KEE/POE 8 . přednáška Numerick ý výpočet derivace a integrálu

1. KEE/POE8. přednáškaNumerický výpočet derivace a integrálu Ing. Milan Bělík, Ph.D.

2. Numerická derivace • Známe hodnoty y=f(x) - změřené, ale neznáme analytické vyjádření => „neumíme“ derivovat • f(x) je složitá => pracná derivace • Známe hodnoty ý=f(x) jen v několika bodech – diskrétní případ

3. Metody založené na na derivování Lagrangeova interpolačního polynomu Pn(x) • Derivujeme na intervalu mezi uzly <a, b> • Chyba aproximace v uzlovém bodě xs:

4. Pravidla numerického derivování • Uzly xi jsou ekvidistantní s krokem h xi=x0+ih, h=1,2,3,… • uzly se nečíslují, ale vyjadřují pomocí kroku h

5. 1. derivace polynomu Pn(x)

6. 2. Derivace polynomu Pn(x)

7. Parciální derivace • Principiálně stejné jako derivace • Derivujeme podle zvolené proměnné • Ostatní proměnné „ignorujeme“ • dopředná diference:

8. Zaokrouhlovací chyba Teoretická formule: Skutečnost: Výsledek:

9. Chování chyb 1. sčítanec = formule výpočtu 2. sčítanec = diskretizační chyba Velký vliv zaokrouhlovacích chyb: • ve vstupních datech • během výpočtu Pro malá h jde o špatně podmíněnou úlohu

10. Odhad chyby Celková chyba: E = Ed + Er Optimální délka kroku h – minimum funkce g(x): Při numerickém výpočtu derivace s optimálním krokem h dochází ke ztrátě přibližně poloviny platných číslic

11. Zpřesnění výpočtu Richardsonova extrapolace Příklad – výpočet derivace f(x) = cos(x), x = 1, h = 0,8, chyba = 10-5 (přesná hodnota = -0,84147098)

12. Numerická integrace • Známe hodnoty y=f(x) - změřené, ale neznáme analytické vyjádření => „neumíme“ integrovat • f(x) je složitá => pracná integrace • Známe hodnoty ý=f(x) jen v několika bodech – diskrétní případ

13. Pravidla numerického integrování • Integrujeme aproximaci „integrované“ funkce • Za přibližnou hodnotu považujeme hodnotu tohoto integrálu • Q(f) se nazývá kvadraturní formule • Diskretizační chyba Q(f): • Kvadraturní formule je řádu r, jestliže přesně integruje polynomy stupně r a nikoliv r+1

14. Základní formule • obdélníková • lichoběžníková • Simpsonova • Booleova • Složené formule – dělení intervalu - ekvidistantní

15. Obdélníková formule • Vzorec formule: • Chyba metody:

16. Lichoběžníková formule • Vzorec formule: • Chyba metody:

17. Simpsonova formule • Vzorec formule: • Chyba metody:

18. Booleova formule • Vzorec formule: • Chyba metody:

19. Složené formule • Ekvidistantní dělení intervalu • Použití základních formulí (stejných) • Obdélníková • Lichoběžníková • Simpsonova • Booleova • Délka dělení = krok dělení - h

21. Složená obdélníková formule • Součet jednoduchých obdélníkových formulí na podintervalech • Vzorec formule: • Chyba metody:

22. Složená lichoběžníková formule • Součet jednoduchých lichoběžníkových formulí na podintervalech • Vzorec formule: • Chyba metody:

23. Složená Simpsonova formule • Sudý počet subintervalů • Součet jednoduchých simpsonových formulí na „dvojitých“ intervalech 2h: <x0, x2>, <x2, x4> • Vzorec formule: • Chyba metody:

24. Přesnost výpočtu • Zadaná (zvolená) chyba ε • Odhad chyby složené obdélníkové formule: • Odhad chyby složené lichoběžníkové formule: • Odhad chyby složené Simpsonovy formule: • Výpočet počtu subintervalů n = (b – a)/h: • Takto zjištěný počet je zbytečně velký

25. Metoda polovičního kroku • Výpočet integrálu s krokem h • Výpočet integrálu s krokem h/2 • Kombinací výsledků získáme odhad chyby

26. Další metody • Rombergova metoda • Extrapolace složené lichoběžníkové formule • Adaptivní integrace • Nerovnoměrné dělení intervalu podle „hladkosti“ funkce • Numerická integrace je dobře podmíněná úloha

27. Příklad algoritmu – lichoběžníková f.

28. Příklad algoritmu – Simpsonova f.