1 / 57

Dinamikus programozás

Dinamikus programozás. Szlávi Péter ELTE IK szlavi@ludens.elte.hu. Dinamikus programozás * tartalom. 0 Bevezetés 1 Egy gondolatébresztő példa 2 Első példázat * pénzváltás 3 Második példázat * optimális pénzváltás 4 Harmadik példázat * tükörszavak 5 Irodalom. 0 Bevezetés.

cameo
Download Presentation

Dinamikus programozás

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Dinamikus programozás Szlávi Péter ELTE IK szlavi@ludens.elte.hu

  2. Dinamikus programozás* tartalom 0 Bevezetés 1 Egy gondolatébresztő példa 2 Első példázat * pénzváltás 3 Második példázat * optimális pénzváltás 4 Harmadik példázat * tükörszavak 5 Irodalom Szlávi Péter: Dinamikus programozás

  3. 0 Bevezetés • A lényeg: Valamilyen probléma (optimális) megoldása úgy, hogy • rekurzívan visszavezetjük rész-problémák megoldására, de • a rekurzió elkerülését (minimális-ra szorítását) egy táblázat felépíté-sével, és újrahasznosításával érjük el… Szlávi Péter: Dinamikus programozás

  4. 1 Egy gondolatébresztő példa 1.1 Az „iskolapélda” – pénzfelválthatóság Bemenete: P={p1,...,pN} pozitív egészek – a pénzcímletek, és E pozitív egész – a felváltandó összeg Kimenete: FelválthatóE logikai érték – jelentése = fel- váltható-e az E a P halmazban felsorolt cím- letekkel úgy, hogy minden címletet legfeljebb egyszer használunk fel Szlávi Péter: Dinamikus programozás

  5. 1 Egy gondolatébresztő példa 1.2 A példa „ízlelgetése” A felváltás „szerkezetének” elemzése Egy logikus rekurzív kapcsolat: • Tfh. felváltható az E, ekkor • (1a) E = pi1+…+pik , • feltehető: • (1b) i1<…<ik is. • Ez esetben világos, hogy • E–pik = pi1+…+pik-1 • leírása az E–pik és {p1,…,pik-1} paraméterek- • kel jellemzett redukált feladatnak Szlávi Péter: Dinamikus programozás

  6. 1 Egy gondolatébresztő példa Részproblémákra bontás A felhasználható címleteket rögzített sorrendűnek tekintve a {p1,…,pi} hal-mazt egyértelműen azonosíthatjuk i-vel. Így bármely (rész)probléma azonosítható az (X,i) paraméter-kettőssel, ahol X a felváltandó összeg és i a felváltáshoz felhasználható címletek utol- sójának indexe A feladat: (E,N). A (2)-ben megfogal-mazott részfeladat: (E-pik,ik-1). Szlávi Péter: Dinamikus programozás

  7. 1 Egy gondolatébresztő példa Rekurzív összefüggések a részproblé-mák és megoldásaik között(vázlatosan) • FV: N  N  L • FV(X,i) = Igaz, ha • pi=X, vagy • pi<X és FV(X-pi,i-1), vagy • FV(X,i-1) i. az éppen szükséges címlet i. felhasználható és a mara-dék felváltható az előzőekkel i. nélkül, az előzőekkel felváltható Szlávi Péter: Dinamikus programozás

  8. ì > Ù = Ú i 0 X p i ï = > Ù < Ù Ú FV(X, i) : i 1 X FV(X - p , i - 1) p í i i ï > Ù i 1 FV(X, i - 1) î 1 Egy gondolatébresztő példa Rekurzív megoldás egy lehetséges algoritmusa type TCimletek=record db:integer; cimlet: array [1..MaxCimletDb] of integer end; var Cimletek:TCimletek; function FV(const X{felváltandó}, i{max.index}:integer):boolean; begin FV:=((i>0) and (Cimletek.cimlet[i]=X))//i. éppen a kellő címlet or ((i>1) and FV(X,i-1)); //nem az, de i-1.-ig felváltható or ((i>1) and (Cimletek.cimlet[i]<X) and//i. felhasználható FV(X-Cimletek.cimlet[i],i-1)) //és a maradék i-1.-ig felváltható end;//FV Szlávi Péter: Dinamikus programozás

