otwartego jest zbiorem otwartym) Przekształcenie, które może dowolnie rozciągać i wyginać obiekt, ale które nie może robić w nim "dziur" ani go rozrywać. Liczba „dziur” i przecięcie są niezmiennikami – nie mogą zostać zniszczone ani utworzone.

6. Przestrzeń topologiczna Przykład:

7. Przestrzeń topologiczna Przykład: Litery i cyfry pogrupowane w klasy równoważności homeomorfizmu A R (A jest homeomorficzne z R) B 8 C I J L G V Z S W N M 2 3 5 7 E F T Y D O 0 P 9 H K X 4

8. Wymiar fraktalny Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor 1878 – bijektywne, ale nie ciągłe przekształcenie z odcinka jednostkowego [0,1] w kwadrat jednostkowy [0,1] x [0,1] 1890 - Giuseppe Peano 1891 - David Hilbert ciągłe, surjektywne ale nie injektywne przekształcenie z odcinka jednostkowego [0,1] w kwadrat jednostkowy [0,1] x [0,1]

9. Wymiar fraktalny Luitzen Egbertus Jan Brouwer 1911 – dowód: nie istnieje n wymiarowa jednostkowa kostka In = [0,1]n , która jest homeomorficzna z kostką m wymiarową Im = [0,1]m , n ≠ m. Felix Hausdorff 1919 – wymiar Hausdorffa Benoit Mandelbrot 1977 – fraktal: obiekt, dla którego wymiar Hausdorffa przekracza jego wymiar topologiczny

11. Wymiar fraktalny Wymiar samopodobieństwa Mierzy ilość przestrzeni wypełnionej przez obiekt Dzielimy hiperprzestrzenny V* obiekt na N jednakowych części, które są samopodobne (miniatury całości) o długości ε. [Strecker, 2004]

12. Wymiar fraktalny Wymiar samopodobieństwa Przykład: Zbiór Cantora (1873)

13. Wymiar fraktalny Wymiar pojemnościowy, pudełkowy (box-counting)

14. Wymiar fraktalny Wymiar pojemnościowy, pudełkowy (box-counting)

15. Ruch Browna i ułamkowy ruch Browna Ruch Browna to funkcja B(t), taka że, dla Δt ΔB(t) są: niezależne, izotropiczne, losowe. H=1/2 dla ruchu Browna Stopień zintegrowania: Wymiar fraktalny:

16. Ułamkowy ruch Browna H<1/2 H>1/2 Ruch Browna H=1/2 ścieżki 1827 – R. Brown 1900 – L.Bachelier 1905-06 A. Einstein i M. Smoluchowski 1923 – N. Wiener

17. Ułamkowy ruch Browna

18. Ułamkowy szum gaussowski

19. Samopodobieństwo a samoafiniczność

20. Estymatory H Analiza przeskalowanego zakresu R/S Analiza dyspersionalna (dla fGn) Metoda wymiaru fraktalnego Analiza przeskalowanej wariancji w oknie Metody spektralne Estymatory autokorelacyjne

21. m obserwacji k=1 k=2 Estymatory H Partycje i okna D.C. Caccia, D. Percival, M.J. Cannon, G. Raymond, J.B.Bassingthwaighte, 1997

22. Przeskalowany zakres R/S [W. Feller , 1951] Modyfikacje z trendem, bez trendu 10-point pox, Multipox Lo, 1991 [H.E. Hurst , 1951] [H.E. Hurst, R.P. Black, Y.M. Simaiki, 1965] [B.B. Mandelbrot, J.R. Wallis,1968] [A.A. Annis, E.H. Lloyd, 1976] [J. Purczyński, 2003]

23. Przeskalowany zakres R/S

24. Przeskalowany zakres R/S

25. Analiza dyspersjonalna Metoda absolutnych momentów (AM) n=1: metoda absolutnej średniej n=2: metoda zagregowanej wariancji J.B. Bassingthwaighte, R.B. King, S.A. Roger,1989 H.E. Schepers, J.H.G.M. van Beek, J.B. Bassingthwaighte, 1992 D.C. Caccia, D. Percival, M.J. Cannon, G. Raymond, J.B.Bassingthwaighte, 1997

