Poincaré et la Nouvelle Mécanique à travers

1. Poincaré et la Nouvelle Mécanique à travers La théorie de Lorentz et le principe de réaction (1900), La dynamique de l’électron (1905) et les Dernières Pensées (1912). Séminaire du LUTH, Observatoire de Paris, Meudon, jeudi 15 novembre 2012 Christian BRACCO UMR Artémis, OCA, Université de Nice-Sophia Antipolis SYRTE, équipe Histoire de l’astronomie, Observatoire de Paris

2. Les points de vue de Poincaré sur la « Mécanique Nouvelle » et leurs rapports à l’enseignement et à sa pratique scientifique, CB, JPP, Revue d’Histoire des Sciences (2012). Histoire et Enseignement de la physique : Lumière, Planètes, Relativité et Quanta, CB, Manuscrit de HDR (Mars 2010), chap. III (Tel). De l’électromagnétisme à la mécanique : le rôle de l’action dans le Mémoire de Poincaré de 1905, CB et JPP, Revue d’Histoire des Sciences62-2, 457-493 (2009). La relativité de Poincaré de 1905, CB et JPP, Actes de l’École de physique théorique de Jijel, (Paris,Hermann, 2007) 68, 323-354. La théorie de la relativité de Poincaré de 1905 et les Transformations Actives, JPP et CB, Archive for History of Exact Sciences 60, 337-35 (2006). Poincaré et l’éther relativiste, JPP, CB, GS, Bulletin de l’Union des Professeurs de Spéciales, 211, juillet 2005, p.11-36. Conférences : Jounrnée Poincaré du 9 juillet 2012, Soirées Poincaré à l’X, IHP, MG12 (Paris), Observatoire de Paris, AHP (Nancy), IAP (GReCo), Journées X-ENS-UPS… SymposiumAround Henri Poincaré’s Centenary : physics, mathematics and philosophy,5th International Conference of the European Society for the History of Science (Athènes, novembre 2012).

4. Le contexte : Poincaré confronté à la physique théorique de son temps

5. 1.Poincaré et l’enseignement Nommé à la chaire de physique mathématique et de calcul des probabilités à la Sorbonne en 1886. Electricité , optique, thermodynamique, capillarité, potentiel newtonien, oscillations …). Chaire de mécanique céleste en 1896. C’est au travers de ses enseignements qu’il prend conscience de problématiques physiques. Il passe en revue les théories électrodynamiques (Helmholtz, Maxwell, Hertz, Lorentz, Larmor, … ) et examine leurs qualités et défauts. La théorie de Lorentz lui semble la plus prometteuse mais elle a un inconvénient : elle ne satisfait pas au principe de l’action et de la réaction [1900] . Si cela n’est pas une gêne pour Lorentz, c’est un problème pour Poincaré [ce principe fait partie des 5 ou 6 principes de la physique pour Poincaré]. Caractéristique de Poincaré : se prononce sur un problème quand il s’en considère saisi et donne alors très rapidement son analyse rem : Il ne participe aux discussions sur les quanta qu’après qu’il lui ait été demandé de participer au 1er congrès Solvay fin octobre 1911. Il rédigera un premier article en décembre puis un second, ainsi qu’un conférence grand public, début de 1912. Nécessité d’introduire le discontinu. Poincaré compte alors parmi les réformateurs dans l’enseignement (réforme Georges Leygues de 1902 : conférences du musée pédagogique de 1904, etc.) [thèse de Laurent Rollet]. L. Poincaré inspecteur général de physique, R. Poincaré ministre de l’instruction publique, …).

6. 2. Le principe de moindre action (PMA) et la position de Poincaré Ce principe s’est développé pendant un siècle sur la base de l’optique et de la mécanique, commençant avec Maupertuis et continuant sur un plan mathématique avec Euler, Lagrange, Hamilton (1740-1840) : Il s’est étendu dans la seconde moitié du 19ème siècle à l’hydrodynamique, l’électromagnétisme, la thermodynamique [i.e. aux systèmes complexes pour lesquels il est difficile de déterminer les quantités physiques associées aux variables q,p]. Dans le Traité de Maxwell de 1873 Pour Poincaré ce principe est : - la contribution majeure non remarquée de Maxwell - « Un des grands principes de la physique » au-delà de tout modèle mécanique, résistant en particulier à la réduction des variables. En1899 Poincaré décrit la théorie de Lorentz en terme de PMA impliquant des variables d’éther (inobservables) dont dépendent les champs. [Mémoire de 1905 : omniprésence de l’action,rôle secondaire des modèles]

