Domingo Paola Liceo Issel di Finale Ligure

1. Il laboratorio di matematica per costruire un ambiente di insegnamento apprendimento volto alla costruzione di significati degli oggetti matematici: i casi della geometria analitica e dell’analisi Domingo Paola Liceo Issel di Finale Ligure G.R.E.M.G. Dipartimento di Matematica Università di Genova

2. Riflessioni conclusive sul precedente incontro: l’uso di Cabri nell’avvio al pensiero e al sapere teorico Cabri sembra creare una sorta di spazio per la comunicazione, aiutando gli studenti, impegnati nella risoluzione di problemi, a comunicare idee e strategie risolutive L’uso di Cabri e la proposta di problemi aperti favoriscono attività di osservazione, scoperte e produzione di congetture, dando luogo alla necessaria continuità cognitiva tra le fasi di produzione di una congettura, costruzione e sistemazione della dimostrazione È necessaria una genesi strumentale, sulla quale l’insegnante ha forti responsabilità. A questo proposito diventano assai importanti le osservazioni sulle metafore, sulle parole, sui gesti utilizzati dagli studenti, soprattutto se si condivide che la conoscenza sia profondamente embodied, situata.

3. Alcune premesse relative all’incontro odierno • La centralità del concetto di funzione nei programmi • I concetti di curva e di funzione sono originariamente strettamente associati al movimento • Un’introduzione ai concetti di funzione e di curva fondata su aspetti dinamici non solo rispetta l’evoluzione storica della formazione di tali concetti, ma è particolarmente attenta agli aspetti cognitivi (c’è chi pensa che un approccio dinamico sia cognitivamente e didatticamente più efficace di uno statico per quel che riguarda la costruzione di concetti come quello di curva e di funzione) • Nella prassi didattica si incontrano forti ostacoli nella costruzione di significati legati ai concetti di curva e di funzione • Le nuove tecnologie (ma non solo esse) consentono di costruire ambienti di apprendimento particolarmente adatti a un approccio dinamico ai concetti di curva e di funzione

4. Che cosa è una curva? Che cosa è una funzione? Punto di vista cognitivo … Una funzione è legata a esperienze di grandezze che variano rispetto ad altre grandezze, in particolare rispetto al tempo … Una funzione è legata alle esperienze di scatole nere a uno o più ingressi e a una sola uscita … … Una curva può essere generata da un punto in movimento; è continua e dolce (ha tangenti in ogni punto); se è chiusa, delimita una regione al suo interno e tale regione ha un’area; una curva non è una superficie, ma è formata dall’intersezione di due superfici …

5. Aspetti storico – epistemologici, tecnici e cognitivi relativi al concetto di funzione L’interesse per i problemi relativi al moto dei corpi: il problema di migliorare la determinazione e il calcolo delle posizioni dei pianeti nel loro moto attorno al Sole. la necessità di determinare con più accuratezza la latitudine e, soprattutto, della longitudine, problema legato, all’epoca anche a una migliore determinazione dell’orbita lunare il problema del moto dei proiettili, questione di fondamentale importanza che portava a investimenti enormi da parte degli Stati la richiesta di misure più precise del tempo

6. Aspetti storico – epistemologici, tecnici e cognitivi relativi al concetto di funzione Il concetto di funzione, come legge che esprime la variazione di una grandezza rispetto a un’altra (in genere il tempo), può essere considerato come un emergente delle pratiche matematiche volte alla risoluzione del problema del moto dei corpi. La storia suggerisce che la definizione di funzione data nel linguaggio insiemistico è il risultato di una lunga evoluzione di cui il movimento e la dinamicità non sono stati solo i punti di partenza, ma anche le caratteristiche salienti per molto tempo

7. Quadri teorici relativi al concetto di funzione punto di vista della corrispondenza: il concetto viene espresso nel linguaggio degli insiemi (ma anche nel linguaggio grafico dei diagrammi a frecce e in quello statico di tabella letta riga per riga); punto di vista della scatola nera: la funzione intesa come macchina input –output che da uno o più ingressi genera un’uscita; il punto di vista della covarianza: ossia il pensare alla funzione come variazione coordinata tra y e x, ponendo attenzione alla variazione della variabile dipendente (per esempio, leggere, in una funzione tabulata, i valori della variabile dipendente); punto di vista variazionale: si osserva di quanto variano le variazioni delle y rispetto alle x: ossia si tratta di porre attenzione alle variazioni seconde.

