Dinamikus klaszterközelítés Átlagtér illetve párközelítés kiterjesztése

1. Dinamikus klaszterközelítés Átlagtér illetve párközelítés kiterjesztése N játékos egy rácson helyezkedik el (periodikus határfeltétel) szimmetriák: transzlációs, forgatási, tükrözési Az x helyen tartózkodó játékos lehetséges stratégiái (állapotai): Az s stratégia valószínűsége minden pontban azonos (az időfüggést nem jelöljük). Egypontos konfiguráció valószínűsége: Kétpontos konfiguráció valószínűsége: n-pontos konfigurációk valószínűsége kompakt fürtön: összesen Qn konfiguráció (a fürt alakja is számít)

2. Kompatibilitási feltételek normálás: A konfigurációs valószínűségek nem függetlenek, pl., ha n=2, akkor Tetszőleges n-nél: Alakfüggés van, de nem jelöljük az elemzést általában összefüggő kompakt fürtökre korlátozzuk

3. Kompatibilitási feltételek következményei kevesebb paraméter is elegendő pl., egy- és kétpontos közelítésben, Q=2 esetén: További következmények: 2 paraméterrel jellemezhetünk 6 konfigurációs valószínűséget! hasonlóan jelentős paraméterszám-csökkenés érhető el nagyobb klasztereknél is

4. Konfigurációs valószínűségek felépítése kisebb klaszterekből Bayes-i közelítés: annak a feltételes vsz-e, hogy x2 pontban s2 van, ha x1-ben s1 A hárompontos lineáris klaszteren: Négypontos (lineáris) klaszteren: Általánosítás n-pontos lineáris klaszterre: Ez a közelítés megőrzi a kompatibilitási feltételt, ha d=1, pontosabban: bármelyik p2(sj,sj+1) reprodukálható.

5. Grafikus reprezentáció Hárompontos konfig. vsz. felépítése párkonfig. vsz.-ekből: szorzás (osztás) p1(s1)-gyel: tömör (üres) kör s1 helyén szorzás (osztás) p2(s1,s2)-vel: folytonos (szaggatott) vonal s1 és s2 között Általánosítás nagyobb klaszterekre: Az ábrázolás hasznos, kényelmes és áttekinthető

6. Körbezárási probléma Háromszög-klaszter közelítése párkonfigurációs vsz.-ekkel Három lehetőség: sérül a forg. szimmetria sérül a komp. felt. Javallat: 1/3-as súllyal mindhármat, vagy Kirkwood közelítés: vagy háromszög-közelítés Hasonló gubanc minden térbeli struktúrán pl. 9-pontos kl. konf. vsz. közelítése 4-pontos klaszterekkel: Nincs ilyen nehézség sem az egydimenziós rácson, sem a Bethe rácson. [Általában a „hurokmentes” gráfokon]

7. A pár-konfigurációs vsz-ek ismeretében meghatározható mennyiségek: - Az s stratégia gyakorisága (hányada) a játékelméleti modellben: - n hosszúságú (lineáris) homogén s domén vsz-e a rendszerben: si=s, i=1, …, n ξ: korrelációs hossz vagy tipikus doménméret - átlagos nyeremény z szomszéd esetén: - más várhatóértékeket is hasonló módon határozhatunk meg. - a számolást nagyméretű konfigurációs vsz-ekre is alapozhatjuk.

8. Házi feladatok 8.1. Az egydimenziós rácson Q=2-nél igazoljuk, hogy a hárompontos klaszteren nem lehet tükrözési szimmetriasérülés, azaz, pl., de a négypontos klaszteren már lehet, például Milyen típusú konfigurációknál zárhatjuk ki a tükrözési szimmetria sérülését n>4 klasztereken? 8.2. Az egydimenziós rácson Q=3-nál a kompatibilitási feltételek segítségével igazoljuk, hogy Milyen stratégia-eloszlásnak felel meg az az állapot, ahol a fenti valószínűségek értéke:

9. 8.3. Paraméterezzük a négyzetrács 2x2-es klaszterein Q=2-nél a konfigurációk valószínűségét, ha a rendszer szimmetrikus (tükrözés és elforgatás)! Hány független paraméterrel jellemezhető a valószínűségi eloszlás? 8.4. A párközelítéshez képest hány új paraméter jelenik meg a háromszög-klaszter közelítésben a háromszög- vagy kagome rácson, ha Q=2? 8.5. Határozzuk meg az egydimenziós Q-állapotú rendszerben az fajlagos entrópiát egy- és kétpontos közelítésben az N→∞ határesetben, ha

10. 8.6. A klaszter-variációs módszerrel kétpontos közelítésben számítsuk ki a félig betöltött, egydimenziós rácsgáz modell páreloszlási valószínűségeit, átlagos energiáját, entrópiáját és szabadenergiáját a T hőmérséklet függvényében a termodinamikai egyensúlyban. Párközelítésben a rendszer energiája a J csatolási állandóval kifejezve: E=NJp2(1,1). Az S entrópia kifejezése a p2(s1,s2) vsz-ek függvényében azonos a 8.5. feladat megoldásával. A klaszter-variációs módszer alkalmazásánál az F=E-TS szabadenergia minimumát kell meghatározni a párkonfigurációs valószínűségek paraméterének [itt q=p2(1,1)] függvényében. Jelen esetben p1(0)=p1(1)=1/2. További megjegyzés: az egydimenziós rendszerben a párközelítés eredménye megegyezik az egzakt eredménnyel.