7. 3. Poincaré géomètre : le rôle clé des groupes et l’utilisation de transformations actives «  Ce qui est l’objet de la géométrie, c’est l’étude d’un « groupe » particulier … » (Science et Hypothèse, 1902). Les propriétés géométriques sont celles qui sont invariantes par rapport au groupe des déplacements. [Mémoire : « groupe de Lorentz » et invariance de l’action par rapport à ce groupe] Les transformations peuvent être passives (changements de coordonnées) ou actives (déplacements) : Pour les physiciens (comme pour les géomètres), les translations ou les rotations spatiales sont habituellement considérées comme actives. Les changements de référentiels comme passifs. [Mémoire : utilisation de TL actives]

8. 4. Lorentz 1895 : diélectriques en mouvement et « principe des états correspondants » y V t S V S0 S0 v0 v0 x’=x-Vt x z Système « au repos » : v0,ρ0(r,t),… Système en « mouvement global » [boost] : v=v0+V,… Un changement de variables(et pas de référentiel) lui permet de ramener les éq. de Maxwell pour S dans une forme analogue à celle pour S0au 1er ordre en V/c et de rendre compte de l’impossibilité de détecter le mouvement de la Terre. (Poincaré n’y reconnaît alors pas la transformation infinitésimale d’un groupe). En1904, Lorentz (sollicité par Poincaré) donne le changement de variables correct à tout ordre ; Mais seulement 3/4 éq. de Maxwell sont invariantes. [Pourquoi? La raison est que le boost galiléen de Lorentz v = v0+V ne peut pas être compensé par un tel changement]. [Début du Mémoire : Poincaré redéfinit un système en mouvement global (boost lorentzien)]

9. 5. Les modèles électromagnétiques d’électron En 1900,dans le Jubilé en l’honneur du 25ème anniversaire de la thèse de doctorat de Lorentz, Wilhem Wien propose « une fondation électromagnétique de la mécanique »qui sera développée en premier par Max Abraham (1902-1903) puis Lorentz(1904). Les outils utilisé sont l’intégration de densité électromagnétiques d’énergie (E2+B2)/2, de quantité de mouvement (Poincaré, 1900) et du lagrangien (B2-E2)/2 dans l’approximation des régimes quasi-stationnaires. Mais deux problèmes se font jour: • quelle forme pour l’électron en mouvement? Dans le modèle de Lorentz, il y a contraction dans la direction du mouvement et Lorentz Abraham Langevin - Pourquoi l’équation de Hamilton n’est-elle pas satisfaite avec le modèle de Lorentz? (problème pour Poincaré en 1905) [ « postulat de relativité » ; « pression de Poincaré » = théorème d’existence]

10. « La physique ne nous donne pas seulement l’occasion de résoudre les problèmes ; elle nous aide à trouver les moyens, et cela de deux manières. Elle nous fait pressentir la solution ; elle nous suggère des raisonnements » HP. La Valeur de la Science. [Cf. les lettres à Lorentz]

11. La théorie de Lorentz et le principe de réaction, dans le Jubilée de Lorentz, 25ème anniversaire de la thèse de doctorat, décembre 1900.

12. Poincaré mène son analyse en en trois étapes essentielles : 1) Dans le §1, Poincaré résout un paradoxe: La théorie de Lorentz (seule acceptable pour lui) ne satisfait pas au principe de l’action et de l’a réaction. En introduisant une densité de quantité de mouvement pour le champ électromagnétique, il montre que le principe est vérifié si l’on considère à la fois la matière et le champ. 2) Dans le §3, il interprète le « temps local » de Lorentz t’=t-vx/c²comme le temps indiqué par les horloges de deux observateurs séparés d’une distance l qui ont synchronisé leurs montre en utilisant des signaux lumineux, et qui ignorent le mouvement de translation dont ils sont animés (i.e. qui considèrent que dans leur référentiel la vitesse de la lumière est c). 3) Il applique cette correction au premier ordre de la relativité galiléenne au recul d’un oscillateur hertzien(au foyer d’un miroir parabolique) qui émet dans une direction un morceau d’onde plane polarisée (« canon »). [Poincaré ne considère pas la contraction pour son problème. Il n’étendra pas ses raisonnements à tout ordre en 1905].

