Kvadratické nerovnice - grafická metóda Mgr. Mihályi Juraj ZSŠ v Štúrove

1. Kvadratické nerovnice- grafická metóda Mgr. Mihályi Juraj ZSŠ v Štúrove Aprobácia: matematika- fyzika

2. Návod na použitie prezentácie • Prezentácia je riadená užívateľom (kliknutie myšou znamená posun prezentácie) podľa jeho požiadaviek na čas, potrebný na jednotlivé kroky • Pozorne treba prečítať komentáre a návody, svedomite vyriešiť príklady • Do obsahu prezentácie nie je možné zasahovať • Príjemné štúdium Vám prajem!

3. Obsah • Cieľ prezentácie • Opis témy • Druhy kvadratických nerovníc • Opis grafickej metódy • Prezentácie vlastnej metódy s príkladmi • Záver • Použitá literatúra a linky

4. Cieľ prezentácie: Téma, kvadratické nerovnice robí problémy takmer všetkým žiakom, najmä finalizácia riešenia, t. z. mechanizmus zvládnu s radosťou, ale určiť výsledok podľa grafu už väčšina žiakov nerobí, alebo nerobí dobre. Práve z toho dôvodu chýba v prezentácii toto mechanizmus a kladie sa dôraz na správnu interpretáciu údajov grafu.

5. Opis témy Téma nasleduje v učive 1. ročníka študijných odborov ZSŠ ihneď po tematickom celku: kvadratické funkcie a rovnice. To znamená, že žiaci vedia načrtnúť parabolu s rôznymi koeficientami a vedia riešiť akúkoľvek kvadratickú rovnicu, pokiaľ reálne riešenie existuje. Tieto vedomosti využijú naďalej a namiesto doterajších výsledkov diskrétneho typu sa naučia počítať aj výsledky typu intervalového

6. Aké sú to nerovnice? Ukážeme druhy kvadratických nerovníc:

7. Najlepší prípad: Ak príslušná kvadratická rovnica má reálne riešenia, vypočítame ich:

8. Ukážka konkrétneho príkladu

9. Ako ďalej? Takto:

10. Kreslenie grafu 1. graf y -2 4 x

11. Keďže ľavá strana nerovnice je reprezentovaná parabolou na obrázku, hľadáme oblasť, v ktorej je parabola menšia, alebo rovná nule.Príslušnú úsečku na osi „x“ môžeme považovať za riešenie kvadratickej nerovnice. Píšeme ho v tvare intervalu:

12. Ak je v nerovnici ostrá nerovnosť,interval je otvorený Ak je v nerovnici neostrá nerovnosť, interval je uzavretý, ako v predošlom príklade

13. Príklad na precvičovanie Vyriešte nerovnicu v množine R až do fázy hotového grafu, a potom si pozrite ďalšiu stranu prezentácie:

14. Výpočty:

15. Hotový náčrt Parabola typu „ „ vrcholom nad osou „x“

16. SKÚŠKA!!!!.... Pre istotu sa oplatí dosadiť nejaké číslo z množiny „P“ do nerovnice a zistiť pravdivosť. (Niekedy je jednoduchšie dosadiť také číslo, ktoré v množine „P“ nie je, tým pádom samozrejme dostanete po dosadení nepravdivý výrok.)

17. Ďalšie typy kvadratických nerovníc: Riešte graficky nerovnicu: v množine R. Príklad urobte sami až do fázy hotového grafu, a potom si pozrite ďalšiu stranu prezentácie!

18. Hotový graf... Tvrdenie výrokovej formy: Parabola má nezápornú časť nad osou „x“ a na osi „x“. Z toho vyplýva, že príslušná časť osi „x“ sa dá napísať úniou dvoch intervalov:

19. Poznámka... V prípade ostrej nerovnosti sú intervaly otvorené!

20. Príklady na precvičovanie: Najprv vyriešte nasledovné príklady v množine R, potom si pozrite ďalšiu stranu prezentácie:

21. Zhrnutie výsledkov:

22. Čo sa stane, ak D=0 ???? Ak D=0, potom kvadratická rovnicamá práve jedno reálne riešenie, čiže parabola sa dotýka osi „x“ v tom čísle, ktoré je riešením rovnice. To znamená, že celá parabola ( ktorá reprezentuje ľavú stranu upravenej nerovnice ) je . Ak to porovnáme s požiadavkou nerovnice(tvrdením výrokovej formy ), ľahko nájdeme riešenie.

23. Príklad Riešte v množine reálnych čísel nerovnicu: Z grafu vidíme, že požiadavke nerovnice vyhovuje jediný bod paraboly, x=2 .

24. Ak kvadratická rovnica nemá reálne riešenie, potom parabola, ktorá ju reprezentuje, musí byť nad osou „x“ (a>0), alebo pod osou „x“ (a<0). Riešenie kvadratickej nerovnice je v tomto prípade , alebo

25. D=-7 P=(-∞;∞) Dôvod: Celá parabola je kladná: tvrdeniu nerovnice vyhovuje celá os „x“.

26. D=-16 Riešenie: P={} Dôvod: Žiadna časť paraboly nie je ≤ 0, lebo celá parabola je nad osou „x“, teda je kladná.

27. Využitie kvadratických nerovníc: Často sa stretávame s problémom určenia definičného oboru rôznych funkcií, kde treba riešiť kvadratické nerovnice, napríklad:

28. Ďalej... Kvadratická nerovnica je často súčasťou inej, zložitejšej rovnice, resp. nerovnice:

29. Z praktických problémov uvediem len jeden z oblasti balistiky: Z plošiny veže vo výške 108m vystrelili vodorovne projektil o 12.h 20 min. Určte časový interval, v ktorom sa bude projektil pohybovať vo výške vyššej, ako 10m nad pätou veže. ( okolnosti, ktoré kladú odpor pohybu projektilu, zanedbáme )

30. Jedná sa o pohyb, ktorý je zložený z rovnomerného priamočiareho pohybu a z voľného pádu: Náčrt situácie:

31. Po preložení do „reči“ matematickej: Jedná sa o riešenie nerovnice:

32. Po vypočítaní: Nakoľko nás zaujíma nezáporný časový interval, upravíme výsledok na :

33. Po porovnaní s počiatočnými podmienkami môžeme dať odpoveď: Projektil sa bude pohybovať vo výške väčšej, ako 10m nad pätou veže v čase od 12:20:00 do 12:20:4,43. Ak berieme do úvahy aj rýchlosť vystreleného projektilu, môžeme vypočítať, v akej vzdialenosti dopadne na zem, čo je veľmi dôležité z hľadiska zabezpečenia takéhoto „pokusu“.

34. Ako matematika vo všeobecnosti... aj riešenie kvadratických nerovníc rozvíja myslenie žiakov, napomáha ku komplexnej analýze zložitých problémov. Kto vie narábať s týmito detailmi, lepšie obstojí aj vo svete komplikovaných reálnych situácií.

35. Použitá literatúra a linky • Jirásek F.: Zbierka úloh z matematiky pre SOŠ a študijné odbory SOU, 1. časť, Bratislava 1987 • www.google.sk

36. KONIEC