Probabilidade

1. Probabilidade

2. O que é probabilidade ? • Experimento aleatório: é um experimento no qual podemos descrever o conjunto de todos os resultados possíveis, mas não podemos dizer, a priori, qual desses resultados vai acontecer. • Espaço Amostral (Ω): é o conjunto de todos os possíveis resultados do aleatório. • Evento (A, B, C, etc): é um subconjunto do espaço amostral.

3. O que é probabilidade ? • Seja Ω um espaço amostral finito uniforme e seja A um evento qualquer desse espaço. A probabilidade de A, denotada por P(A), é dada por: • onde #Ω é o número de resultados possíveis do experimento e #A é o número de resultados favoráveis à ocorrência do evento A. É claro que

4. Conceito de Frequência de Probabilidade • Suponha que o experimento foi repetido n vezes, sempre sob as mesmas condições, e que o evento A ocorreu m vezes entre essas n realizações do experimento. Então, a fração m/n é uma boa aproximação para a probabilidade de A, se o numero de n de repetições for bastante grande:

5. Propriedades básicas da probabilidade • P(Ω)=1 : Probabilidade de ocorrência de um evento certo. • P(Ø) = 0 : Probabilidade de ocorrência de um evento impossível. • Se o evento A e B são mutuamente excludente: P (A ou B) = P(A)+P(B) • Se A e B podem ocorrer simultaneamente : P (A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B) • P(Ac )=1-P(A)

6. Variáveis Aleatórias

7. Conceitos • Uma variável aleatória (v.a) é uma função que associa cada elemento de um espaço amostral a uma número real. • Variáveis aleatórias discreta: Os valores que ela pode assumir pertencem a um conjunto enumerável E de números reais • Variáveis aleatórias contínua: Para que a probabilidade de ela pertencer a um conjunto de números reais seja estritamente positiva, esse conjunto deve conter dentro de si um intervalo

8. Exemplos 1) Experimento : jogar 1 dado Variável Aleatória: X = “ o dobro do número obtido menos 1” X : {1, 2, 3, 4, 5, 6} {1, 3, 5, 7, 9, 11} 2) Experimento : jogar 4 moedas (C: Cara e K: Coroa) Variável Aleatória: Y = “ números de caras obtidas” Y : {CCCC, CKCC, ..., KKKK} {0, 1, 2, 3, 4}

9. Função Densidade Probabilidade Ex. 1 Dado Ex. 2 Moeda x P(x) 1 1/6 3 1/6 5 1/6 7 1/6 9 1/6 11 1/6 y P(y) 0 1/6 4/6 6/16 4/16 1/16

10. Caso Discreto • A função de probabilidade p corresponde à variável aleatória discreta X associada a cada número real x a probabilidade de que a variável X assuma aquele valor x. x→p(x) = P[X=x] • A função de distribuição acumulada F corresponde à variável aleatória discreta X é definida por F(x)=P[X≤x], para todo x real.

11. Medidas de Centralizada e de Dispersão • Média ou Esperança de uma variável aleatória discreta • Se X é uma variável aleatória discreta que assume os valores x1, x2, x3, ...,xN, com probabilidade p(x1), p(x2), p(x3), ...,p(xN) respectivamente, então sua média ou esperança é: E(A)= x1 p(x1) + x2p(x2) + x3p(x3)+ ... + xN p(xN)

12. Medidas de Centralizada e de Dispersão • Variância de uma variável aleatória discreta • Se X é uma variável aleatória discreta que assume os valores x1, x2, x3, ...,xN, com probabilidade p(x1), p(x2), p(x3), ...,p(xN) respectivamente, então a variancia é calculada por: Var (X)= (x1 – E(X))2.p(x1) + (x2 – E(X))2.p(x2) + ... + + (xN– E(X))2.p(xN) • Desvio padrão de uma variável aleatória discreta

13. Medidas de Centralizada e de Dispersão • Coeficiente de variação de uma variável aleatória discreta e igual ao quociente entre o desvio-padrão e a média CV(X)=DP(X)/EX