13. tf = Dt : fin de l’émission ti = 0: origine de l’émission Longueur réelle L de la perturbation électromagnétique et longueur apparente L’ (vue du référentiel en mouvement à la vitesse v) :L ’ = L (1+v) c=1 v’ tf v’tf x t’i = 0 v Énergie réelle LE² =JΔt et énergie apparente L’E² =J’Δt :J ’ = J(1-v) v’-v t’f x’ x’=(v’-v) tf ; tf’=tf -v(v’tf) Miller reconnaît que Poincaré « a été le premier à déduire la transformation de Lorentz d’une impulsion lumineuse » (in Why did Poincaré not formulate special relativity, 1994). Relativité et conservation de la quantité de mouvement : La compatibilité de rayonnement émis « canon » initial m JΔt nécessite une « force complémentaire »- JΔtv (force de Liénard) mv’ m JΔt (1-v) m(v’ – v) En 1906, Einstein met en évidence son origine physique : v

14. Quatre Clés pour Comprendre le Mémoire de Palerme.

15. Deux articles scientifiques sur La dynamique de l’électron • Introduction • 1. Les Transformations de Lorentz (TL) • 2. Principe de moindre action (PMA) • 3. TL et PMA • 4. Groupe de Lorentz • 5.Ondes de Langevin • 6. Contraction des électrons • 7. Mouvement quasi-stationnaire • 8. Mouvement général • 9. Hypothèses sur la gravitation janvier 1906: publication 2) 23 juillet : Soumission de La dynamique de l’électron au Circolo matematico di Palermo, 63 p 11 juin : envoi de la communication à travers l’Europe (cf. Maurice Crosland pour la diffusion des CRAS) Un article difficile : * Le rôle joué par l’action * la logique (structure) de l’article 1) 5 juin : La dynamique de l’électron (CRAS, 4p).

16. Poincaré annonce une partie de ses résultats le 5 juin à l’académie (CRAS) • « … il semble que l’impossibilité de démontrer le mouvement absolu soit une loi générale de la nature » • transformations de Lorentz écrites sous forme synthétique • transformation des densités de charge et de courant et forces (corrigeant Lorentz) • condition de groupe l=1 pour éliminer les dilatations • élimination de l’ hypothèse [modèle d’électron] de Langevin qui avait l’avantage « de se suffire à elle-même  … [mais] est incapable de s’accorder avec l’impossibilité d’une expérience montrant le mouvement absolu. Cela tient […] à ce que l=1 est la seule hypothèse pour laquelle l’ensemble des transformations de Lorentz forme un groupe  ». • nouveau problème : gravitation…

17. Quatre clés pour comprendre la logique du Mémoire • PRINCIPE DE MOINDRE ACTION : transfert à la DYNAMIQUE de l’invariance relativiste de l’action électromagnétique décrivant l’électron. • Mise en mouvement du système physique (TRANSFORMATIONS de Lorentz ACTIVES) : pas de changement de référentiel, contraction conséquence des transformations et non une hypothèse. • Lettres à Lorentz (Mai 1905) : de la condition l=1 de Lorentz sur le facteur de dilatation des TL à l’ARGUMENT DE GROUPE. • La pression de Poincaré comme THÉORÈME D’EXISTENCE de la dynamique relativiste. La relativité de Poincaré n’est pas tributaire de son modèle.

18. Poincaré ne mentionne jamais un quelconque changement de référentiel dans le Mémoire (ne pas écriree =-v) 1. Poincaré corrige la définition de Lorentz du mouvement global (§1). «Les équations [Maxwell] sont susceptibles d’une transformation remarquable découverte par Lorentz, et que nous appellerons «transformations de Lorentz », et qui doit son intérêt à ce qu’elle explique pourquoi aucune expérience n’est susceptible de nous faire connaître le mouvement absolu de l’Univers » (Invariance des équations par TL = formulation mathématique du Postulat de relativité). • c=1 • lfacteur de dilatation (auquel les équations de l’électromagnétisme ne sont pas sensibles) • paramètre (vitesse) du boost x’,t’ coordonnées du système boosté !! Transformations actives(observées par Shlomo Sternberg 1986) Les TL actives ont un sens physique :

19. Poincaré commence le Mémoire par une étude cinématique : « sphère entraînée avec l’électron dans un mouvement de translation uniforme» « la transformation la changera en un ellipsoïde [son image] » Contraction= effet des LT v’=ε v=0 Loi de composition des vitesses à partir des TL. x’,t’ x,t Lois de transformations de la densité de charger,obtenue en divisant la charge électrique totale (invariant) par le volume de l’ellipsoïde (t ’ fixé), et de la densité de courants j’. Poincaré corrige Lorentz. TL active

20. les transformations des densités de charge et de courant r et rv : (1ère correction à Lorentz) Avec l’invariance de l’électromagnétisme, ces lois de transformations lui permettent de déduire très simplement celle dees potentiel A,V, des champs E, B de la force volumique et des forces f=F/r (objectif principal) : rem: comme v est sans dimension (c = 1) , il est clair que toute équation de la dynamique du type n’est pas invariante par rapport aux dilatations pures. (2nde correction à Lorentz) Celui lui permet de trouver dans le §9 plusieurs expressions de forces gravitationnelles, qui se ramènent à la loi de Newton dans le cas des petites vitesses. (Avant 1907, Einstein et Planck n’ont pas d’expression explicite de transformation des forces).

21. Poincaré commence par l’étude de l’algèbre de Lie du groupe complet (dilatations incluses) et poursuit : « Mais, pour notre objet, nous ne devons considérer qu’une partie des transformations de ce groupe ; nous devons supposer que l est une fonction de e, et il s’agit de choisir cette fonction de façon que cette partie du groupe … forme encore un groupe ». D’où vient à Poincaré l’idée de groupe pour les TL? - Il ne réalise pas que les TL de 1895 sont les transformations infinitésimales d’un groupe (ce ne sont donc pas uniquement des considérations mathématiques qui le guident). - L’idée vient soudain en mai 1905 (après la communication rapportée par Appell de E. et F. Cosserat à l’académie en avril 1905, concernant l’invariance de l’action en mécanique par un groupe de transformations?) … lettres à Lorentz. 2. La condition de Lorentz devient condition de groupe (§4).

22. 1ère lettre : Poincaré ne comprend pas Lorentz 1904. Lettres à Lorentz (Mai 1905) [Miller] : quel statut pour l? « Vous supposezl=1 [contraction de Lorentz]. Langevin suppose gl3 =1 [conservation du volume]. J’ai essayégl =1 pour conserver l’unité de temps[comme pour le temps local en 1900], mais cela m’a conduit à des conséquences inadmissibles. D’un autre côté j’arrive à des contradictions (entre les formules de l’action et de l’énergie) avec toutes les hypothèses autres que celles de Langevin[qui vérifie les éq. de Hamilton]. Le raisonnement par lequel vous établissez quel=1 ne me paraît pas concluant. » 2ème lettre : groupe « Je trouve comme vousl=1 par une autre voie[celle des groupes] … J’espère résoudre bientôt la contradiction ci-dessus[éq. de Hamilton]. » Poincaré comprend alors probablement que l’obtention par Lorentz de la condition l =1 est liée à l’invariance de l’équation de la dynamique (restriction du Postulat de Relativité à la Mécanique). 3ème lettre : « pression de Poincaré ». «  L’impossibilité de détecter le mouvement absolu est complète seulement avec l’hypothèse l =1 Seulement, pour que cette hypothèse soit admissible, il faut admettre que chaque électron est soumis à des forces complémentaires dont le travail est proportionnel aux variations de son volume».

