COMPORTEMENT MECANIQUE DES SYSTEMES

1. Chapitre 3 COMPORTEMENT MECANIQUE DES SYSTEMES Partie 2 Résistance Des Matériaux (R.D.M.) Traction Compression STI 2D TRANSVERSAL

2. Résistance des matériaux Traction Compression 4. Traction -Compression 4.1 Contrainte normale • La contrainte normale caractérise les liaisons mécaniques internes au matériau (représentées par le torseur de cohésion ) sur chaque élément de surface dSde la section S quelconque. C’est le rapport entre l'action mécanique , qui s'exerce sur l'élément de surface dS de la section S, sur la surface dS. avec : - N ……………………………………………………… - S……………………………………………………….-  …………………………………………..…………. l’effort normal en Newton l’aire de la section droite en mm2 la contrainte normale en N/mm2 ou MPa Remarque : les unités du S.I. sont les N, m2 et les Pa mais les unités usuelles sont celles mentionnées ci-dessus.

4. Résistance des matériaux Traction Compression 4.2 Condition de résistance En traction, la contraintedoit rester inférieure à une contrainte limite admissible, appelée résistance pratique à la traction Rpe. La condition devient : - Rpe…………………………………………………………………………… - Re……………………………………………………………………………. - sc………………………………………………………………… résistance pratique à la traction en MPa ou N.mm-2 résistance élastique à la traction en MPa ou N.mm-2 coefficient de sécurité (sans unité) De même en compression la condition devient : • - Rpc…………………………………………………………………………… • - Rec…………………………………………………………………………… - sccoefficient de sécurité (sans unité) résistance pratique à la compression en MPa ou N.mm-2 résistance élastique à la compression en MPa ou N.mm-2

5. Résistance des matériaux Traction Compression 4.3 Concentration de contraintes Si le solide présente des variations brusques de section, dans une zone proche de ces variations, la répartition des contraintes n’est plus uniforme. Il y a concentration de contraintes. La valeur de la contrainte maximum est : • maxi :…………………………………………………… • k : ……………………………………………………………… -o : ……………………………………………………………. contrainte maxi dans la zone de concentration maxi = k . o coefficient de concentration de contrainte contrainte nominale (théorique) Remarque :Kt est un coefficient qui dépend de la forme de la section et du type de la variation. amélioration

6. Exemple : D= 100, d=64, r=5 N = 5000 daN

7. Résistance des matériaux Traction Compression Vue détaillée pension. a a 4.4 Application : Biellette (S2) de suspension arrière du VTT VARIO L’objectif est de vérifier la résistance de la biellette en calculant la contrainte subie par la section AA de la pièce. Le matériau est un alliage d'aluminium 7075 [Al Zn 5.5 Mg Cu] de limite élastique 440 MPa et le coefficient de sécurité pour s = 4 Une étude dynamique a permis de calculer que l’effort de compression sur la biellette est très élevé et peut atteindre une valeur de 10000 N. Question 1 :Exprimer littéralement la contrainte normale dans la section AA, en considérant le paramètre de condition de résistance a.

8. Résistance des matériaux Traction Compression Vue détaillée pension. a a 4.4 Application : Biellette (S2) de suspension arrière du VTT VARIO L’objectif est de vérifier la résistance de la biellette en calculant la contrainte subie par la section AA de la pièce. Le matériau est un alliage d'aluminium 7075 [Al Zn 5.5 Mg Cu] de limite élastique 440 MPa et le coefficient de sécurité pour s = 4 Une étude dynamique a permis de calculer que l’effort de compression sur la biellette est très élevé et peut atteindre une valeur de 10000 N. Question 2 : En supposant a = 8 mm, calculer la valeur de la contrainte de compression dans la section A-A.

9. Résistance des matériaux Traction Compression Vue détaillée pension. a a 4.4 Application : Biellette (S2) de suspension arrière du VTT VARIO L’objectif est de vérifier la résistance de la biellette en calculant la contrainte subie par la section AA de la pièce. Le matériau est un alliage d'aluminium 7075 [Al Zn 5.5 Mg Cu] de limite élastique 440 MPa et le coefficient de sécurité pour s = 4 Une étude dynamique a permis de calculer que l’effort de compression sur la biellette est très élevé et peut atteindre une valeur de 10000 N. Question 3 : Conclure quant à la résistance de cette partie de la pièce.

10. Résistance des matériaux Traction Compression Contrainte en Pa a a 4.4 Application : Biellette (S2) de suspension arrière du VTT VARIO Une simulation informatique du comportement en charge de la biellette à l’aide d'un logiciel de calculs par éléments finis : le résultat de cette simulation est fourni sur la figure ci-dessous. Question 4 : Sur la figure ci-dessus,entourez en rouge les zones de plus fortes contraintes (concentrations de contraintes).