  9. 1 Egy gondolatébresztő példa Próbák – elemzések: • Kis címletszám (pl. {1,2,5}) mellett • „igenlő” a megoldás (pl. 8) – hívási sorrend • „tagadó” a megoldás (pl. 9) – hívási sorrend • mindkét végeredményhez olyan ada-tok alapján, amelyben van ismétlődő címlet – hívási sorrend, hívás-szám • Különféle címletszám (pl. 5, 9, 15, …) mellett olyan összeg, amely azért nem váltható fel, mert túl nagy – hívás-szám növekedése Próbáljuk ki és következtessünk!Zip, exe Szlávi Péter: Dinamikus programozás

  10. 1 Egy gondolatébresztő példa a) tesztek … FV:=((i>0) and (Cimletek.cimlet[i]=X))//i. éppen a kellő címlet or ((i>1) and FV(X,i-1)); //nem az, de i-1.-ig felváltható or ((i>1) and (Cimletek.cimlet[i]<X) and//i. felhasználható FV(X-Cimletek.cimlet[i],i-1)) //és a maradék i-1.-ig felváltható … Szlávi Péter: Dinamikus programozás

  11. 1 Egy gondolatébresztő példa • tesztek • (folytatás) … FV:=((i>0) and (Cimletek.cimlet[i]=X))//i. éppen a kellő címlet or ((i>1) and FV(X,i-1)); //nem az, de i-1.-ig felváltható or ((i>1) and (Cimletek.cimlet[i]<X) and//i. felhasználható FV(X-Cimletek.cimlet[i],i-1)) //és a maradék i-1.-ig felváltható … Szlávi Péter: Dinamikus programozás

  12. 1 Egy gondolatébresztő példa Tapasztalatok: • A hívások módszeresen következnek egy-másután. Akár iterációval is „utánozhat-nánk”. (Legalábbis az ismétlésmentes esetben.) • Az ismétlésmentes esetekben a hívás-szá-mok legfeljebb 1 értékűek, azaz legfeljebb egyszeres számolást jeleznek, ami a haté-konyság szempontjából megnyugtató. A 3. futásnál is még legfeljebb 2 az ismétlődő számítás, de a 4.-nél, ami alig különbözik a 3.-tól, már 4 helyen is „tripletet” látunk. S ez rosszat sejtet. kód Szlávi Péter: Dinamikus programozás

  13. 1 Egy gondolatébresztő példa • A hívások során egy bináris fát „járunk be”. Pl. a „9 összeg {1,2,5} címletekkel” futáshoz tartozó bináris fa. … FV:=((i>0) and (Cimletek.cimlet[i]=X))//i. éppen a kellő címlet or ((i>1) and FV(X,i-1)); //nem az, de i-1.-ig felváltható or ((i>1) and (Cimletek.cimlet[i]<X) and//i. felhasználható FV(X-Cimletek.cimlet[i],i-1)) //és a maradék i-1.-ig felváltható … kód Szlávi Péter: Dinamikus programozás

  14. 1 Egy gondolatébresztő példa • tesztek Szlávi Péter: Dinamikus programozás

  15. 1 Egy gondolatébresztő példa Újabb tapasztalatok: • Durván növekszik a hívás-szám (mindkét) paraméter növekedtével. • A legrosszabb (negatív végeredményű) esetekben a hívás-számokra „gyanús” értékeket kaptunk. Állítás: Ha RekHDb(X,i) az X összeg felbonthatósá-gához szükségez rekurzív hívások számátjelenti (i. címlettel bezárólag), akkor legked-vezőtlenebb esetben a szükséges rekurzív hívások száma: RekHDb(X,i) = 2i–1 • A hívás-szám maximumát igenlő esetben is elérhetjük. Példát erre láss itt! Szlávi Péter: Dinamikus programozás