23. Poincaré obtient au §2 les eq. de Maxwell en variant une action de type Helmholtz action par rapport à A et E 3. L’invariance de l’action (elm ou non) donne immédiatement le lagrangien relativiste. 1ère réduction : il utilise ces équations pour récrire (Abraham, 1902) rem : les champs sont alors fonctions des charges et S est donc une action mécanique. Sa propriété fondamentale est d’être invariante par le groupe complet (§3) : et conduisent à . 2nde réduction (remarque capitale de Poincaré dans le §6 avant la discussion des modèles) : Si l’électron en mouvement est caractérisé par ses variables de position uniquement : x,t x’,t’ v équivaut à Comme l=1, cela implique bien évidemment

24. Il vérifie au §7 que les deux membres de l’équation de la dynamique (discutée après l’obtention d’un modèle explicite avec l =1), obtenue avec • se transforment de la même manière, et qu’il n’y a pas d’autre équation invariante (généralisant l’approche de Lorentz). • Poincaré est alors le seul à envisager des lois de transformation (gravitation au §9) pour des forces autre que la force électrostatique dans le système au repos (Einstein, Planck) … et à être conscient de problèmes (non unicité de la solution, insuffisance pour expliquer l’avance de périhélie de Mercure [cours de 1906]). • Il obtient le premier le lagrangien relativiste, avant Planck (qui y ajoute une constante, ce qui montre que l’invariance de l’action n’est pas encore en mars 1906 sa préoccupation).

25. 4. Retour : modèle d’électron et pression de Poincaré (§6). Poincaré expose au lecteur (Lorentz …) les problèmes qu’il a rencontrés et les replace dans le cadre d’une discussion générale des modèles d’électrons E’, B’ E, B ε « Supposons un électron unique animé d’un mouvement de translation rectiligne et uniforme … on peut, grâce à la [TL], ramener l’étude du champ déterminé par cet électron au cas où l’électron serait immobile … »: électron’ au repos, idéal électron en mouvement v -ε=v Poincaré intègre dans l’espace : - l’énergie - la quantité de mouvement - le lagrangien (W’ énergie électrostatique au repos W’ ) Surprise: sauf pour (modèle de Langevin) Il faut modifier le modèle de Lorentz.

26. Poincaré montre que : - Ce problème est lié à la stabilité de l’électron. Il envisage que l’électron ellipsoïdal en mouvement a des axes r,qr,qr (r rayon, q paramètre de déformation). On vérifie simplement qu’un lagrangien du type (avec W ’ = A) assure à la fois la stabilité de l’électron (pression de Poincaré) et vérifieles équations de Hamilton : - Si la stabilité est assurée par une liaison, alors nécessairement (et il retrouve le modèle de Langevin… qui n’est pas relativiste). • Si, par contre, elle est assurée par un potentiel supplémentaire en puissances de r etq , ce potentiel doit être proportionnel à (volume de l’électron) pour être relativiste (l=1) : théorème d’existence.

27. La limitation du Mémoire: la non reconnaissance de l’inertie de toute forme d’énergie

28. Quand Poincaré discute la masse de l’électron, il en revient à W’ (terme purement elm) et il oublie la contribution du potentiel supplémentaire. Einstein fait une approche particulière de l’équivalence masse-énergie en septembre 1905 : DE=Dmc2 à partir de propriétés de la lumière. L’émission de deux « complexes lumineux » qu’Einstein nomme alors plus usuellement« un système d’ondes planes », par un corps au repos (dans le référentiel R0), est vu d’un référentiel en mouvement R. En notations modernes, les relations (de Juin 1905) L/2 R0 donnent par soustraction Qui est comparée avec ou (Juin 1905) L/2 L’identification de L avec mi– mf amène Einstein à affirmer que: « Si un corps émet de l’énergie L sous forme de rayonnement, sa masse diminue de L».

29. L’inertie de l’énergie exprimée par la relation p = vE/c² entre quantité de mouvement, vitesse et énergie ne sera justifiée par Einstein qu’en 1907 en considérant la possibilité qu’un champ électromagnétique apporte une énergie interne supplémentaire à un système restant au repos (effet Joule non nul et forces appliquées nulles) et en étudiant, à l’aide de la transformation des champs comment cela se traduit pour un système en mouvement (Jahrbuch, 1907). Le passage de la dynamique des systèmes étendus à la particule ponctuelle et l’origine du facteur 4/3 ne seront pleinement compris qu’avec Max von Laue en 1911 après l’introduction du tenseur énergie-impulsion par Minkowski en 1908 et son interprétation physique par Planck (égalité T 0i = T i0 entre flux d’énergieet densité de quantité de mouvement, généralisation de p = vE/c² ). A partir de 1911 les physiciens savent que la matière est décrite par ce tenseur. (Y. Gingras)

30. La position de Poincaré par rapport au « principe de relativité de Lorentz »

31. Poincaré ne mentionne jamais sa propre contribution à la relativité dans ses conférences et dans ses ouvrages de vulgarisation scientifique (Science etMéthode, 1908) : • Soit il suit (comme il le dit lui-même) une approche historique (qui reproduit celle de Lorentz) pour des raisons pédagogiques. • Soit il adopte une position par rapport à l’enseignement de la mécanique.