11. Résistance des matériaux Traction Compression Contrainte en Pa a a 4.4 Application : Biellette (S2) de suspension arrière du VTT VARIO Une simulation informatique du comportement en charge de la biellette à l’aide d'un logiciel de calculs par éléments finis : le résultat de cette simulation est fourni sur la figure ci-dessous. Question 5 : Indiquer la valeur de la contrainte maximum ( max) subie par la pièce.

12. Résistance des matériaux Traction Compression Contrainte en Pa a a 4.4 Application : Biellette (S2) de suspension arrière du VTT VARIO Une simulation informatique du comportement en charge de la biellette à l’aide d'un logiciel de calculs par éléments finis : le résultat de cette simulation est fourni sur la figure ci-dessous. Question 6 : Conclure quant à la résistance de la pièce (rappel : Re = 440 MPa)

13. Résistance des matériaux Traction Compression L L0 X0 XX X L 4.5 Déformation : cas de l’allongement Pour un grand nombre de matériaux (métaux, polymères ...) les essais de traction montrent qu’il existe une ………………………………………, par analogie aux ressorts (F=k.x), pour laquelle l’allongement est ………………….… ………………………………….La loi de Hooke traduit cette propriété : une zone élastique proportionnel à l’effort de traction avec :- ……………………………………………………- …………………………………………………….- E …………………………………………………………………………………………………. Remarque : la contrainte normale en Mpa (N/mm2 ) l’allongement relatif (sans unité) le module d’élasticité longitudinale (module d’Young) en MPa propre à chaque matériau.

14. Résistance des matériaux Traction Compression 4.6 Application La potence à tirant proposée est utilisée en manutention pour lever et déplacer des charges. Elle se compose d'un palan 4, d'une poutre - rail 3, d'un fût pivotant 1 et du tirant 2.Le tirant 2 est soumis à une sollicitation de traction : il est soumis à l'action de deux forces D1/2, et B3/2, égales et opposées, direction (BD), intensité maximale 6 200 daN . Le tirant est cylindrique, de diamètre d inconnu, de longueur 2,8 m, et est réalisé en acier (limite élastique Re = 300 MPa). Le diamètre d sera déterminé dans les paragraphes suivants. Question 1 : Déterminer la contrainte normale  en supposant le diamètre du tirant 2 d = 20 mm.  = N / S = 4x62000/x20² = 4N/d² = 197 N/mm²=197Mpa

15. Résistance des matériaux Traction Compression 4.6 Application Question 2 : Si on impose une contrainte admissible (Rpe ) de 100 MPa, déterminer le diamètre dminimal pour la construction de celui-ci et le coefficient de sécurité adopté. d²  4N / .Rpe d28.1mm max = N / S Rpe 4N/d²Rpe • Le constructeur devra choisir un diamètre aussi proche que possible de 28.1 mm tout en restant supérieur à cette valeur. Rpe = Re / s s = Re / Rpe s =300/100= 3

16. Résistance des matériaux Traction Compression 4.6 Application Question 3 : Sous charge, le tirant s'allonge de 1,4 mm. Déterminer . = L / L0 • = 1,4/2800 = 0,0005

17. Résistance des matériaux Traction Compression 4.6 Application Question 4 : Déterminer le module d’Young du matériau du tirant . données : d = 28 mm, = 100 MPa, L = 2,8 m • = x E • = 100/0,0005 E =/ • = 200000MPa

18. Résistance des matériaux Flexion simple Ty Mfz 5. Flexion simple (Cas d’une poutre de section circulaire) 5.1 Contrainte normale Rappel : torseur de cohésion sur chaque élément de surface dS : • Dans le domaine élastique, comme il y a proportionnalité entre le moment de torsion et la contrainte normale  cette relation s’écrit : avec : - Mfz le moment de flexion dans la section porté par l’axe (G ;z) - IGzle moment quadratique de la section droite de (S) par rapport à l’axe (G,) (mm4) - y ordonnée du point dans le repère -  la contrainte normale au point en N/mm2 ou MPa

19. Résistance des matériaux Flexion simple Ty Mfz 5. Flexion simple (Cas d’une poutre de section circulaire) 5.1 Contrainte normale • Remarque : L’influence des contraintes tangentielles ou de cisaillement est négligeable devant celle des contraintes normales.