  16. 1 Egy gondolatébresztő példa Röviden: DP. A dinamikus programozásos megoldás Táblázatba gyűjtjük a részproblé-mákra adott válaszokat. A táblázat sorai az egyes X összegek-hez, oszlopai az egyes pi címletekhez rendeli az FV(X,i) értékeket. Éppúgy, ahogy az előbbi programnál tettünk, csakhogy ott tisztán adminisztratív, működés-megértési céllal. A táblázatkitöltést a kis értékek felöl kezdjük: hiszen az FV(X,i) rekurzió-jában FV(X,i–1) és FV(X–pi,i–1) szere-pel. Szlávi Péter: Dinamikus programozás

  17. 1 Egy gondolatébresztő példa A megoldó kód vázlata: Az sgRekTab jelenti most a táblázatot: function PenzValtas_DinProg:boolean; begin Tablafeltoltes(Felvaltando,Cimletek.db); PenzValtas_DinProg:=sgRekTab.Cells[Cimletek.db+1, Felvaltando+2]='+'; end; Szlávi Péter: Dinamikus programozás

  18. 1 Egy gondolatébresztő példa procedure Tablafeltoltes (const E{felváltandó}, N{max.index}:integer); var i,x:integer; begin with fmPenzValtas do begin for x:=1 to E do begin sgRekTab.Cells[2,x+2]:='-';//első oszlop (=2 indexű) Hamis end;//for x //kivéve az 1. cimletnél: if Cimletek.cimlet[1]<=E then //van még cimlet[1]-dik sor? begin sgRekTab.Cells[2,Cimletek.cimlet[1]+2]:='+'; end;//if … Szlávi Péter: Dinamikus programozás

  19. … FV:=((i>0) and (Cimletek.cimlet[i]=X))//i. éppen a kellő címlet or ((i>1) and FV(X,i-1)); //nem az, de i-1.-ig felváltható or ((i>1) and (Cimletek.cimlet[i]<X) and//i. felhasználható FV(X-Cimletek.cimlet[i],i-1)) //és a maradék i-1.-ig felváltható … 1 Egy gondolatébresztő példa Rekurzív hívás helyett táblahasználat … for i:=2 to N do//az i. oszlop számítása begin for x:=1 to E do begin if (Cimletek.cimlet[i]=x) or (sgRekTab.Cells[i,x+2]='+')or ((Cimletek.cimlet[i]<x) and (sgRekTab.Cells[i,x-Cimletek.cimlet[i]+2]='+')) then sgRekTab.Cells[i+1,x+2]:='+‘//igaz else sgRekTab.Cells[i+1,x+2]:='-'//hamis {endIf}; end;//for x end;//for i end;//with end;//Tablafeltoltes kód Szlávi Péter: Dinamikus programozás

  20. 1 Egy gondolatébresztő példa Összehasonlító futás: Próbáljuk ki és következtessünk! Zip, exe Szlávi Péter: Dinamikus programozás

  21. 1 Egy gondolatébresztő példa Megjegyzések: • A rekurzív megoldás fajlagos ismétlési száma: 1 048 575 / 25 267  41 . • A DP 222 220 darab táblaelemet szá-mol ki, de csak egyszer. • A fajlagos sebesség növekedés: 1 048 575 / 222 220  4,7 . • A „feleslegesen” kiszámolt táblaelem szám: (222 220 – 25 267) = 196 953  7,8 szorosa a szükségesnek. Szlávi Péter: Dinamikus programozás

  22. 1 Egy gondolatébresztő példa Egy „okosabb” DP megoldás Ötlet: ötvözni a rekurzív megoldás célratörését, azaz „csak azt kiszámol-ni, amit muszáj” elvét a DP megoldás „mindent csak egyszer kiszámolni” elvével. Tehát a számítás logikája rekurzív marad, de mielőtt egy rekurzív hívást kezdeményeznénk, megnézzük, nem lett-e már kiszámolva. Szlávi Péter: Dinamikus programozás

  23. még nem ismert a válasz 1 Egy gondolatébresztő példa már ismert a '+' válasz function FV(const X,i:integer):boolean; begin if (fmPenzValtas.sgRekTab.Cells[i+1,X+2]='+') then begin FV:=true endelseif (fmPenzValtas.sgRekTab.Cells[i+1,X+2]='-') then begin FV:=false end elsebegin FV:=((i>0) and (Cimletek.cimlet[i]=X)) or ((i>1) and FV(X,i-1)) or ((i>1) and (Cimletek.cimlet[i]<X) and FV(X-Cimletek.cimlet[i],i-1)) end {endif}; end;//FV már ismert a ‘-' válasz kód Szlávi Péter: Dinamikus programozás

  24. 1 Egy gondolatébresztő példa Összehasonlító futás: Próbáljuk ki és következtessünk! Zip, exe Szlávi Péter: Dinamikus programozás

  25. 1 Egy gondolatébresztő példa 1.3 A DP módszerének váza • A megoldás szerkezetének tanulmányozása – részproblémákra bontás megsejtése • Részproblémákra és összetevőkre bontás– részproblémák és paramétereik körvonala-zása: a rekurzió előkészítése • Részproblémák megoldásának kifejezése rekurzívan az összetevők megoldásaiból– formalizálás: függvény­definíció • Részproblémák megoldásának kiszámítása – a táblaszámítás algoritmizálása • kiszámítási sorrend meghatározása: minden részprob-léma minden összetevője előbb szerepeljen a felsorolás-ban • az „alulról-felfelé” haladó számítás • A megoldás előállítása a 4. lépésben előállított táblázat segítségével– a megoldás algoritmizálása Szlávi Péter: Dinamikus programozás

  26. 2 Első példázat – pénzváltás 2.1 A feladat Bemenete: P={p1,...,pN} pozitív egészek – a pénzcímletek, és E pozitív egész – a felváltandó összeg Kimenete: SP – a felváltásban szereplő pénzcímletek; az S halmazban felsorolt címleteket legfeljebb egyszer használhatjuk fel Szlávi Péter: Dinamikus programozás

  27. 2 Első példázat – pénzváltás 2.2 A megoldás 2.2.1 A megoldás szerkezetének tanulmányozása Ua. mint korábban… Szlávi Péter: Dinamikus programozás

  28. 2 Első példázat – pénzváltás 2.2.2 Részproblémákra és összetevők-re bontás A részproblémák a korábbiakhoz hason-lóan fogalmazhatók meg. Az FV(X,i) jelentése viszont más: a legna-gyobb P-beli elem indexe, amely még előfordul az X felváltásában. Pl.: P={2,4,5} N=3; X=7, akkor S={2,5} FV(7,3)=3, mert p3=5, FV(7-p3,3-1)=FV(7-5,3-1)=1, mert p1=2, FV(2-p1,1-1)=FV(2-2,1-1)=FV(0,0). Szlávi Péter: Dinamikus programozás

  29. 2 Első példázat – pénzváltás 2.2.3 Részproblémák megoldásának kifejezése Vegyük észre, hogy akkor N+1 az ered-mény, ha nincs megoldás, s o, ha már nem kell folytatni. Szlávi Péter: Dinamikus programozás

  30. 2 Első példázat – pénzváltás 2.2.4 Részproblémák megoldásának kiszámítása A FV definíciójábóllátszik: csökkenő pa-raméterekhez nyúl vissza, így atáblaki-töltő számítás kis értékektől indulhat a nagyobbak felé… Szlávi Péter: Dinamikus programozás

  31. 2 Első példázat – pénzváltás 2.2.5 A megoldás előállítása A megoldás meghatározása most bonyodalmasabb, mint volt korábban: hiszen most egy indexet kapunk a függvény ér-tékeként (k1=FV(E,N)). A táblá-zatból kiolvasható a követke-zőé (k2=FV(E–pk1,k1–1)), majd az azt követőé éít. Amíg a fel-váltandó összegparaméter 0-ra nem csökken. Rekurzív megoldás esetén persze ez a visszalépdelés is rekurzívan történne. Szlávi Péter: Dinamikus programozás

  32. 2 Első példázat – pénzváltás Az sgRekTab-ban az FV-értékek; a KiCimletek-ben képződik az eredmény begin//PenzValtas_DinProg Tablafeltoltes(Felvaltando,Cimletek.db); KiCimletek.db:=0; ifstrToInt(sgRekTab.Cells[Cimletek.db+1,Felvaltando+2])<=Cimletek.dbthen begin kX:=Felvaltando; k:=Cimletek.db; while kX>0 do begin k:=strToInt(sgRekTab.Cells[k+1,kX+2]); inc(KiCimletek.db); KiCimletek.cimlet[KiCimletek.db]:=Cimletek.cimlet[k]; kX:=kX-Cimletek.cimlet[k]; dec(k); end;//while end;//if end;//PenzValtas_DinProg van megoldás: leg-alább egy címlet kX felváltásához szükséges legnagyobb címlet indexe: k kX: a maradék összeg k. címlet már nem lehet, legfeljebb kisebb indexű Szlávi Péter: Dinamikus programozás

  33. 2 Első példázat – pénzváltás Rekurzív DP Összehasonlító futás: „okos” DP Próbáljuk ki és következtessünk! Rekurzív: Zip, exe; DP: Zip, exe;„okos” DP: Zip, exe. Szlávi Péter: Dinamikus programozás

  34. 3 Második példázat – optimális pénzváltás 3.1 A feladat Bemenete: P={p1,...,pN} pozitív egészek – a pénzcímletek, és E pozitív egész – a felváltandó összeg Kimenete: SP – a felváltásban szereplő pénzcímletek; az S halmazban felsorolt címleteket legfeljebb egyszer használhatjuk fel; S a lehető legkisebb elemszámú Szlávi Péter: Dinamikus programozás

  35. 3 Második példázat – optimális pénzváltás 3.2 A megoldás … és nem lehetne „mohóskodni”… ? A problémánkhoz illeszkedő mohó választás: a még választhatók közül a legnagyobb címlet. Egy ellenpélda: P={5,4,4,1,1,1} és E=8; a mohó megoldás: 8=5+1+1+1, ennél jobb: 8=4+4. Szlávi Péter: Dinamikus programozás

  36. 3 Második példázat – optimális pénzváltás 3.2.1 A megoldás szerkezetének tanulmányozása Ua. mint korábban… Szlávi Péter: Dinamikus programozás

  37. 3 Második példázat – optimális pénzváltás 3.2.2 Részproblémákra és összetevők-re bontás A részproblémák a korábbiakhoz hason-lóan fogalmazhatók meg. Két lépésben oldjuk meg a feladatot. • Az Opt(X,i) jelentése: X felváltásához szükséges (első i közül választható) címletek száma. • Az FV(X,i) jelentése: a legnagyobb P-beli elem indexe (i), amely még elő-fordul a X felváltásában. (Építünk az Opt-ra.) Szlávi Péter: Dinamikus programozás

  38. 3 Második példázat – optimális pénzváltás 3.2.3 Részproblémák megoldásának kifejezése Vegyük észre, hogy akkor N+1 az ered-mény, ha nincs megoldás; 0, ha célhoz értünk. Szlávi Péter: Dinamikus programozás

  39. 3 Második példázat – optimális pénzváltás FV Egy váratlan probléma: Opt A futás adminisztrálását végző táblapár nincs szinkron-ban. Bajt okoz, hogy a bal-felső tábla (1,2) eleme üres. Pedig az alkalmazás foglalkozott vele, hiszen a bal-alsó tábla (1,2) cellája helyesen 1 értéket tartalmaz. Szlávi Péter: Dinamikus programozás

  40. 3 Második példázat – optimális pénzváltás A probléma magyarázata: Az FV definíciójának optimumra hivatko-zó rekurzív (3.) ágánál tartunk, „készen kapja” a döntéséhez szükséges informá-ciót. Ezért nem bontogatja le sem az (X–pi,i–1), sem az (X,i–1) részproblémákra; így a megoldás alapjául szolgáló, admi-nisztratív táblázat ezen elemei kitöltet-lenek maradnak; és a címleteket összeszedő részben katasz-trófát okoz. Szlávi Péter: Dinamikus programozás

  41. 3 Második példázat – optimális pénzváltás A probléma megoldása: Az optimum kiszámításra többlet admi-nisztrációt kell bízni: feljegyzi az FV-hez tartozó táblázatba az általa e pil-lanatban még ismert információt, hogy hányadik címlet szerepel a felbontás-ban. Szlávi Péter: Dinamikus programozás

