FINANČNÍ MATEMATIKA

1. FINANČNÍ MATEMATIKA VYSOKÁ ŠKOLA FINANČNÍ A SPRÁVNÍ, o.p.s.

2. ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY • 1.Typy a druhy úročení, budoucí hodnota investice Úrok - odměna za získání úvěru (cena za službu peněz) Roční úroková sazba (míra)(r) – úrok v % z hodnoty kapitálu za časové období

3. Připisování úroků:p.a. – roční p.s. – půlročníp.q. – čtvrtletní p.m. – měsíční p.d. – denníDoba splatnosti (n)doba, po kterou je peněžní částka zapůjčena

4. Typy úročení • jednoduché: vyplacené úroky se nepřičítají k původnímu kapitálu a dále se neúročí • složené: úroky se přičítají a dále úročí • spojité: počet úročení roste do nekonečna

5. Jednoduché FV = PV · ( 1 + r · n ) • Složené

6. r (i) – úroková sazba n (t) – doba platnosti m – frekvence připisování úroků FV – future value PV – prezent value

7. Kapitál Úrok r = 20% r = 10% 150 úrok Počáteční kapitál čas 1 2 3 4 5 200 Závislost úroku na době splatnosti kapitálu 175 125 100

8. Př: Vypočítejte konečnou hodnotu vkladu 100 000 Kč uloženou na dobu 5 let s úrokovou sazbou 5% ( 10%, 20%) při jednoduchém úročení. • Př:Jakou částku obdrží pan Neveselý ze svého šestiměsíčního termínovaného vkladu 200.000 Kč úročeného 5 % p.a.? Daň z úroků je 15 %.

9. Př:Jaká je cena peněz půjčených v zastavárně, účtuje-li si zastavárna 2 % za týden? Počítejte: a) jednoduché úročení b) složené úročení • Př:Zjistěte, jakou hodnotu bude mít vklad 1.000 Kč po 5 – 10 - 15 –20 letech, bude-li průměrné zhodnocení 3 % - 8 % - 13 %.

10. 2. Přepočet ročních úrokových sazeb při různé periodě připisování úroků. • Př:Zjistěte, jakou hodnotu bude mít vklad 1 000 Kč po 5, 10, 15 20 letech, bude-li průměrné zhodnocení 3%. Porovnejte jednoduché a složené úrokování. Graf. • Př:Zjistěte, jakou hodnotu bude mít vklad 1 000 Kč po 5 letech, bude-li průměrné zhodnocení 5% a úroky budou připisovány p.a., p.s., p.q., p.m., p.d.. Graf.

11. Používané kódy: • ACT - započítává se skutečný počet dní smluvního vztahu. Obvykle se nepočítá 1. den • 30E – celé měsíce se započítávají bez ohledu na skutečný počet dní jako 30 dnů • 30A – liší se od 30E maximálně o jeden den, který je započten pouze v případě, že konec smluvního vztahu připadne na poslední den v měsíci a současně začátek není poslední den v měsíci

12. Délka roku je 365 nebo 360 dní • ACT/365 – anglická metoda • ACT/360 – francouzská, či mezinárodní • 30E/360 – německá, či obchodní

13. Př:Rozhodněte, která varianta termínovaného účtu je výhodnější a) 12% roční úroková sazba s p.d. b) 12,5% roční úroková sazba s p.s.

14. Efektivní úroková sazba ( re ) • roční úroková sazba, která dává za rok při p.a. stejnou budoucí hodnotu jako roční úroková sazba při častějším připisování úroků. • Snaha o dosažení stejného finančního efektu při úročení p.a. ( nominální úr. sazba při ročním úrokovacím období je vyšší než při úrokovacím období kratším než rok) • Umožňuje porovnat různé úrokové sazby srovnávané za stejné časové období, avšak s různou četností připisování úroků.

15. Př: Najděte r , která odpovídá úrokové sazbě 10% p.a., jsou-li úroky připisovány 12 a) p.s. b) p.q. c) p.m. • Spojité připisování úroků • re - nazývá se úroková intenzita • FV = PV * ( er *n ) re = er- 1 • Př: Na kolik vzroste kapitál 10 000 Kč za 5 let při spojitém úročení a sazbě 5,5%?

16. 3.DISKONT A RŮZNÉ DRUHY DISKONTOVÁNÍ (D) • Je odměna ode dne výplaty do dne splatnosti pohledávky (předlhůtní úročení) • rozdíl mezi FV a PV • D = FV*d*nd = diskontní míra (%) • Používá se nejčastěji pro eskont směnek, část náhrady předem • Krátkodobé cenné papíry s jmenovitou hodnotou jako hodnotou budoucí. • státní pokladní poukázky (zisk je rozdíl mezi kupní a nominální hodnotou) • krátkodobá splatnost

17. Diskontování: Výpočet současné hodnoty z hodnoty budoucí • PřOsoba A vystavila osobě B směnku na částku 10.000 Kč s dobou splatnosti 1 rok, s diskontní mírou 8% . Kolik osoba A ve skutečnosti obdrží? • Př Vypočítejte, kolik dostane vyplaceno klient, jemuž banka eskontuje směnku o nominální hodnotě 10.000 Kč 35 dní před dobou splatnosti při diskontní sazbě 9% p.a.

18. Vztah mezi polhůtní úrokovou sazbou a diskontní sazbou.

20. Př Porovnejte diskontní sazbu a polhůtní úrokovou sazbu. Eskontována směnka splatná za půl roku o nominální hodnotě 100 000 Kč s roční diskontní sazbou 12%. Jednoduché úročení s roční úrokovou sazbou 12%, přičemž za půl roku se musí splatit 100 000 Kč. Shodné výnosy: • Diskontní faktor (v) udává současnou hodnotu jednotkového vkladu, který je splatný za 1 rok při úrokové sazbě r. Složené:v = (1 + r) -1Jednoduché:v = (1 + r n) -1 Spojité:v = e-rPV = FV * v n

21. Smíšené úročení: Doba úročení není v celých letech, n0 je počet celých let, l je zbytek doby úročení lomený počtem příslušných jednotek za rok. • FV = Pv * ( 1 + r )n0 * ( 1 + l * r ) • Př Kolik musíme uložit, abychom za 5 let a 3 měsíce měli obnos 100 000 Kč 17 při úrokové sazbě 9,6% p.a.? Úroky jsou připisovány jednou za rok, ponechávány na účtu a dále úročeny. • Př V oznámení o aukci 91 denních SPP s nominální hodnotou 1 mil. Kč je jako max. akceptovatelná (roční) úroková míra uvedeno 5,65%. Jaká cena SPP odpovídala této úrokové míře? Jakou (roční) míru zisku realizoval investor, který SPP koupil za tuto cenu a prodal ji za 58 dní (tj. 33 dny před splatností) za cenu 996 300 Kč?

22. Př Směnka na $20 000 je splatná za dva roky a 5 měsíců. Jaký je její základ při spojitém úrokování s roční nominální úrokovou mírou 15%?

23. VZTAH MEZI BUDOUCÍ A SOUČASNOU HODNOTOU – VÝNOS INVESTICE, VÝNOSOVÁ KŘIVKA • Výnos do splatnosti pro pokladniční poukázku či bezkuponovou obligaci • Výnosové křivky • Forvardová křivka (očekávání) • Durace • Konvexita

24. Obligace (Dluhopisy)je dlouhodobý cenný papír, který vyjadřuje dlužnický závazek emitenta vůči oprávněnému majiteli dluhopisu • Doba splatnosti – kdy dochází ke splacení nominální hodnoty dluhopisu • může být upravena – emitent si vyhradí právo na předčasné splacení dluhopisů • (call opce), toto právo může být dáno majiteli dluhopisu (put opce) • dluhopisy s pevnou kuponovou úrokovou sazbou • dluhopisy s pohyblivou kuponovou úrokovou sazbou (PRIBOR, LIBOR) • dluhopisy s nulovým kuponem • Cena dluhopisu (P) – tržní, teoretická

25. C – roční kuponová úroková platba • F – nominální hodnota dluhopisu • Př: Vypočítej teoretickou cenu dluhopisu s pevnou kuponovou sazbou 10% p.a., nominální hodnotou 1000 Kč, se splatností 3 roky a při tržní úrokové míře 11%. • - je – li kupon nulový P = F = (1 + i)n

26. Př: Vypočítejte teoretickou cenu dluhopisu s nulovým kuponem se splatností 3 roky, nominální hodnota dluhopisu činí 1000 Kč, při tržní úrokové míře 11% p.a. • Výnos z dluhopisu (r) kuponový úrokový výnos rozdíl mezi cenou kupní a prodejní (F) • Př:Jaký je výnos dluhopisu s dobou splatnosti 5 let, jestliže kupní cena byla 10 000 Kč a prodejní cena 21 000 Kč? Úroky byly připisovány p.a., p.s., p.q. a p.m.

27. Př:Kolik bude stát obligace s nominální hodnotou 1 000 Kč, splatná za 3 (5 let) roky, jestliže její výnos je 8% (9%)? • Kuponová výnosnost • Běžná výnosnost

28. Alikvotní úrokový výnos (AUV) • část kuponového úrokového výnosu, odpovídající době od výplaty posledního kuponu do dne, ke kterému jej počítáme • Výnosové období • AUV% = pk * tv • 360 • pk – kuponová úroková sazba dluhopisu • tv – délka výnosového období

29. Výše AUV Čas Datum emise, datum výplaty posledního kuponu Datum vypořádání obchodu Datum výplaty dalšího kuponu

30. Banka se rozhodla pro krátkodobou investici a zakoupila T-bill (pokladniční poukázky v USA) s nominální hodnotou 1 000 000 $ a dobou splatnosti 13 týdnů nabízený za cenu 968 710 $. Za 60 dní však tuto poukázku prodala firmě, která potřebovala právě na jeden měsíc před jinou očekávanou investicí vhodně umístit své rezervy a byla ochotna za T-bill zaplatit 989 250 $. Byl takový prodej poukázky před jejím datem splatnosti výhodný?

31. Jiný ukazatel výnosnosti- rendita – zjednodušení výnosnosti do doby splatnosti • Výnosnost za dobu držby:

32. Př: Uvažujte dva pětileté dluhopisy v nominální hodnotě 10 000 Kč s ročními kupony, přičemž dluhopis 1 má kuponovou sazbu 6% a tržní cenu 9 560 Kč a dluhopis 2 má kuponovou sazbu 14% a tržní cenu 10 670 Kč. Spočtěte a) běžný výnos b) výnos do splatnosti c) aproximativní výnosy. • Př: Uvažujte tři pětileté dluhopisy v nominální hodnotě 10 000 Kč s ročními kupony, přičemž dluhopis 1 má kuponovou sazbu 9,8% a tržní cenu 10 000 Kč, dluhopis 2 má kup. Sazbu 6% a tržní cenu 8 840 Kč a dluhopis 3 má kup. Sazbu 14% a tržní cenu 11 280 Kč. Spočtěte pro tyto dluhopisy a) hrubý výnos do splatnosti, b) čistý výnos do splatnosti s daňovou sazbou 15 %.

33. Př:Jaké čisté výnosnosti dosáhne klient, jestliže uložil na počátku roku 100 000 Kč na šestiměsíční termínovaný vklad při 10% úrokové sazbě p.a. a v polovině roku kapitál včetně vyplacených úroků znovu okamžitě uložil na šestiměsíční term. Vklad při 12% úrokové sazbě p.a.?Úroky z vkladů podléhají dani z příjmů ve výši 15%. • Př: Dluhopis s pevnou kuponovou úrokovou platbou má kup. Sazbu 10% p.a. , nominální hodnotu 1 000 Kč a kupní cenu 950 Kč. Po jednom roce se dluhopis prodal za cenu 1 150 Kč. Jaká byla hrubá a čistá výnosnost, jestliže úroky podléhají dani z příjmu 25%.

34. VÝNOSOVÉ KŘIVKY vztah mezi výnosem do splatnosti a dobou do splatnosti dluhopisů (státní) konkrétní dluhopisy lišící se pouze dobou do splatnosti (shodné další vlastnosti) s delší dobou do splatnosti větší výnos (rostoucí)

35. Výnosová křivka: • bezkuponových dluhopisů • kuponových dluhopisů • Forwardová

37. Př:Máme tři kuponové dluhopisy v nom. hodnotě 10 000 Kč s ročními kupony. 1 - jednoletý s kup. sazbou 5,8% a tržní cenou 9 980 Kč. 2 - dvouletý s kup. sazbou 7,2% a tržní cenou 9 960 Kč. 3 - tříletý s kup. sazbou 8,9% a tržní cenou 9 920 Kč.Odhadněte odpovídající hodnoty výnosové křivky bezkuponových dluhopisů.

38. FORWARDOVÁ KŘIVKA (očekávání) • znázorňuje závislost mezi forwardovými výnosy do splatnosti a dobou do splatnosti bezkuponových či kuponových dluhopisů • křivky rostoucí: forwardová leží vždy nad výnosovými křivkami • je z roku na rok, z roku na dva, z roku na tři ………… • křivky klesající: forwardová leží vždy pod výnosovými křivkami

39. je-li rostoucí: trh očekává zvýšení úrokových sazeb • je-li klesající, očekává snížení úrokových sazeb • Př: Zjistěte body forwardové výnosové křivky, jestliže znáte body výnosové křivky: y1* = 8%, y2* = 9%, y3* = 10% při spojitém připisování úroků.

40. DURACE • Je to aritmetický průměr dob do splatnosti jednotlivých plateb (kromě pořizovací ceny), které souvisejí s dluhopisem a jsou váženy velikostmi plateb diskontovaných ke dni emise. • průměrná doba do splatnosti • průměrná doba pro získání příjmů spojených s dluhopisem (Macaulayova)

42. dále je durace mírou citlivosti dluhopisu na změny tržních sazeb (modifikovaná)

43. Durace je tím nižší čím: • vyšší jsou platby plynoucí z dluhopisu do splatnosti • dříve platba z daného instrumentu nastává • kratší je celková doba do splatnosti

44. čím menší hodnota durace, tím menší jsou změny v jeho tržní ceně vzhledem ke změnám tržních úrokových sazeb

46. Př: Vypočítejte DMac , Dmod dluhopisu s pevnou kuponovou úrokovou sazbou 8%, jestliže nominální hodnota dluhopisu je 1.000 Kč, doba do splatnosti 3 roky, aktuální tržní cena je 950,25 Kč a výnosnost do doby splatnosti tedy 10%. (Kuponové platby jsou vypláceny 1x ročně, první bude následovat za rok). O kolik se změní cena tohoto dluhopisu, jestliže se změní úrokové sazby o 1%. Vypočítej přímo a pomocí durace.

47. Změny hodnot dluhopisu při změnách tržní úrokové míry. • Př: Vypočítejte změny počáteční a koncové hodnoty tříletého dluhopisu v nominální hodnotě 10.000 Kč s ročními kupony a kup. sazbou 10% při tržní úrokové míře 10%, jestliže tržní úroková míra klesne (vzroste) o 5% (tj. i = + 5 %).

48. KONVEXITA • Zpřesnění aproximací výpočtu durace se nazývá konvexita.(CX)