8. Come si situano in questa problematica le nuove tecnologie? Ricordo che le caratteristiche principali dell’esperienza sono le seguenti: recuperare quegli aspetti dinamici, legati al movimento, alle variazioni di grandezze nel tempo proprie dell’ipostazione newtoniana del concetto di funzione prestare particolare attenzione, nelle tabelle, alle variazioni della variabile dipendente impostare lo studio delle variazioni sul concetto locale di pendenza e di variazione della pendenza usare le calcolatrici grafico – simboliche e i sensori di movimento come mediatori nel processo di acquisizione del concetto di funzione evidenziare il ruolo delle funzioni come particolari modelli matematici di situazioni oggetto di studio.

9. Il concetto di funzione. I sensori di movimento e le grandezze che variano nel tempo A turno, ciascun coordinatore di ogni gruppo si è mosso rispetto al sensore, osservando la traccia del proprio movimento proiettata su un muro dell'aula grazie a un view screen posto su una lavagna luminosa e collegato alla calcolatrice. La consegna prevedeva che anche gli altri studenti osservassero attentamente, dal proprio banco, il movimento dei coordinatori e la traccia descritta sul muro dell'aula.

10. Gli studenti si sono riuniti nei gruppi di lavoro per riflettere e discutere su quanto avevano fatto o visto fare. La consegna era quella iniziare ad avanzare ipotesi (o di confrontare quelle eventualmente già pensate individualmente durante la precedente attività) sul come e perché il movimento fosse legato al grafico osservato sul muro.

11. A turno, tutti gli alunni che nella prima attività si erano limitati semplicemente a osservare il movimento dei coordinatori dei gruppi di lavoro, sono stati chiamati a compiere essi stessi il movimento. Inizialmente, però, il sensore non è stato messo in funzione: i compagni di gruppo (eventualmente anche di altri gruppi) dovevano disegnare un grafico tempo-posizione che rappresentasse il movimento. Subito dopo, lo stesso movimento veniva riprodotto con il sensore in funzione, in modo che gli studenti potessero confrontare la traccia ora disegnata sul muro con il grafico tempo-posizione prima prodotto. 1 2

12. Gli studenti si sono nuovamente riuniti in gruppo per rispondere a domande riguardanti l'interpretazione di alcune caratteristiche grafiche delle tracce osservate sul muro (per esempio, che cosa suggerisce un segmento orizzontale, uno obliquo, oppure un tratto di curva e così via…) A turno, i coordinatori di ciascun gruppo si sono mossi con il sensore in funzione e con la traccia proiettata alle loro spalle, in modo tale che essi, al contrario dei compagni, non potessero osservare la traccia prodotta dal proprio movimento. I coordinatori dovevano descrivere verbalmente, al tempo stesso, i propri movimenti e le caratteristiche significative della traccia proiettata sul muro e visibile a tutti gli altri studenti. I compagni di gruppo dovevano prendere nota di eventuali errori commessi dal coordinatore per poi discuterne al termine dell'esperienza.

13. A turno, ogni studente doveva cercare di riprodurre, con il proprio movimento, un grafico tempo-posizione generato dalla calcolatrice. A turno, ciascun coordinatore si è mosso e i compagni di gruppo hanno riportato, sul proprio quaderno, la traccia proiettata sul muro durante il movimento del coordinatore. Al termine del movimento, il coordinatore, utilizzando una specifica funzione fornita dalla calcolatrice, ha rilevato un certo numero di coppie di dati "tempo-posizione". I dati i raccolti sono poi stati elaborati a casa dagli studenti.

