Apprentissage des mathématiques Résolution de problèmes

1. Apprentissage des mathématiquesRésolution de problèmes Roland Charnay - 2010

2. Les enjeux vus par le socle • Les mathématiques fournissent des outils pour agir, choisir et décider dans la vie quotidienne • La pratique des mathématiques développe le goût de la recherche et du raisonnement, l’imagination et les capacités d’abstraction, la rigueur et la précision. (socle commun) Roland Charnay - 2010

3. L'équilibre entre mécanismes et compréhension • Il est nécessaire de créer aussi tôt que possible à l'école primaire des automatismes en calcul. • Il faut aussi comprendre des concepts et des techniques (calcul, algorithme) et les mémoriser afin d'être en mesure de les utiliser.(socle commun) • L’acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification. (programme) Roland Charnay - 2010

4. Une place centrale de résolution de problèmes • La maîtrise des principaux éléments de mathématiques s'acquiert et s'exerce essentiellement par la résolution de problèmes, notamment à partir de situations proches de la réalité. (socle commun, 2006) • La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans l’activité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et s’exerce à tous les stades des apprentissages. (programmes, 2008) Roland Charnay - 2010

5. Sur l’articulation avec le collège • Fractions : addition (même dénominateur) • CM2  pas évoqué en 6e / exigible en 5e • Décimaux : valeur approchée • CM2  6e (mais hors socle) • Calcul posé • Commentaire 6e : Les nombres doivent rester de taille raisonnable, aucune virtuosité technique n’est recherchée • Division décimale d’un décimal par un entier • CM2  6e avec ce commentaire : Le dividende comporte au maximum 2 chiffres après la virgule Roland Charnay - 2010

6. Règle de trois • CM1 et CM2  6e sous la forme : Passage par l’unité (ou « règle de trois ») • Pourcentage • CM2  6e et 5e avec ce commentaire en 6e : Les élèves doivent connaître le sens de l’expression « … % de » et savoir l’utiliser dans des cas simples où aucune technique n’est nécessaire • Echelles • CM2  5e (mais hors socle) et rien en 6e Roland Charnay - 2010

7. Quelques indicateurs sur les difficultés des élèves Roland Charnay - 2010

8. Compétences de base • Un document officiel affirme que 91 % des élèves maîtrisent les compétences de base • Près d'1 élève sur 5a des difficultés avec les "compétences nécessaires pour profiter pleinement des situations pédagogiques de sixième" (pour plus de 2/3 des items considérés des évaluations 6e). • Deux domaines particuliers de difficultés • le calcul mental: • 72 %de réussite aux questions "de base" • Exemples : le quart de 100 (68 %) 36 divisé par 4 (56 %) • la résolution de problèmes Roland Charnay - 2010

9. Comparaison internationale(PISA) Deux points faibles caractéristiques • Elèves français dans la moyenne • Taux élevé d'élèves à résultats faibles • Taux faible d'élèves à résultats élevés • Des élèves plus angoissésque les autres face aux mathématiques • Un taux élevé de "non réponse" • Une faiblesse particulière lorsqu'il faut "prendre des initiatives, expérimenter (faire des essais, critiquer, recommencer…)" Roland Charnay - 2010

10. Un exemple Un menuisier dispose de 32 m de planches et souhaite s'en servir pour faire la bordure d'une plate-bande dans un jardin. Il envisage d'utiliser un des tracés suivants pour cette bordure : Indiquez pour chacun des tracés s'il peut être réalisé avec les 32 m de planches. Roland Charnay - 2010

11. Analyse des difficultés Roland Charnay - 2010

12. Evaluation 6e Xavier range les 50 photos de ses dernières vacances dans un classeur. Chaque page contient 6 photos. a) Combien y a-t-il de pages complètes ? b) Combien y a-t-il de photos sur la page incomplète ? Il y a ……… pages complètes. 54 % Il y a ……… photos sur la page incomplète. 57 % Roland Charnay - 2010

13. Procédures possibles • Division de 50 par 6 • Division (stabilisée au CM1) • Utilisation des multiples de 6 • Table de multiplication (CE2) • Addition ou soustraction de 6 en 6 • Addition (CE1/CE2) • Schématisation des pages et des photos • Dénombrement (CP) Roland Charnay - 2010

14. Un constat et une question Un nombre élevé de calculs "sans signification" Peu de démarches "originales" Pourquoi des élèves qui disposent de connaissances permettant de résoudre ce problème… • ne pensent pas… • n’osent pas… • ne se croient pas autorisés… … (à) les utiliser pour répondre à la question ? Roland Charnay - 2010

15. Un cadre pour travailler sur l'origine des difficultés Roland Charnay - 2010

16. Schéma d’analyse sommaire Roland Charnay - 2010

17. A la bonne place (éva CE2) Ecris, dans le bon ordre, chaque nombre à la place qui convient. 367 582 309 Roland Charnay - 2010

18. Quelques pistespour "apprendre à résoudre" Roland Charnay - 2010

19. Apprendre ce qu’est chercher Deux exemples… • 150 personnes lèvent leurs deux mains. Combien y a-t-il de mains levées ? • 150 personnes se serrent la main. Combien de poignées de mains sont échangées ? Roland Charnay - 2010

20. Apprendre ce qu’est chercher Un mot à double sens • Chercher parmi les solutions expertes déjà éprouvées • Chercher, bricoler une solution nouvelle, originale, personnelle, comme le chercheur Roland Charnay - 2010

21. Qu'est-ce qu'un problème ? • Une situation initiale avec un but à atteindre... demandant au sujet d'élaborer une suite d'actions ou d'opérations pour atteindre ce but • Il n'y a problème que dans un rapport sujet/situation, où la solution n'est pas disponible d'emblée, mais possible à construire. • C'est dire qu'un problème pour un sujet donné peut ne pas être un problème pour un autre sujet. Jean Brun, Math Ecole n° 441, 1999 Roland Charnay - 2010

22. Deux exemples de « problèmes pour chercher »CM1-Cap Maths Roland Charnay - 2010

23. Favoriser l’appropriation du problème • Ne pas confondre lecture d'énoncé et résolution de problème • Plusieurs supports de présentation • Situation réelle • Situation représentée : dessin, schéma, document • Situation communiquée oralement • Situation communiquée par un énoncé écrit Roland Charnay - 2010

24. Limiter les références possibles à des indices « extérieurs » au problème. • Ne pas lier systématiquement les problèmes aux apprentissages en cours • Eviter les aides « de surface » Roland Charnay - 2010

25. Exploiter la diversité des procédures • Favoriser la diversité • Exploiter la diversité • Aider à progresser vers les résolutions expertes Roland Charnay - 2010