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MECANIQUE DES SOLIDES DEFORMABLES

MECANIQUE DES SOLIDES DEFORMABLES. Fabrice PIERRON, René ROTINAT, Raphaël MOULART. PREAMBULE. =. =. =. Préambule (1). Quelques notions indispensables…. Acquisition de compétences. Obtention d’un diplôme. Connaissance de solutions. Capacités d’analyse. Curiosité Rigueur Exigence.

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MECANIQUE DES SOLIDES DEFORMABLES

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Presentation Transcript

  1. MECANIQUE DES SOLIDES DEFORMABLES Fabrice PIERRON, René ROTINAT, Raphaël MOULART F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)

  2. PREAMBULE F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)

  3. = = = Préambule (1) Quelques notions indispensables… Acquisition de compétences Obtention d’un diplôme Connaissance de solutions Capacités d’analyse Curiosité Rigueur Exigence Travail pour l’examen Vous n’êtes plus au lycée ! F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)

  4. Préambule (2) Exemple Hiérarchie Mécanique des milieux continus Concepts Méthode des éléments finis Méthodes Outils Codes de calculs Critère de hiérarchie : Pérennité (et degré d’importance) F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)

  5. Méthode de travail (1) Cours (3 séances de 2h) : cœur de la formation pour cet enseignement TP (4h) Assimilation du cours (acquisition de la compétence) : travail personnel (environ 40 mn par heure de cours)Fiches d’auto-évaluation Réponse aux questions: dans mon bureau Présence dans les créneaux affichés à l’emploi du temps F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)

  6. Méthode de travail (2) F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)

  7. Méthode de travail (3) Documents de cours : fichiers PowerPoint (polycopié électronique) http://www.camfit.fr/MSD1a Idées à évacuer • On a pas besoin de recopier donc on peut glander (ou discuter, ou finir sa nuit etc…) • Même si je ne veux rien faire, je dois venir en cours • Je travaille pour avoir une note F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)

  8. INTRODUCTION F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)

  9. A l’échelle macroscopique Mécanique newtonienne des solides Mécanique ‘intuitive’, adaptée à notre monde usuel, fin XVIIéme siècle Mécanique relativiste Généralisation de la théorie newtonienne, vitesses proches de la vitesse de la lumière, début XXème siècle A l’échelle atomique Mécanique quantique Description à l’échelle de quelques atomes au maximum, début XXème siècle Théories physiques F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)

  10. Sir Isaac Newton Mathématicien, physicien et philosophe anglais Woolsthorpe 1642 – Londres 1727 Principes mathématiques de la philosophie naturelle, 1687 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)

  11. Principe fondamentale de la dynamique(PFD, ou deuxième loi de Newton, 1687) Autre forme : théorème de la quantité de mouvement Choc entre deux solides sans efforts extérieurs : conservation de la quantité de mouvement Mécanique newtonienne des solides F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)

  12. Modélisation Description mathématique simplifiée de la réalité F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)

  13. Description de trajectoires (ballistique, mouvement des planètes etc.) On assimile le solide à un point où est concentrée sa masse Grandeurs descriptives : Extensive Vecteur position Intensive Vecteur force Principe fondamentale de la dynamique(PFD, ou deuxième loi de Newton) Principaux modèles en mécanique des solides (1) I. Mécanique du point matériel F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)

  14. Description de trajectoires complexes On assimile le solide à un ensemble de points massiques Les distances entre les points sont conservées Principaux modèles en mécanique des solides (2) II. Mécanique du solide indéformable F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)

  15. Principe fondamentale de la dynamique(PFD, ou deuxième loi de Newton) Théorème de la résultante dynamique (mouvement du centre de gravité) Théorème du moment dynamique (mouvements de rotation) Principaux modèles en mécanique des solides (3) II. Mécanique du solide indéformable Grandeurs descriptives : Intensive Extensive Vecteur position Vecteur force Vecteur rotation Vecteur moment F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)

  16. On assimile le solide à un ensemble de points massiques Les distances entre les points ne sont plus conservées C’est l’objet de ce cours ! Principaux modèles en mécanique des solides (4) III. Mécanique du solide déformable F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)

  17. x x k F = 0 x F = kx F Principaux modèles en mécanique des solides (5) III. Mécanique du solide déformable Modèle de solide déformable simple : le ressort Il existe d’autres modèles de ressorts (en rotation, non linéaire etc…) F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)

  18. Principaux modèles en mécanique des solides (6) III. Mécanique du solide déformable Modèle de solide déformable discret : assemblages de masses et de ressorts Très utilisé en mécanique des vibrations (2ème année) F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)

  19. Modèle de solide déformable continu Application principale : dimensionnement des structures Principaux modèles en mécanique des solides (7) III. Mécanique du solide déformable F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)

  20. Principe fondamentale de la statique(PFS, cas particulier du PFD) Approximation associée : phénomènes lents Lente succession d’états d’équilibres : quasi-statique mais Objet de ce cours Principaux modèles en mécanique des solides (8) Statique F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)

  21. Principaux modèles en mécanique des solides (9) Dynamique Vibrations : petits mouvements autour d’une position d’équilibre Importance : acoustique, résonance Cours de 2ème année Dynamique avec grands mouvements F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)

  22. Statique ; • Dynamique. • Tenseur des déformations ; • Tenseur des contraintes ; • Equilibre local ; • Loi de comportement ; … Milieux continus Période 1 F. Pierron Méthodes approchées : Poutres, plaques, coques. (Hyp. Cinématiques) Période 2, R. Rotinat Méthodes approchées numériques : Méthode des éléments finis, … (Approx. des solutions) Période 3, R. Moulart • Petites transformations • Grandes déformations • Grands déplacements • Elasticité linéaire, non-lin. ; • Viscoélasticité ; • Plasticité ; … Lois de comportement Objet de ce cours • Solides déformables F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)

  23. MECANIQUE DES SOLIDES DEFORMABLES Période 1 : bases du modèle de solide déformable continu Fabrice PIERRON F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)

  24. PLAN DU COURS F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)

  25. Plan du cours (1) • Préalable : Notions de base sur les tenseurs • Convention de notation • Tenseurs : définition et propriétés • Changements de base des tenseurs d’ordre 1 et 2 • Notion de base propre et d’invariants • Deux opérateurs utiles • Cinématique : Notion de déformation • Généralités • Transformation d’un vecteur • Déformations : changements de longueur et d’angles • Interprétation du tenseur des déformations • Notion de rotation solide • Notion de mouvement de corps rigide F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)

  26. Plan du cours (2) • Cinématique : Notion de déformation • Conditions de compatibilité • Déformations principales, directions principales • Quelques états de déformation particuliers • Variation de volume • Cercle de Mohr • Notion de contrainte • Vecteur contrainte et tenseur des contraintes • Relations d’équilibre • Écriture de l’équilibre d’une section d’un solide • Conditions de bords libres • Quelques états de contrainte particuliers • Cercle de Mohr F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)

  27. Plan du cours (3) • Loi de comportement : Élasticité linéaire isotrope • Bilan • Poser le problème • Les conditions aux limites • Énergie de déformation élastique F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)

  28. 1. PREALABLE : Notions de base sur les tenseurs F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)

  29. Exemple 1 : produit scalaire Notation habituelle Exemple 2 : divergence d’un vecteur Notation habituelle Notation avec convention IMR Conventions de notation (1) Convention de l’indice muet répété (IMR ou convention d’Einstein) Notation avec convention IMR F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)

  30. Notation avec convention IMR i,k : indices francs j : indice muet Simplification des notations ! Notation habituelle Notation avec convention IMR i,j,k,l : indices francs m,n,o,p : indices muets Conventions de notation (2) Indice franc, indice muet Notation habituelle F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)

  31. Exemple 2 : En combinant les deux conventions Conventions de notation (3) Notation avec virgule (dérivation) Exemple 1 : F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)

  32. Tenseur d’ordre (ou de rang)1 : représenté par un vecteur Vecteur : ensemble de scalaires Tenseur d’ordre (ou de rang)2 : représenté par une matrice Matrice : ensemble de vecteur Tenseur d’ordre (ou de rang)n : représenté par un tableau en n dimensions Ensemble de tenseurs de rang n-1 Tenseur de rang 4 composantes dans l’espace à 3 dimensions Qu’est-ce qu’un tenseur ? (1) Tenseur d’ordre 0 : scalaire Ensemble de composantes F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)

  33. Tenseur d’ordre 1 Tenseur d’ordre 2 vecteur matrice 1 y y 2 x x Qu’est-ce qu’un tenseur ? (2) Deux vecteurs mais un seul tenseur !! F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)

  34. Ancienne base : Nouvelle base : Changement quelconque Changements de base des tenseurs d’ordre 1 et 2 (1) Matrice de passage (changement de base) pour un tenseur d’ordre 1 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)

  35. Propriété de la matrice de passage dans le cas des bases orthonormées : Changement de base Tenseur exprimé dans la nouvelle base Changements de base des tenseurs d’ordre 1 et 2 (2) Matrice de passage (changement de base) pour un tenseur d’ordre 2 On applique deux fois la matrice de passage (trois fois pour un tenseur d’ordre 3, 4 fois pour un tenseur d’ordre 4 etc…) F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)

  36. Changements de base des tenseurs d’ordre 1 et 2 (3) Cas d’une rotation dans un plan pour un tenseur d’ordre 2 symétrique F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)

  37. Tout tenseur symétrique réél est diagonalisable. Il existera donc toujours une base dans laquelle le tenseur pourra s’écrire : li : valeurs propres du tenseur Cette base est appelée base principale Recherche des valeurs propres et de la base propre Notion de base propre et d’invariants (1) Notion d’invariant d’un tenseur symétrique réél d’ordre 2 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)

  38. On cherche les valeurs l telles que : Notion de base propre et d’invariants (2) F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)

  39. Les coefficients I1, I2 et I3 de l’équation caractéristique : sont donc les mêmes quelle que soit la base invariant d’ordre 3 trace du tenseur invariant d’ordre 2 Notion de base propre et d’invariants (3) Les valeurs propres sont une propriétés intrinsèque du tenseur On trouvera donc les mêmes quelle que soit la base dans laquelle on a représenté le tenseur sont appelés « invariants » du tenseur d’ordre 2 considéré F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)

  40. Notion de base propre et d’invariants (4) L’équation caractéristique admet 3 racines réélles, ce sont les valeurs propres du tenseur. Si deux matrices symétriques réélles différentes ont les mêmes invariants, alors elles sont la représentation d’un même tenseur dans deux bases différentes. Invariants dans la base propre Si un tenseur a un déterminant nul, cela signifie qu’au moins une de ses valeurs propres est nulle F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)

  41. Base propre On cherche donc les vecteurs tels que 3 système linéaire de 3 équations chacun Notion de base propre et d’invariants (5) Directions principales : ce sont les vecteurs qui forment la base propre F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)

  42. et on détermine les autres On choisi par exemple composantes, ceci pour chacun des trois vecteurs de la base propre Exemple En dimension 2 Notion de base propre et d’invariants (6) Comme, par définition, admet une infinité de solutions (équations liées) Ensemble de vecteurs colinéaires F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)

  43. Notion de base propre et d’invariants (7) Direction propre 1 Direction propre 2 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)

  44. Divergence d’un tenseur de rang 2 Deux opérateurs utiles Gradient d’un tenseur de rang 1 (vecteur) F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)

  45. 2. CINÉMATIQUE : notion de déformation F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)

  46. Translation d’ensemble (corps rigide) Rotation d’ensemble (corps rigide) Déformation Généralités (1) F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)

  47. M 3 2 1 Configuration initiale ou “lagrangienne” Configuration déformée ou “eulérienne” Généralités (2) M0 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)

  48. Généralités (3) Leonhard Euler Mathématicien et physicien suisse Bâle 1707 – St-Petersbourg 1783 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)

  49. Généralités (4) Joseph Louis, Comte de Lagrange Mathématicien franco-italien Turin 1736 – Paris 1813 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)

  50. Généralités (6) Notion de champ tensoriel Champ tensoriel : ensemble de tenseurs variables en chaque point de l’espace F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)

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