  42. 3 Második példázat – optimális pénzváltás 3.2.4 Részproblémák megoldásának kiszámítása A táblázatgenerálás sorrendje: A címletek szerint „alulról fölfelé” halad-va, de az érték szerint fordítva. A fordított irány magyarázatául: • az optimumot kiszámoló függvényhez tar-tozó táblázatot megspórolhatjuk (nincs szükség rá a végeredmény generálásához); • mivel csak az előző címlet oszlopára hivat-kozik, elegendő azt és az éppen számítás alatt állót megtartani, sőt • egyetlen oszlop is elegendő (lenne:-), ha a kiszámítás sorrendjét megfordítjuk. Szlávi Péter: Dinamikus programozás

  43. 3 Második példázat – optimális pénzváltás 3.2.5 A megoldás előállítása A megoldás meghatározása most az előző-vel megegyező módon történik. Szlávi Péter: Dinamikus programozás

  44. 3 Második példázat – optimális pénzváltás az „okos” DP szokásos jelzője A puding próbája: Az alábbi táblázat összefoglalja a re-kurzív és a memorizálós DP alkal-mazás rekurzív hívásainak számát az {1,2,5,10,20,50,100,200,500,1000,1,2,5,10,20,50,100,200,500,1000} címletek esetén: FV + Opt E FV Opt Szlávi Péter: Dinamikus programozás

  45. 3 Második példázat – optimális pénzváltás A nem optimális, rekurzív megoldás Az optimális, rekurzív megoldás Összehasonlító futás: Próbáljuk ki és elemezzük! Rekurzív: Zip, exe; DP: Zip, exe; „okos” DP: Zip, exe. Szlávi Péter: Dinamikus programozás

  46. 3 Második példázat – optimális pénzváltás Megjegyzések: • Kitöltött táblaelemek száma kicsivel több, mint a nem optimális megoldást kereső esetében. (Mindkét táblát figyelem-be véve valamivel több, mint kétszerese.) • FV rekurzív hívások száma minimális. Az FV-hez tartozó táblázat kitöltését döntően az Opt függvény végzi. • A rekurzív hívások száma kisebb az optimumra nem törekvőénél. • Sokkal kevésbé nő az össz rekurzív hívások száma az előbbinél. Szlávi Péter: Dinamikus programozás

  47. 4 Harmadik példázat – tükörszavak 4.1 A feladat Bemenete: szó={b1,...,bN} szó – jelek sorozata Kimenete: bj természetes szám – minimálisan ennyi jel beillesztésével tehető a szó palindrommá (tükörszóvá). Szlávi Péter: Dinamikus programozás

  48. 4 Harmadik példázat – tükörszavak 4.2 A megoldás 4.2.1 A megoldás szerkezetének tanulmányozása TSz(S): az a szöveg, amely minimális számú jel beillesztésével képződik az S-ből. Ilyen biztosan van: S&S’, ahol S’ az S megfordítása. Szlávi Péter: Dinamikus programozás

  49. 4 Harmadik példázat – tükörszavak Esetek: • Ha S=, akkor TSz(S)==S. • Ha S egy jelből áll, akkor maga is tükörszó, azaz TSz(S)=S. • Legyen S=x&R&y, ahol x, y az S első és utolsó jele, és R akár üres is lehet. • Ha x=y, akkor TSz(S)=x&TSz(R)&y. … Szlávi Péter: Dinamikus programozás

  50. 4 Harmadik példázat – tükörszavak … • Ha xy, akkor TSz(S) első és utolsó jele vagy x vagy y. • Ha TSz(S)=x&U&x, ekkor x-et szúr-tunk be a végére, azaz U=TSz(R&y). • Ha TSz(S)=y&U&y, ekkor y-t szúrtunk be az elejére, azaz U=TSz(x&R). Vagyis U gyanánt (ami eggyel rövidebb S-nél) a TSz(R&y) és a TSz(x&R) közül azt kell választani, amely kevesebb beszúrással kapható meg. Szlávi Péter: Dinamikus programozás

More Related