26. Różnicowanie wariancji + AM (DW+AM) Zmiany strukturalne – skoki „średniej” i powoli wygasające trendy jako pozorna długa pamięć: wykładnicza AM o ujemnym wyrazie wolnym [Teverovsky, Taqqu, 1997]

27. Metoda Wymiaru Fraktalnego – Higuchi’ego (H) [T. Higuchi, 1988, 1990]

28. Scaled Windowed Wariance - Standard (SWV-S) [B.B. Mandelbrot,1985] Average Genralized Roughness (AGR) [J.G. Moreira, J. Kamphorst Leal da Silva, S.O. Kamphorst, 1994] Variable Bandwidth Method (VBM) [J. Schmittbuhl, J.P. Vilotte, and S. Roux, 1995] Scaled Windowed Wariance - Linear Detrended (SWV-L) [B.B. Mandelbrot,1985] Detrended Fluctuation Analysis (DFA) [C.K. Peng, S.V. Buldyrev, M. Simons, H.E. Stanley, A.L. Goldberger, 1994] Roughness Around the Root Mean Square Line (RARMSL) [J.G. Moreira, J. Kamphorst Leal da Silva, S.O. Kamphorst, 1994] Residuals of Regression [M.S. Taqqu, V. Teverovsky, W. Willinger,1995]

29. Metody spektralne Metoda periodogramu f – częstotliwość, (najmniejszych 10%) GPH [J. Geweke, S. Porter-Hudak,1983] Zmodyfikowana metoda periodogramu (MP) Częstotliwości są grupowane w równoodległe na skali log-log grupy i uśredniane. Estymacja: ucięta MNK (least-trimmed) – użycie połowy najmniejszych reszt (nie spełnia oczekiwań) [Taqqu, Teverovsky, Willinger 1996,1997] Metoda zwężonego periodogramu (tapered) (TGPH) Zmiany strukturalne a długa pamięć: jeżeli TP nie potwierdza długiej pamięci to wystąpiły zmiany strukturalne [P.Sibbertsen, 2002]

30. Metody spektralne Metoda periodogramu

31. Metody spektralne Średni skumulowany periodogram (ACP) - niskie częstotliwości z gładkiej części periodogramu Dla małych k zachodzi: MNK, ale nie graficznie – na skali log-log F nie jest liniowa [Taqqu, Teverovsky 1997]

32. Minimalizacja ze względu na Metody spektralne Estymator Whittle’a - funkcja gęstości spektralnej o częstotliwości f Zagregowany estymator Whittle’a agregacja skraca szereg i zwiększa wariancję estymatora ale zachowuje właściwości fGn [Taqqu, Teverovsky 1995]

33. Estymatory autokorelacyjne Metoda Kettaniego i Gubnera [H. Kettani, J. Gubner, 2002]

34. Metoda Kettaniego i Gubnera [P.Ciżkowicz, w druku, NBP 2004]

35. Generatory Rekurencyjna metoda Hoskinga Generator Davisa i Harte’a (1987) Generator Vern Paxsona (1995) Metoda Syntezy Spektralnej Metoda Losowych Składników

36. Właściwości estymatorów

37. Właściwości estymatorów R/S – najbardziej obciążony z estymatorów o dużej wariancji: przeszacowuje wartość H o 0,15 dla H<0,7 i niedoszacowuje dla H>0,7. Dla N<128 jest niewiarygodny: H=0,5: P(0,2<H<0,8)=0,9 Metody dyspersjonalne – małe obciążenie (+-0,01) i efektywne. Możliwość wykrycia zmian strukturalnych Przeskalowana wariancja – małe obciążenie (+-0,01) i efektywne, Wymaga szeregów o długości 2^9 Higuchi – bardzo pracochłonne (komputerowo) Spektralne – brak obciążenia i efektywne (oprócz GPH). Możliwość wykrycia zmian strukturalnych Kettani Gubner– bardzo prosty, szybki, nieobciążony (dla H<0,8) i efektywny nawet dla szeregów 2^6.

38. Rynek kapitałowy 05.2002- 04.2004, 2^9 obs. WIG20 0,58 WIG 0,61 WIG-Budownictwo 0,64 WIG-Banki 0,60 WIG-Spożywczy 0,74 WIG-Informatyka 0,54