20. Résistance des matériaux Flexion simple 5.2 Condition de résistance Dans la zone de traction, la contrainte doit rester inférieure à une contrainte limite admissible, appelée résistance pratique à la traction Rpe. La condition devient : • avec : - Rpe résistance pratique à la traction en MPa-Re résistance élastique à la traction en MPa- sc coefficient de sécurité (sans unité) De même en compression la condition devient : • avec : • - Rpc résistance pratique à la compression en Mpa • - Rec résistance élastique à la compression en MPa • -sc coefficient de sécurité (sans unité)

21. Résistance des matériaux Flexion simple 5.3 Déformations  Dans le domaine élastique la flèche (déformation transversale) s’écrit :

22. Résistance des matériaux Flexion simple 5.4 Application :Articulation arrière du vérin de braquage du ROBUCAR La société française ROBOSOFT commercialise des véhicules automatiques « intelligents », électriques et autonomes appelés Robucar. Ce type de véhicule est destiné à évoluer dans des milieux sains ou hostiles pour accomplir des missions spécifiques (transports dangereux, déminage). Le Robucar, dirigé par un ordinateur de bord, est constitué de deux ponts identiques et indépendants. Chaque pont comporte : - deux roues entraînées chacune par un motoréducteur électrique repère 2. - une commande de braquage animée par un vérin électrique repère 4. - un dispositif de suspension à 2 triangles en parallélogramme. Les motoréducteurs et le vérin sont gérés par des calculateurs en relation avec l’ordinateur de bord. Pour des raisons économiques, les concepteurs cherchent à reprendre les mêmes solutions technologiques sur les différents modèles de véhicule.L’étude portera sur l’articulation arrière du vérin de braquage 4 (voir figure ci-dessous) et aura pour objectif de vérifier si la solution technologique définie pour la liaison pivot de centre A et d’axe x entre le vérin 4 et l’ensemble châssis de la version RV100 peut être implantée sur le modèle RV200.

23. Résistance des matériaux Flexion simple 5.4 Application :Articulation arrière du vérin de braquage du ROBUCAR Zone de l’étude Données et hypothèses : - la vis 201 et la bague 202 sont assimilées à une pièce unique (cette modélisation est proposée page suivante figures 1, 2 et 3) ; - le moment quadratique d’une section circulaire est IGz= π.d4/64 ;- pour ce type de système le coefficient de sécurité est 1.

24. Résistance des matériaux Flexion simple

25. Résistance des matériaux Flexion simple Caractéristiques de certains matériaux métalliques : Aciers et fontes:

26. Résistance des matériaux Flexion simple Métaux non ferreux:

27. Résistance des matériaux Flexion simple Question 1 : A l’aide de la figure 3, déterminer le torseur des efforts de cohésion dans la section de centre de gravité G. Le torseur de cohésion en G {T coh} est égal à + l'ensemble des actions mécaniques extérieures situé à droite de G Sens de MG,F : fait tourner de y vers x  moment négatif = 8,5 x2250 = 19125 mmN Question 2 : Indiquer à quelles sollicitations est soumise cette section. Ty introduit une sollicitation de cisaillement transversalMfz introduit une sollicitation de la flexion FLEXION SIMPLE

28. Résistance des matériaux Flexion simple L’étude suivante a pour but de définir la contrainte maximale de flexion dans la section de centre de gravité G. Dans cette section existe un phénomène de concentration de contraintes dû au changement de diamètre. Question 3 :A l’aide de l’abaque figure 4 et de la géométrie du modèle, définir le coefficient de concentration de contraintes k dans la section de centre de gravité G. k = 2,2

29. Résistance des matériaux Flexion simple Question 4 :Calculer la contrainte maximale de flexion dans cette même section. le moment quadratique d’une section circulaire est IGz= π.d4/64 ; d =10 mm  v =5 mm

30. Résistance des matériaux Flexion simple Question 5 :A l’aide de la simulation informatique proposée, relever la valeur de la contrainte maximale logicielle notéeσMAX Logicielle et la traduire en MPa. Question 6 :Conclure sur l’état de résistance de la pièce (la résistance élastique du matériau étant définie page 12). Dans les 2 cas (calcul et simulation informatique) la pièce ne résiste pas. Donc on ne peut pas implanter la solution technologique du modèle RV100 sur le modèle RV200

31. Résistance des matériaux Flexion simple Question 7 :Proposer une solution permettant une modification au moindre coût . Choix d’un matériau différent pour la vis 201 et la bague 202 avec une résistance élastique supérieure à 487 MPa. 34 Cr Mo 4 (0.34 % Carbone , 1 % Chrome et 0.2% Molybdène) Ou 36 Ni Cr Mo 16 (0.36 % Carbone , 4% Nickel 2 % Chrome, 0.4% Molybdène) Aciers et fontes:

32. Résistance des matériaux Flexion simple Question 7 :Proposer une solution permettant une modification au moindre coût . Choix d’un matériau différent pour la vis 201 et la bague 202 avec une résistance élastique supérieure à 487 MPa. 34 Cr Mo 4 (0.34 % Carbone , 1 % Chrome et 0.2% Molybdène) ou 36 Ni Cr Mo 16 (0.36 % Carbone , 4% Nickel 2 % Chrome, 0.4% Molybdène) ou TA6V (Ti-6Al-4V : 6 % Aluminium et 4 % et Vanadium)  D’un point de vue économique le choix se portera sur le 34 Cr Mo4 Métaux non ferreux: