Chapitre 3 Equilibre des solides

1. Chapitre 3 Equilibre des solides

2. Sommaire 1. Conditions d’équilibre d’un solide 1.1 Rappels 1.2 Conditions d’équilibre d’un solide 1.3 Un exemple 1.4 Stabilité de l’équilibre 1.5 Recherche d’une action rétablissant l’équilibre d’un solide 2. Quelques équilibres2.1 Cas d’une poutre 2.2Cas d’un système réticulé 2.3 Solide soumis à deux forces coplanaires 2.4 Solide soumis à trois forces coplanaires. 3. Comment traiter les problèmes d’équilibre 3.1 Notations 3.2 Enoncé de la méthode 3.3 Exemple

3. 1.1 Rappels • Domaine d’étude : • On considère des solides plans chargés dans leur plan par des forces et de couples concentrés (dénommées actions) • Lors de l’étude de leur équilibre, les solides sont considérés comme indéformables Eléments de réduction d’un ensemble d’actions en un point P : • Les éléments de réduction d’un ensemble d’actions en un point P caractérisent complètement l’effet de ces actions. • Il y a deux éléments de réduction en un point P quelconque : • la résultante des forces R • le moment résultant par rapport au point P de l’ensemble des actions (forces et couples concentrés) M/P 1. Conditions d’équilibre du solide 1. Conditions d’équilibre du solide

4. 1.1 Rappels F2 F3 C1 C2 B1 B2 F1 A2 A1 A3 1. Conditions d’équilibre du solide Figure 1 Solide rectangulaire soumis à 3 forces et 2 couples concentrés

5. 1.1 Rappels 1. Conditions d’équilibre du solide (ici k = 3, m = 2)

6. 1.1 Rappels • Pour chacune des forces concentrées, Fi, il y a deux éléments de réduction: • une résultante notée Fi indépendante de P • un moment par rapport à P, noté M(Fi)/P, ou plus simplement Mi/P Pour chacun des couples concentrés Ci il y a un seul élément de réduction : • le moment du couple concentré qui est constant, noté Ci (la lettre C rappelle que cette valeur est constante et ne dépend pas du point de réduction). La résultante d’un couple est nulle. 1. Conditions d’équilibre du solide

7. 1.1 Rappels Terme qui dépend du point P où est faite la réduction Terme constant indépendant du point P où est faite la réduction Calcul de la résultante du système d’actions : 1. Conditions d’équilibre du solide Calcul du moment du système d’actions par rapport au point P :

8. 1.2 Conditions d’équilibre d’un solide 0 force : système sans effet Le solide soumis à ce système d’actions ne sera pas mis en mouvement, il sera en équilibre. CONDITIONS D’EQUILIBRE D’UN SOLIDE 1. Conditions d’équilibre du solide

9. 1.3 Exemple 1. Conditions d’équilibre du solide Figure 2 Exemples

10. 1.3 Exemple 1 2 Figure 3 Equilibre d’une corde 1. Conditions d’équilibre du solide Dans ce cas tous les supports des forces peuvent être considérés comme confondus sur une même droite: on peut choisir un point P sur cette droite. Comme il n’y a pas de couples concentrés, et que tous les moments des forces par rapport à P sont nuls, la condition 2 est automatiquement vérifiée.

11. 1.4 Stabilité de l’équilibre F12 F12 F21 EnA l’équilibre est instable A 1. Conditions d’équilibre du solide A Le décalage du support du poids du rocher par rapport à A, point de contact déstabilise l’équilibre par un effet de moment qui induit une rotation, puis un écroulement. B EnB l’équilibre est stable Figure 4 Stabilité de l’équilibre

12. 1.5 Recherche d’une action rétablissant l’équilibre F2 F1 A1 A2 Dans cet exemple simple on construit la résultante F12 des forces F1 et F2, qui n’est pas nulle. Il suffit d’avoir une force F3 directement opposée à F12, pour rétablir l’équilibre. Les forces F1, F2, F3 satisfont les deux conditions d’équilibre. On peut vérifier que la somme des moments est nulle (le choix du point commun d’intersection des trois supports comme point P de réduction des forces suffit à le prouver) F3 1. Conditions d’équilibre du solide F12 Figure 5 Solide déséquilibré