32. Science et Méthode (1908). Quelle mécanique pour l’enseignement secondaire ? « Qu’on me permette un vœu, pour terminer. Supposons que, d’ici quelques années, ces théories subissent de nouvelles épreuves et qu’elles en triomphent ; notre enseignement secondaire courra alors un grand danger : quelques professeurs voudront, sans doute, faire une place aux nouvelles théories [… ] Au moins, on voudra ouvrir aux enfants des aperçus et, avant de leur enseigner la mécanique ordinaire, on les avertira qu’elle a fait son temps et qu’elle était bonne tout au plus pour cette vieille ganache de Laplace. Et alors, ils ne prendront pas l’habitude de la Mécanique ordinaire […] C’est avec la Mécanique ordinaire qu’ils doivent vivre … quels que soient les progrès de l’automobilisme, nos voitures n’atteindront jamais les vitesses où elle n’est plus vraie. L’autre n’est qu’un luxe, et l’on ne doit penser au luxe que quand il ne risque plus de nuire au nécessaire ». L’espace et le temps (4 mai 1912). Relativité, une affaire de convention? « Quelle va être notre position en face de ces nouvelles conceptions ? Allons-nous être forcés de modifier nos conclusions ? Non certes : nous avions adopté une convention parce qu’elle nous semblait commode, et nous disions que rien ne pourrait nous contraindre à l’abandonner. Aujourd’hui certains physiciens veulent adopter une convention nouvelle. Ce n’est pas qu’ils y soient contraints ; ils la jugent plus commode, voilà tout ; et ceux qui ne sont pas de cet avis peuvent légitimement conserver l’ancienne pour ne pas troubler leurs vieilles habitudes. Je crois entre nous, que c’est ce qu’ils feront encore longtemps ». [conventionalisme? Apparaît à propos de la géométrie de Lobatchevsky dans les années 1890 et systématiquement en fin de conférence sur la mécanique nouvelle]. Poincaré et l’enseignement de la « nouvelle mécanique »

33. L’évolution des lois (1911). Un monde relativiste ?«Les anciennes lois de la dynamique n’en restent pas moins pratiquement vraies pour le monde qui nous entoure. Mais ne pourrait-on pas dire avec quelque apparence de raison que par suite de la dissipation constante de l’énergie, les vitesses des corps on dû tendre à diminuer, puisque leur force vive tendait à se transformer en chaleur ; qu’en remontant assez loin dans le passé, on trouverait une époque où les vitesses comparables à celles de la lumière n’étaient pas exceptionnelles, où par suite les lois classiques de la dynamique n’étaient pas encore vraies ? » [À cette époque, les enfants apprendraient la mécanique de Lorentz …] La théorie quantique (11 mai 1912). Un monde quantique ?« On peut se demander si la mécanique n’est pas à la veille d’un nouveau bouleversement [quanta]… cela veut-il dire que cette mécanique de Lorentz n’a eu qu’une fortune éphémère [… ] Pas le moins du monde, les conquêtes d’hier ne sont pas compromises ; en tous les points où elle s’écarte de celle de Newton, la mécanique de Lorentz subsiste. On continue à croire qu’aucun mobile ne pourra jamais dépasser la vitesse de la lumière […]Seulement à ces hardiesses, on veut en ajouter d’autres, et beaucoup plus déconcertantes. On ne se demande plus seulement si les équations différentielles de la dynamique doivent être modifiées, mais si les lois du mouvement pourront encore être exprimées par des équations différentielles. Et ce serait la révolution la plus profonde que la philosophie naturelle ait subie depuis Newton » [Bien loin d’une supposée « défense de l’espace-temps galiléen »?] Les Dernières Pensées (1913) permettent d’entrevoir les positions de Poincaré vis-à-vis des théories modernes de la physique.