Numerické riešenie parabolick ých PDR

1. Numerické riešenie parabolických PDR Matematicko-počítačové modelovanie 4. semester 7. prednáška

2. Najjednoduchšia úloha • Priestorovo jendodimenzionálna • Priestor: • Čas: • Dirichletova okrajová úloha • Jednoduchá počiatočná podmienka

3. Parabolická úloha Rovnica Okrajové podmienky: Počiatočnápodmienka:

4. Parabolická úloha • Podmienky kompatibility pre dáta úlohy:

5. Numerické riešenie • Rotheho metóda: • úlohu diskretizujeme najskôr len v čase a dostaneme systém eliptických problémov – semidiskretizácia v čase. • Riešime na časovom intevale <0,T>. • Interval rozdelíme na časové úseky:

6. Rotheho metóda • časový krok- • ti – i-ta časová vrstva (rez) • časovú deriváciu aproximujeme doprednou diferenciou:

7. Rotheho metóda • Dostaneme v každom časovom kroku riešiť systém eliptických ( v našom prípade obyčajných) diferenciálnych rovníc: • 1. možnosť:

8. Rotheho metóda • 2. možnosť: • Nultú vrstvu poznáme z počiatočnej podmienky, ďalšie vrstvy rátame postupne

9. Explicitná metóda • Priestorovú diskretizáciu robíme v predchádzajúcej (známejvrstve). • rozdelíme priestorový interval na úseky dĺžky h a uzly: x0 =0, x1,...,xn=L • Diskretizáciu urobíme opäť nahradením druhej derivácie štandartnou diferenciou:

10. Explicitná metóda • Dostávame rovnicu: • kde • jediná neznáma v tejto rovnici je

11. Explicitná metóda • Vyjadríme neznámu:

12. Explicitná metóda- praktický výpočet • Máme nultú časovú vrstvu v diskretizačných bodoch xj , j =0,1,2...n. • Sú dané počiatočnou podmienkou. • Nultý vektor neznámych je teda:

13. Explicitná metóda- praktický výpočet • prvý vektor neznámych vypočítame z rovníc pre i=0: • teda z okrajovej podmienky

14. Explicitná metóda- praktický výpočet • Takýmto postupom máme vektor • z neho dostaneme vektor • iteračne ďalšie vektory

15. Stabilita explicitnej metódy • označíme • explicitná metóda je stabilná len vtedy ak • teda

16. Príklad v mathcade

17. Príklad v mathcade

18. Príklad v mathcade