13. 2.1 Cas d’une poutre Actions « directement » appliquées sur la poutre F2 Action répartie d’intensité « p » 2. Quelques équilibres 2. Quelques équilibres A2 A3 A1 F3 F1 Actions exercées par les appuis sur la poutre « Réactions d’appui » Figure 6 Actions conditionnant l’équilibre d’une poutre

14. 2.2 Cas d’un système réticulé 2. Quelques équilibres Equilibre de l’ensemble acquis lorsque tous les « nœuds sont en équilibre » Figure 7 Système “réticulé”

15. 2.3 Solide soumis à deux forces coplanaires Les supports des deux forces doivent être confondus, leurs sens opposés et leurs sens opposés. 2. Quelques équilibres Figure 8 Equilibre d’un solide soumis à deux forces concentrées

16. 2.4 Solide soumis à trois forces coplanaires. Condition nécessaire d’équilibre : les supports des trois forces doivent appartenir au même plan (elles sont co planaires), et ils doivent être concourants. 2. Quelques équilibres Figure 9 Solides soumis à trois forces coplanaires

17. 2.4 Solide soumis à trois forces coplanaires. Echelle 2. Quelques équilibres Mur ? Inclinaison du support de l’action du mur sur l’échelle Sol Figure 10 Equilibre d’un échelle

18. 3.1 Notations 3. Comment traiter les problèmes d’équilibre 3. Comment traiter les problèmes d’équilibre

19. 3.2 Enoncé de la méthode • Dessiner le solide et indiquer les cotes. Placer les liaisons • Donner un nom à toutes les actions connues, les dessiner sur le plan, en indiquant • leur point d’application Ai, leur support, leur sens et leur intensité pour les forces, • leur point d’application Bj, leur sens et l’intensité Cj pour les couples concentrés. • Donner un nom à toutes les actions inconnues de liaisons entre les solides. Le point d’application et le support sont associées aux modes de liaison (d’assemblage, voir chapitre 4). L’intensité et le sens seront le résultat d’un calcul. • Choisir un système d’axes de référence (xOy) et les conventions de signe (pour la rotation privilégier le sens trigonométrique) • Calculer les composantes des forces et des moments connus • Donner un nom aux composantes des forces et des moments inconnus • Ecrire les conditions d’équilibre : résultante nulle (ce qui donne 2 équations) et moment résultant nul /P (1 équation) 3. Comment traiter les problèmes d’équilibre

20. 3.3 Exemple 3.00 6.00 0.50 2.50 5.50 0.50 A1 A2 A3 3. Comment traiter les problèmes d’équilibre A4 1.Dessiner le solide et indiquer les côtes. Placer les liaisons

21. 3.3 Exemple A2 A1 A3 3.00 6.00 0.50 2.50 5.50 0.50 3. Comment traiter les problèmes d’équilibre A4 2. Donner un nom à toutes les actions connues, les dessiner sur le plan, en indiquant leur point d’application Ai, leur support, leur sens et leur intensité pour les forces F1 = 15000 N F2 = 10000 N F3 = 7500 N

22. 3.3 Exemple 3.00 6.00 0.50 2.50 5.50 0.50 A2 A1 A3 A4 3. Comment traiter les problèmes d’équilibre 3 Donner un nom à toutes les actions inconnues de liaisons entre les solides. Le point d’application et le support sont associées aux modes de liaison

23. 3.3 Exemple 3.00 6.00 0.50 2.50 5.50 0.50 A2 A1 A3 y A4 + O x 4 Choisir un système d’axes de référence (xOy) et les conventions de signe 3. Comment traiter les problèmes d’équilibre

24. 3.3 Exemple A2 A1 y + O x 5 Calculer les composantes des forces et des moments connus 6 Donner un nom aux composantes des forces et des moments inconnus 3.00 6.00 0.50 2.50 5.50 0.50 3. Comment traiter les problèmes d’équilibre A3 A4

25. 3.3 Exemple 5 Calculer les composantes des forces et des moments connus 3. Comment traiter les problèmes d’équilibre 6 Donner un nom aux composantes des forces et des moments inconnus

26. 3.3 Exemple 7 Ecrire les conditions d’équilibre : résultante nulle (ce qui donne 2 équations) et moment résultant nul /P (1 équation) 3. Comment traiter les problèmes d’équilibre On choisit le point A4 Perte d’équilibre en rotation