14. Exemplos • Em um determinado condomínio residencial: 30% das famílias não tem filhos, 40% tem um filho, 20% têm dois filhos e 10 têm mais de três filhos

15. Distribuições Comuns de Variáveis Aleatórias Discretas • Constante • Uniforme • Bernoulli • Binomial • Geometrica • Poisson

16. Variável Aleatória Constante • fdp • FDC 1.0 c 1.0 c

17. Distribuição Discreta Uniforme • A v.a. discreta X que assume nvalores discretos comprobabilidadepX(i) = 1/n, 1  i  n • fdp • FDC:

18. Variável de Bernoulli • V.A gerada por um experimento único de Bernoulli tem um resultado binário {1, 0} ou {sucesso, falha} • A v.a. binária Xé chamada variável de Bernoulli tal que: • Função de massa de probabilidade:

19. Distribuição de Bernoulli • FDC 0  p+q=1 q x 0.0 1.0

20. Binomial • A v.a. X representa o número de sucessos em uma sequência de experimentos de Bernoulli. • Todos experimentos são independentes. • Cada resultado é um “sucesso” ou “falha”. • A probabilidade de sucesso de um experimento é dado por p. A probabilidade de uma falha é 1- p. • Uso do modelo: número de processadores “down” num cluster; número de pacotes que chegam ao destino sem erro.

21. Distribuição Binomial A distribuição binomial com parâmetros n ≥ 0 e 0 < p < 1, é A média e variância da binomial são:

22. V.A.Binomial: fdp pk DISTRBINOM (núm_s;tentativas;probabilidade_s; cumulativo)

23. V.A.Binomial: FDC

24. Exemplo • Um sistema de segurança consiste em 4 alarmes (idênticos) de pressão alta, com probabilidade de sucesso p = 0,8 (cada um). Qual a probabilidade de se ter exatamente 3 alarmes soando quando a pressão atingir o valor limite ?

25. S1 S2 S3 F4 0,8 x 0,8 x 0,8 x 0,2 = 0,1024 S1 S2 F3 S4 0,8 x 0,8 x 0,2 x 0,8 = 0,1024 S1 F2 S3 S4 0,8 x 0,2 x 0,8 x 0,8 = 0,1024 F1 S2 S3 S4 0,2 x 0,8 x 0,8 x 0,8 = 0,1024 P(3) = 4 x (0,8)3 x (1 - 0,8) 1 = 0,4096

26. Distribuição de Poisson • Número de eventos independentes que ocorrem em um intervalo de tempo • Número de chegadas em um servidor em 1 hora • Número de erros de impressão em uma página de um livro  = # médio de eventos que ocorrem no período • Aproximação para VA Binomial com n grande e p pequeno • Se X = Binomial(n,p), X  Poisson( = np)

27. Poisson: propriedades • Considere que um servidor espera receber 100 transações em um minuto: •  = 100 (constante) • Espera-se que: • O início de cada transação seja independente dos outros; • Para cada pequeno intervalo de tempo t, a probabilidade de uma nova transação chegar seja t • A probabilidade de chegar duas transações ao mesmo tempo seja zero! • O processo de Poisson tem as propriedades acima • A VA X~Poisson representa o número de transações que chegam durante um período t.

28. VA Poisson: Aplicacao • A V.A. de Poisson é boa para modelar vários fenômenos, como o número de transações que chegam a um servidor em uma hora, ou o número de queries que chegam a uma máquina de busca em 1 minuto ou número de pacotes que chegam num roteador em 1 segundo. • Muito comumente usado para modelar chegada de sessões de usuários • servidores Web, multimídia, banco de dados, ftp, e-mail • Sessões são iniciadas por usuários • Chegada de duas sessões tendem a ser independentes: Poisson é uma boa aproximação • Contra-exemplo: • Chegada de requisições em um servidor Web • Premissa de independência não é válida: existe dependência entre requisições para o arquivo HTML e as imagens embutidas nele

29. Distribuição de Poisson • Função de densidade de probabilidade (fdp): • FDC:

30. Poisson • Uma v.a. de Poisson X tem sua fdp: Onde > 0 é uma constante E(X)= Var(X) = 

31. Exercícios • Considere que o número de mails que chegam a um servidor de mails no intervalo t segundos é distribuído como Poisson com parâmetro 0.3t. Calcule a seguintes probabilidades: • Exatamente três mensagens chegarão num intervalo de 10 seg. • No máximo 20 msgs chegarão num período de 20 seg. • O número de msgs num intervalo de 5 seg está entre 3 e 7 mails. • A probabilidade de um query falhar (não ser bem sucedido) é 10(-4). Qual a probabilidade de falharem mais de 3 queries numa sequência de 1000 queries?

32. Solução 1) • P(X10 = 3) = 0.224 • P(X20 20) = 0.973

33. Solução • 2)

34. Distribuições de Variáveis Aleatórias Contínuas • Normal • Exponencial • Weibull • Lognormal • Pareto • ....

35. Distribuições de Variáveis Aleatórias Contínuas • Variáveis aleatórias contínuas • Assumem um intervalo infinito de diferentes valores • W=% percentual de crescimento do PIB em 2005 • V=tempo para retornar a resposta de um “query” • Valores específicos-particulares de uma v.a. contínua tem probabilidade 0 • Intervalos de valores tem probabilidade  0

36. Distribuição Normal (Gaussiana) • Distribuição mais comum na análise de dados • fdp é: • -x+ • Médiaé , desvio padrão

37. Distribuição Normal 50% • “Em forma de Sino” • Unimodal • Simétrica • Média, mediana e moda são iguais • Assintótica em relação ao Eixo X • Amplitude Interquartilé 1,33 s f(X) X  Q1 Q3 Média, Mediana Moda

38. Notação para Distribuições Gaussianas • GeralmentedenotadaN(,) • Normal unitária éN(0,1) • Sextem N(,),tem N(0,1) • O-quantilde uma normal unitáriaz ~ N(0,1) é denotado porz tal que

39. Normal • Função de densidade para =0, =1

40. Normal • Função de densidade para =1 =2 =5

41. Normal • Funções de densidade para=1 =2 =1

42. Distribuição Exponencial • Quantidade de tempo até que determinado evento ocorra  = taxa de chegadas 1/  = tempo médio entre chegadas

43. f(x) fdp x Exemplo: v.a. exponencial • fdp: • FDC: • V.A. muito frequentemente usada em computação • Modelos: • Tempo entre duas submissões de queries a uma maquina de busca • Tempo de execução de processos • Tempo entre chegadas de pacotes em um roteador • Tempo entre chegadas de sessões em um servidor

44. Distribuição de Probabilidades Exponencial T: valores da variável aleatória contínua = intervalo entre chegadas, com e = 2,71828 P(intervalo entre chegadas < t)= 1- e-t : taxa média de chegadas 1/ : intervalo médio entre chegadas

45. Distribuição de Probabilidades Exponencial Exemplos: • Carros chegando num pedágio; • Clientes chegando num caixa eletrônico • Tempo entre duas submissões de queries a uma maquina de busca • Tempo de execução de processos • Tempo entre chegadas de pacotes em um roteador • Tempo entre chegadas de sessões em um servidor

46. Distribuição de Probabilidades Exponencial • Usada para estudos de Sistemas de Filas • Função densidade de probabilidade • Parâmetros

47. Distribuição de Probabilidades Exponencial Lambda = 3,0 (Média = 0,333) f(x) Lambda = 2,0 (Média = 0,5) Lambda = 1,0 (Média = 1,0) Lambda = 0,50 (Média = 2,0) Valores of X

48. Exemplo Ex.: Operários chegam no almoxarifado a uma taxa de 30/h. Qual é a probabilidade do intervalo entre chegadas consecutivas de Operários ser maior que 5’ ? • = 30 e intervalo = 5/60 = 0,0833 horas P(intervalo entre chegadas > t) = 1 – P(intervalo entre chegadas  t) = 1 – (1 – e-30.0,0833) = 0,0821

49. Distribuição log normal Muito utilizada para modelar duração de sessão de usuários em serviços web

50. Média e Variância A média e variância de uma va Xque tem uma distribuição lognormal são: