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Auch gemischt quadratischen Gleichungen der Form ( x + d )² = c können gelöst werden,

Die quadratische Ergänzung bei gemischt quadratischen Gleichungen. Auch gemischt quadratischen Gleichungen der Form ( x + d )² = c können gelöst werden, indem man auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel zieht Beispiel: ( x + 5 )² = 64. ( x + 5 )² = 64.

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Auch gemischt quadratischen Gleichungen der Form ( x + d )² = c können gelöst werden,

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  1. Die quadratische Ergänzung bei gemischt quadratischen Gleichungen Auch gemischt quadratischen Gleichungen der Form ( x + d )² = c können gelöst werden, indem man auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel zieht Beispiel: ( x + 5 )² = 64 ( x + 5 )² = 64 Auf beiden Seiten die Wurzel ziehen und beachten, dass es zwei Lösungen geben kann. x + 5 = + 8 x1+ 5 = + 8 | -5 x1= + 3 Mithilfe von Äquivalenzumformungen die beidenLösungen berechnen. x2+ 5 = - 8 | -5 x2= - 13 L = { 3 ; -13 }

  2. Die quadratische Ergänzung bei gemischt quadratischen Gleichungen Der Lösungsweg ist aufwendiger, wenn in einer gemischt quadratischen Gleichung keine binomische Formel vorkommt: Beispiel: x² + 2x – 15 = 0 Bevor man hier auf beiden Seiten die Wurzel ziehen kann, muss man die quadratische Ergänzungdurchführen. Diese Gleichungen enthält einen Teil einer binomischen Formel x² + 2x – 15 = 0 Den fehlenden Teil der binomischen Formel kann man ergänzen. Der fehlende Teil der binomischen Formel in diesem Beispiel ist 1. Wir addieren auf beiden Seiten der Gleichung die 1. x² + 2x – 15 = 0 | +1 x² + 2x +1– 15 = +1 Und notieren die binomischen Formel in Klammern. (x + 1)² – 15 = +1 Wenn wir jetzt noch auf beiden Seiten 15 addieren, können wir die Wurzel ziehen (x + 1)² – 15 = +1 |+15 (x + 1)² = +16

  3. Die quadratische Ergänzung bei gemischt quadratischen Gleichungen (x + 1)² = 16 |√ Jetzt können wir auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel ziehen und bedenken, dass eine quadratische Gleichung immer zwei, eine oder keine Lösung(en) haben kann. (x + 1)² = 16 x1 + 1 = + 4 | -1 x1= + 3 x2 + 1 = - 4 | -1 x2= - 5 Probe für x2 = -5 x² + 2x – 15 = 0 L = { 3 ; -5} Probe für x1 = 3 x² + 2x – 15 = 0 -5² + 2∙(-5) – 15 = 0 3² + 2∙3 – 15 = 0 25 – 10 – 15 = 0  9 + 6 – 15 = 0  Dieses Lösungsverfahren ist die Grundlage für die Lösungsformel (Mitternachtsformel)

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