Vetores no R 3

1. Vetores no R3 Produzido pelo Prof. Dr. Luiz Francisco da Cruz Março - 2009

2. Representação do R3 Octantes Z (+) ( X , Y, Z) III 1º → (+,+,+) 2º → ( -,+,+) 3º → ( -, -,+) II (-) 4º → (+, -,+) 5º → (+,+, -) IV 6º → ( -,+, -) 7º → ( -, -, -) 8º → (+, -, -) O Y (-) (+) VII I VI X (+) VIII V (-) ESPAÇO

3. Z P(x,y,z) Representação de um ponto no R3 z P(x,y,z) Y y O x X

4. Representação de um ponto no 2º Octante P(-3,3,2) Z P 2 -3 O Y 3 X

5. Podemos identificar o vetor com o ponto P, ou seja, Z P(x,y,z) Representação de um vetor no R3 P(x,y,z) v ≡ z P(x,y,z) Y y O x v v X

6. Sejam i , j e k vetores unitários do R3 , ou seja, | i | = | j | = | k | = 1 Z Expressão Cartesiana de um vetor no R3 zk z k i j yj xi v = xi + yj + zk P(x,y,z) v Y y Módulo xi + yj x zk X

7. No OPQ : P z S z y Cossenos Diretores de um vetor No OPR : v R   y No OPS: O  Q x x

8. Operações com vetores na forma cartesiana Sejam v = (x1,y1,z1) e u = (x2,y2,z2) 1. Adição: v + u = (x1+x2, y1+y2, z1+z2) 2. Subtração: v - u = (x1-x2, y1-y2, z1-z2) 3. Produto por escalar: Sejam v = (x,y,z) e  mR m·v = (mx,my,mz)

9. Condição de paralelismo entre 2 vetores Sejam v = (x1,y1,z1) e u = (x2,y2,z2), vetores paralelos. Então eles são múltiplos, ou seja, existe um escalar mR, tal que v = m·u. Assim, teremos: (x1,y1,z1) = m·(x2,y2,z2) = (mx2,my2,mz2) 

10. Condição de coplanaridade entre 3 vetores Sejam u = (x1,y1,z1), v = (x2,y2,z2) e w = (x3,y3,z3) coplanares. Então existe uma combinação linear entre eles, ou seja, existem escalares m e n tais que: u = mv +nw. w nw v u  (x1,y1,z1) = m(x2,y2,z2) +n(x3,y3,z3) u = mv +nw mv

11.    = 0

12. Exemplos: 1) Os vetores u = (2,-1,2) e v = (0,1,0) estão aplicados no mesmo ponto A. Determine um vetor AB, de módulo , cuja direção é a bissetriz do ângulo entre os vetores dados. 2) Sejam a = (1,0,0) e b = (1,1,0). Calcule o ângulo entre os vetores a + b e a – b . 3) Demonstrar a equação do ponto médio de um segmento.