14. Circa due mesi dopo queste prime attività, sono state svolte altre attività sempre con l’uso dei sensori. Innanzitutto sono state ripetute le attività 5 e 6 sopra descritte, per consentire agli studenti di rinfrescare l’esperienza. In seguito è stato chiesto agli studenti di tracciare un grafico velocità – tempo relativo a un determinato grafico posizione – tempo. Gli studenti dovevano anche produrre congetture sulle seguenti questioni • che cosa accade alla velocità avvicinandosi o allontanandosi dal sensore? • È possibile partire con velocità diverse da 0? • È possibile riprodurre, con il proprio movimento, un grafico tempo – posizione che presenti punti angolosi come quelli dei grafici generati dalla calcolatrice?

15. Il concetto di funzione. Le calcolatrici simboliche e la definizione di funzioni La calcolatrice è molto utile, perché consente di esplicitare in modo molto chiaro la visione della funzione come macchina con uno o più ingressi e un’uscita. In tal caso, per la funzione pendenza, le variabili di ingresso sono punti e quella di uscita è un numero reale. Ciò non è banale, in quanto si tratta non solo di utilizzare un linguaggio rigoroso e una sintassi precisa, ma soprattutto perché la funzione “pendenza di un segmento” è una funzione di più variabili (due coppie ordinate di numeri reali in ingresso). La calcolatrice consente, al tempo stesso, di esplicitare questa “non banalità” e di renderla gestibile per o studente (il formale è giustificato!).

16. quali sono le strutture dati di cui la calcolatrice dispone e che sono adatte a rappresentare un punto? Per rispondere è intanto utile far capire agli studenti che cosa è un punto per la calcolatrice nell’ambiente di programmazione: non una traccia lasciata da una matita sul foglio, ma una coppia ordinata di numeri reali. Nella calcolatrice esistono le liste, che sono elenchi ordinati di dati. Proprio quello che si voleva. Per comunicare una lista alla calcolatrice è sufficiente scrivere lettere separate da una virgola, racchiudendo l’elenco fra due parentesi graffe. Ecco la definizione di una funzione “pendenza di un segmento” per una calcolatrice TI – 89: : Pend(c,d) : FUNC : (d[2] – c[2])/(d[1] – c[1]) : EndFunc A [y(A) – y(B)]/[x(A) – x(B)] B Pendenza AB

17. Il concetto di funzione. Funzioni e modelli Una studentessa si è prodotta una distorsione al ginocchio durante una partita di pallavolo e il suo dottore le ha prescritto un farmaco antinfiammatorio per ridurre il gonfiore. Deve prendere due pastiglie da 220 mg ogni 8 ore per 10 giorni. Il suo rene filtra il 60% di questo farmaco dal suo corpo ogni 8 ore. Quanta medicina c’è nel suo organismo dopo 3 giorni? E dopo 4 giorni? E dopo 10 giorni? Cercate di studiare l’evoluzione del farmaco nel tempo; in particolare, cercate di capire che cosa accadrebbe se la studentessa continuasse a prendere il farmaco per molto tempo: pensate che la presenza del farmaco nel suo organismo tenderebbe prima o poi a diminuire o aumenterebbe sempre? E, nel caso aumentasse sempre, pensate che potrebbe superare un qualunque valore prefissato, oppure tenderebbe a un valore che non è superabile nemmeno lasciando passare molto tempo? Come evolve la presenza del farmaco se, dopo dieci giorni, la studentessa non lo assume più? Quanto tempo impiega a ridursi a 1/100 del farmaco presente dopo dieci giorni?

18. Provate a costruire una tabella del tipo Ricordate che organizzare i dati in modo intelligente aiuta … per esempio a definire una funzione che rappresenti l’andamento della presenza del farmaco nell’organismo della studentessa… Riprendete in considerazione le varie domande che vi sono state poste nel testo del problema … ovviamente, per rispondere, aiutatevi anche con la calcolatrice… ricordate eventuali problemi simili già svolti

