Departamento de Informática Universidad Técnica Federico Santa María

1. Econometría Capitulo II Departamento de Informática Universidad Técnica Federico Santa María

2. Estructura del Curso 1.- Introducción. 2.- Modelos de Asociación (Regresión) 2.1 Construcción de Modelos de Regresión 2.2 Verificación de Supuestos: Linealidad, Normalidad, Homocedasticidad, Independencia, etc 2.3 Contraste de Hipótesis y Estimación, en modelos de regresión. 3.- Modelos de clasificación 3.1 Árboles de Clasificación 3.2 Clasificación Bayesiana 3.3 Clasificación no parámetrica 4.- Modelos Estadísticos de Series de Tiempo 4.1 Suavizamiento Exponencial, Modelos Adaptivos 4.2 Modelos ARIMA, GARCH, ARMAX, ARFIMA, etc 5.- Modelos de Regresión libre ( Redes Neuronales, Series de Tiempo 6.-Aplicaciones y uso de software Héctor Allende O.

3. Modelo de Regresión Modelo de RegresiónModelo Explicativo Estático Supuestos básicos yij, uij : variables aleatorias dependiente ; 0, 1: Parámetros y xi : variable explicativa determinística. Supuestos distribucionales. • E[uij]=0. • Var[uij]=2, cte independiente de x. Perturbación es homocedástica. • uijN(0,2). • E[uij ukh]=0,  (i,j)(k,h) Héctor Allende O. 3

4. 1- E[yij / xi]= 2- Var[yij]= 2. • 3 - f (yij / xi) es normal 4- Las observaciones son independientes entre si 1.2 Estimación de parámetros. 1.2.1 Método de Máxima Verosimilitud. Función de Verosimilitud. Héctor Allende O. 4

5. Derivando L( ) con respecto a los parámetros : y 1.2.2 Método de Mínimos Cuadrados. Héctor Allende O. 5

6. Distribución de los Parámetros Héctor Allende O.

7. 1.3 Propiedades de los estimadores. 1.3.1 Propiedades de Héctor Allende O. 7

8. 1.3.2 Propiedades de Héctor Allende O. 8 8 8

9. 1.3.3 Propiedades de  Héctor Allende O. 9 9 9

10. 1.4 Contraste de regresión. Prueba de hipótesis. Estadístico Para la región crítica P(F(1,n-2)  C )=1-, se rechaza H0 para F0>C. Héctor Allende O. 10

11. 1.5 Contraste de linealidad. Prueba de hipótesis. Estadístico de Prueba: Para la región crítica P(F(d-2,n-d)  C )=1-, se rechaza H0 para F0>C. Héctor Allende O. 11

12. Transformaciones Sea yi = h ( xi ) con i = 1,...,n 1. Lineales yi = axi + b y = ax + b Sy = a Sx 2. No lineales yi = ln xi = h( xi ) y = h(x) + h”(x) SX2 Sy2 Sx2 h’ (x)2 i.e. y = ln x - ( Sx2 / x2 ) Sy2  ( Sx2 / x2 ) = CV 2 Héctor Allende O.

13. Relaciones Linealizables 1. y = K x ln y = a0 + a1 ln x 2. y = K  (  / x ) y = a0 a1 x-1 3. y = K exln y = a0 + a1 x 4. y = K e-/xln y = a0 + a1 x-1 5. yt = K +  cos t y = a0 + a1 xt siendo xt = cos t 6. y() = y - 1 = a0 + a1 x y-1dy = a1 w = dy dx dx ln w = ln a1 + ( 1 -  ) ln y Héctor Allende O.

14. Ejemplo de Regresión Simple t 0 1 2 3 4 5 6 V(t) 30 60 46 32 10 4 17 20 40 26 14 8 20 12 V(t) 25 40 46 29 12 6 17 Sea xt = sen tyt = V(t) Luego y(t) = a + b xt + ut Héctor Allende O.

15. % de Ajuste del Modelo = Héctor Allende O.

16. 1.6 Análisis de residuos. Tiene por objeto contrastar a posteriori las hipótesis de linealidad del modelo. Es especialmente importante cuando se tiene un solo valor de la variable y para cada valor de la variable de control x. El analisis de los residuos se utiliza para verificar: • Si su distribución es aproximadamente normal. • Si su variabilidad es constante y no depende de x. • Si presentan evidencia de una relación no lineal. • Si existen observaciones atípicas o hetereogéneas. Héctor Allende O. 16

17. 1.7 Transformaciones en regresión simple. Si el diagrama de dispersión de las dos variables a investigar presenta claro indicios de no linealidad, se tiene que acudir a transformar las variables Transformaciones Box-Cox (1964). Esta familia es útil para conseguir linealidad cuando la relación es monótona. Estimación de máxima verosimilitud para ( ). Suponga m=0 y un  tal que transforme la variable en normal. Héctor Allende O. 17

18. Para obtener el máximo en L(,2 ,) se fija : Sea la media geométrica de las observaciones: Definiendo Se obtiene Donde VNE() es la variabilidad no explicada en una regresión de Z() sobre x. Héctor Allende O.

19. 1.7.2 Transformaciones para conseguir homocedasticidad. Luego si deseamos que Sz= k constante. Entonces debe verificarse: Suponga que la relación observada es . Entonces: 1.7.3 Consecuencia de las transformaciones. Sea la transformación El estimador E[y/x], será sesgado con sesgo proporcional a la varianza de la perturbación. Héctor Allende O.

20. 1.8 Predicción. 1.8.1 Estimaciones de las medias condicionales. Intervalo de confianza para las medias. Estimaciones de las medias condicionales. Se desea prever el valor de y para x=xh. Intuitivamente Criterio de predicción. Error cuadrático medio mínimo Héctor Allende O. 20

21. Intervalo de Confianza Intervalo de Confianza para las observaciones Coeficiente de Correlación. Coeficiente de determinación: Coeficiente de correlación: Relación entre y r : Héctor Allende O.

22. 1.11 Inferencia sobre el coeficiente de correlación. Utilizando la transformación de Fisher: Si (x,y) es una normal bivariada, entonces Z es Donde  es el verdadero coeficiente de correlación de la población. 1. La prueba  =0  1 =0. 2. Héctor Allende O.