19. Alcune idee degli studenti “se la studentessa continuasse a prendere le pillole, il farmaco tenderebbe a stabilizzarsi, perché anche se aumenta del 40%, il suo rene filtra il 60% che è sempre maggiore… è come se diamo delle palate di sabbia e dal mucchio, sempre più grande, leviamo sempre il 60%, ossia una quantità sempre più grande…prima o poi quello che aggiungo è uguale a quello che levo e il processo si stabilizza” “la concentrazione del farmaco cresce sempre, ma sempre meno, ossia, la pendenza diminuisce” “parte da 440 e poi filtra il 60%, quindi abbiamo 440 + il 40% di 440 e poi il 40% di questo più 440 e così via …” La difficoltà è tradurre tutto ciò formalmente

20. F(0) = 440 F(1) = 0.4 F(0) + 440 F(2) = 0.4F(1) + 440 ….. F(n) = 0.4F(n-1)+440 Per rispondere alla seconda domanda, gli studenti scrivono G(0) = 733,33G(1) = 0,4G(0) G(2) = 0,4G(1).......G(n) = 0,4G(n-1) Non si accorgono che, in tal caso, è semplice trovare una forma chiusa G(n) = 0,4n G(0) Ma capiscono subito che si tratta di una curva la cui pendenza è negativa e diminuisce in valore assoluto, anche se non raggiungerà mai lo 0

21. F(3)? F(2)? F(1)? F(0)= 440 714.56 F(3) = 0.4*F(2)+440 686.4 F(2) = 0.4*F(1)+440 616 F(1) = 0.4*F(0)+440

22. Come determinare il valore di equilibrio? X = 0.4*X + 440 Invece, per rispondere alla domanda quanto tempo impiega la concentrazione a ridursi a 1/100 del valore iniziale si deve risolvere l’equazione 7,33 = 0,4 n 733,33. La soluzione si può trovare per tentativi o graficamente.

23. Tra l’altro le risoluzioni grafiche richiedono cambi di scala, uso di finestre grafiche adeguate, capacità di osservazione e di fare previsioni, capacità di accorgersi di qualcosa che non era atteso e di spiegarsi perché; portano, attraverso gli zoom, a accorgersi della proprietà di linearizzazione di certe funzioni e quindi a far diventare definizione in atto quella di tangente come miglior approssimazione lineare di una funzione (linearizzabile) in un punto. Le calcolatrici forniscono, sotto questi aspetti potenzialità che la tecnica del gesso e della lavagna non consentono. In tal caso gli strumenti tecnologici sono veri e propri strumenti di pensiero, strumenti che potenziano le nostre capacità di rappresentazione, descrizione, previsione e che danno nuove e più potenti immagini degli oggetti matematici. Basti pensare che il grafico di una funzione diventa qui strumento di studio, oggetto di manipolazione, strumento di comprensione e non oggetto finale dell’attività didattica.

24. Funzioni, tabelle, tabelle delle differenze

25. Grandezze che variano in funzione di altre grandezze Geometria e Cabri • La compresenza di tre aspetti essenziali: • movimento • numeri • grafici Esempi in Cabri

26. Esplorazioni di successioni Studiare, aiutandosi con la calcolatrice grafico simbolica, l’evoluzione della successione , • con a0 numero reale qualunque, purché positivo. Tende a un limite? Quale? Tale limite è indipendente da a0 ? Giustificate le risposte. Che cosa accade se a0 è negativo? Esplorazioni con le calcolatrici: il comando sequence Si sceglie il modo “sequence”, si definisce nell’editor funzioni la successione, si imposta nell’ambiente home il calcolo seq(successione, variabile, valore iniziale, valore finale)

27. La proposta di un percorso didattico Primo biennio Il concetto di funzione (come variazione di una grandezza rispetto a un’altra e come scatola nera). Tabelle dei valori e tabelle delle differenze. Grafico di una funzione (crescenza e concavità). Modelli e funzioni. Funzioni ed equazioni di una funzione. Funzioni lineari. Pendenza di una funzione lineare. Successioni: progressioni aritmetiche (anche per ricorrenza usando il foglio elettronico per far capire la relazione di a(n) in funzione di a(n-1)). Funzioni quadratiche. Successioni che hanno costanti le differenze seconde. Funzioni polinomiali. Funzioni esponenziali. Successioni che hanno costanti i rapporti. Trasformazioni sui grafici di funzioni elementari. Funzioni inverse. Proprietà di microlinearità e concetto di pendenza locale di una funzione. Somme, inverse e composte di funzioni lineari

28. Secondo biennio Le coniche come luoghi di punti generati da punti in movimento. Il moto di un proiettile. Funzioni armoniche. Proprietà delle funzioni elementari: dominio, continuità, di microlinearità. Funzioni composte. Grafici di funzioni composte (teoremi sulla crescenza di funzioni composte). Trasformazioni isometriche che trasformano grafici in grafici; dilatazioni. Limiti di funzioni e di successioni (alla Leibnitz). Serie numeriche. Pendenza locale (limite del rapporto incrementale calcolato numericamente). Funzione gradiente o derivata (calcolata numericamente e rappresentata graficamente anche mediante la tecnica delle differenze finite). Calcolo di derivate di particolari funzioni (funzioni lineari, quadratiche, cubiche, …, potenze a esponente razionale, seno, coseno, derivata di una somma e derivata di un prodotto … basate sulla proprietà di microlinearità). Approssimazione di una funzione nell’intorno di un suo punto con un polonomio. Modelli lineari e non lineari: esempi tratti dalla fisica. Dal grafico di una funzione al grafico della sua primitiva. Calcolo numerico di integrali definiti

29. Ultimo anno Analisi matematica: il concetto di limite come strumento di sistemazione teorica e rigorosa dei concetti e delle tecniche utilizzate; i teoremi del calcolo infinitesimale. Modelli discreti e continui Siti di interesse per un percorso di questo tipo: David Tall (uso di graphic calculus) James Kaput e Ricardo Nemirowski

30. Geometria analitica e macchine matematiche Le relazioni tra meccanismi articolati e curve algebriche sono sempre state considerate come un tema centrale nella ricerca matematica e possono costituire un esempio paradigmatico per studiare l’evoluzione del concetto di curva in geometria. Gli strumenti per tracciare curve sono sempre stati considerati nei trattati di geometria, fino dagli elementi di Euclide, i cui postulati definiscono proprio gli strumenti che si è scelto di utilizzare per effettuare costruzioni geometriche: la riga e il compasso. Nell’età classica le curve erano studiate singolarmente, generate da punti in movimento. La situazione non mutò fino al 17° secolo, quando l’insieme delle curve si ingrandì anche grazie alle nuove tecniche di descrizione rese possibili dal metodo cartesiano.

31. Cartesio, nella Géométrie, indica due metodi per rappresentare curve: • Con un movimento continuo • Mediante equazioni • Il primo metodo è strettamente collegato alla generazione di una curva con strumenti meccanici, il secondo, invece, è legato alla rappresentazione punto per punto. • Cartesio non si occupò di chiedersi se i due metodi fossero equivalenti: tale problema richiedeva, per essere risolto, la costruzione di strumenti algebrici più avanzati di quelli allora disponibili e, soprattutto, il cambiamento di statuto degli strumenti meccanici che dovevano diventare veri e proprio strumenti teorici, come già lo erano la riga e il compasso. • Il problema fu risolto da Kempe nel 1876.

32. Ecco alcune osservazioni di Kempe sulla linea retta: “ Come possiamo descrivere una linea retta? Euclide la definisce come quella linea che giace nella stessa maniera fra due qualunque suoi punti. Ciò non ci aiuta molto. I nostri manuali dicono che il primo e il secondo postulato postulano la riga. Ma sicuramente c’è una questione da risolvere: se noi dobbiamo usare righe per tracciare rette, la riga deve avere essa stessa un profilo rettilineo: e siamo di nuovo da capo!” Nonostante il riferimento a strumenti concreti, il problema è chiaramente teorico. Una soluzione approssimata e utilizzata nella tecnica, già nota, era quella di Watt. Per anni i matematici pensarono che la soluzione di Watt fosse la migliore possibile e che non esistessero soluzioni rigorose. Nel 1864 Peaucellier inventò un meccanismo articolato che era una soluzione rigorosa al problema. Pochi anni dopo Kempe risolse il problema relativo al tracciamento di una curva di grado n nel piano.

33. L’idea della dimostrazione di Kempe: Sia F(x,y) = 0 una curva piana di grado n. Costruiamo, in un piano cartesiano xOy un parallelogrammo articolato OAPB. Sia OA=BP=a; OB=AP= b; XOA = r e XOB = q Risulta immediatamente X = a cos r + b cos q Y = a sin r + b sin q Si sostituiscono ora in F(x,y) = 0 le relazioni appena scritte e si sviluppano i calcoli in modo da ottenere un’espressione che presenta una sommatoria di coseni che hanno come argomenti funzioni lineari degli angoli r e q.

34. A questo punto è necessario costruire, per ogni termine della somma, un meccanismo che consenta di ottenere, a partire dal parallelogramma dato, che forma gli angoli r e q con OX, un meccanismo che formi l’angolo combinazione lineare di r e q corrispondente all’argomento del termine considerato. • Si può dimostrare che la risoluzione del problema è riconducibile alla risoluzione dei seguenti problemi: • Costruire un meccanismo che moltiplica o divide un angolo in parti uguali • Costruire un meccanismo che trasli un angolo e addizioni dei vettori • Costruire l’inversore di Peaucellier. • Ciò completa la dimostrazione che ogni curva algebrica di grado n è descrivibile (teoricamente e localmente) con un meccanismo articolato.

35. Che cos’è un’ellisse? E1: l'ellisse è il luogo delle intersezioni delle generatrici di un cono circolare con un piano che forma con l'asse del cono un angolo maggiore della semiapertura del cono E2: l'ellisse è il luogo dei punti del piano per cui è costante la somma delle distanze da due punti dati, detti fuochi E3: l'ellisse è una curva che, in un sistema di riferimento cartesiano xOy, scelto in maniera opportuna, ha un'equazione del tipo E4: l'ellisse è una qualunque curva piana ottenuta applicando a una circonferenza un'affinità

36. Le macchine matematiche sono, in senso lato, macchine che incorporano una legge che le vincola a tacciare curve caratterizzate da una proprietà definita da quella legge Equazione Macchina Curva Curva 1876. Teorema di Kempe Ogni curva algebrica può essere disegnata localmente per mezzo di opportuni meccanismi articolati.

38. La progettazione di un ambiente di apprendimento che faccia uso di macchine matematiche è confortato dalle seguenti considerazioni: • l'importanza delle tecnologie nello sviluppo della civiltà e della conoscenza e, di conseguenza, della cultura umana. I meccanismi articolati condividono con le macchine di Turing la caratteristica di essere strumenti teorici e quella che sono legati a problemi di impossibilità (ipotesi epistemologica) • l'opportunità di un approccio di carattere percettivo ai concetti astratti e, quindi, l'opportunità dell'uso di modelli fisici per aiutare nella comprensione degli oggetti matematici (ipotesi cognitiva) • il teorema di Kempe (punto di vista tecnico della disciplina)

39. Dal punto di vista didattico si evidenzia l’importanza delle seguenti caratteristiche di un percorso come quello appena suggerito • la progettazione di ambienti di apprendimento che favoriscono la produzione di congetture e la successiva attività di validazione delle stesse sia nei lavori in piccoli gruppi, sia nelle discussioni collettive mediate dall'insegnante • la presenza, anche a livello di studenti di scuola superiore, di aspetti legati alla percezione, accanto ad attività di astrazione, generalizzazione, concettualizzazione e, quindi, di avvio al pensiero teorico • l'uso di strumenti che hanno una funzione di mediazione semiotica tra linguaggio e pensiero e che quindi contribuiscono ad avviare al pensiero teorico.

40. Le macchine matematiche come campo di esperienza Contesto esterno Macchine, Cabri, Disegni ... Attività di scoperta, esplorazione modificano il contesto interno dello studente

41. Prospettiva vigotskiana costruzione sociale del sapere mediazione semiotica degli strumenti

42. http//www.museo.unimo.it/theatrum