Rovnice a nerovnice v součinovém a podílovém tvaru (metoda nulových bodů)

1. Rovnice a nerovnice v součinovém a podílovém tvaru(metoda nulových bodů) Seminární práce číslo: 7 Zpracoval : Vladimír KORDÍK T-4.C

2. Rovnice v součinovém tvaru • Rovnice ve tvaru ,,součin dvou nebo více lineárních dvojčlenů rovná se nule“. Při hledání kořenů budeme řešit lineární rovnice. • ,,Klíčem“ k řešení bude skutečnost: Součin několika čísel se rovná nule právě tehdy, když alespoň jeden z činitelů se rovná nule.

3. Rovnice v součinovém tvaru • Příklad : Řešte rovnici (x-2)*(2x-3)=0 řešení: Číslo x je řešením dané rovnice právě tehdy, když x-2=0 nebo 2x+3 =0 tj. x= -2 nebo x= -3/2 Množina všech řešení dané rovnice je {2,-3/2} – je to sjednocení množin všech řešení rovnic x-2=0 a 2x-3=0.

4. Rovnice v součinovém tvaru • Příklad: 9-t² = t+3 Řešení: 9-t²=t-3 (3+t)*(3-t) = t+3 (3-t)*(t+3)-(t+3)=0 (t+3)*(3-t-1)=0 (t+3)*(2-t) =0 t = -3 nebo t = 2

5. Rovnice v součinovém tvaru • Příklady na procvičení : • x*(x+2) = 0 • (2x+1)*(1/2*x-4)=0 c) (4-2y)*(-3y-4) =0 d) (2*√3 -6y)*(3y+3/4)=0

6. Nerovnice v součinovém tvaru • Nerovnice, mají podobný tvar ,jako rovnice pouze místo znaku rovnosti je v nich některý ze znaků nerovnosti(<,>,<=,>=). Půjde tedy o nerovnice tvaru ,,součin dvou nebo více lineárních dvojčlenů je větší než nula“. Při řešení budeme používat také metodu nulových bodů.

7. Nerovnice v součinovém tvaru • Způsob řešení Součin dvou čísel je větší než nula, právě tehdy, když jsou buď oba činitelé větší něž nula, nebo oba menší než nula. Proto číslo x je řešením nerovnice (x-2)(2x+3)>0 právě tehdy, když x - 2 > 0 x – 2 < 0 a současně nebo a současně 2x +3 > 0 2x +3 < 0

8. Nerovnice v součinovém tvaru Z první soustavy dostaneme x > 2 x > -3/2 přitom 2 > -3/2, takže množinou všech řešení této soustavy je interval L1 = (2,+∞) Z druhé soustavy vypočteme x < 2 x < -3/2 a protože -3/2<2, je množinou všech řešení této soustavy interval L2 = (-∞, -3/2). Množinou K všech řešení dané nerovnice je K = (-∞, -3/2) sjednocení (2,+∞).

9. Nerovnice v součinovém tvaru Metoda nulových bodů Je použitelná pro řešení libovolné nerovnice v součinovém tvaru, v níž se vyskytují pouze lineární dvojčleny. Kromě toho, že součin několika čísel, z nichž alespoň jedno je 0, je nulový, při ní využíváme rovněž tuto vlastnost: Součin několika nenulových čísel je záporný právě tehdy, když lichý počet činitelů je záporný – jinak je součin kladný.

10. Nerovnice v součinovém tvaru • Nulovým bodemlineárního dvojčlenu ax+b, kde a,b Є R, a se nerovná 0, je číslo –b/a. V žádném z intervalů (-∞, -b/a), (-b/a,+∞) nemění dvojčlen ax+b znaménko. Jestliže a > 0, je v prvním z těchto intervalů záporný a ve druhém kladný, jestliže a < 0, je to obráceně. Znaménka lze zjistit dosazením libovolného konkrétního čísla z některého z obou intervalů do příslušného dvojčlenu.

11. Nerovnice v součinovém tvaru • Příklad nerovnice (4-7x)(x+1)(10x-7)(π-x)=<0 • Řešení: Nulové body lineárních dvojčlenů na levé straně dané nerovnice , jsou postupně 4/7, -1, 7/10, π. Seřaďme je podle velikosti -1<4/7<7/10<π Těmito nulovými body je množina reálných čísel R rozdělena na pět intervalů. Sestavíme tabulky zachycující ,,chování“ všech čtyř lineárních dvojčlenů i jejich součinu [označme ho jako L(x) ] v těchto intervalech a v nulových bodech:

12. Nerovnice v součinovém tvaru

13. Nerovnice v součinovém tvaru • Při vyplňování posledního řádku tabulky jsme vycházeli z toho, že součin čtyř čísel, z nichž alespoň jedno je nula, je nulový a že součin čtyř nenulových čísel je záporný tehdy, když lichý počet těchto čísel je záporný. • Z tabulky vidíme, že číslo x splňuje danou nerovnici, tj. L(x)<=0; právě tehdy, když x є <-1,4/7>υ<7/10,π >

14. Nerovnice v součinovém tvaru • Řešte nerovnice: a) (x-2)*(x+1) > 0 b) (y+3)*(y-1/2) >= 0 c) (z+1/2)*(z-1/2) <=0 d) (1-x)*(x+√2) > 0 e) (3-5y)*(3+5y)<= 0

15. Rovnice v podílovém tvaru • Rovnice budou mít tvar ,,zlomek, v jehož čitateli i jmenovateli je lineární dvojčlen nebo součin několika lineárních dvojčlenů, rovná se nule“. • Budeme používat ekvivalentní úpravu: vynásobení obou stran rovnice (vynásobení rovnice) stejným výrazem obsahujícím neznámou, který je definován a různý od nuly pro všechny hodnoty neznámé z množiny čísel, v níž rovnici řešíme.

16. Rovnice v podílovém tvaru • Příklad: (2x+5) /(3x-6) = 0 Aby měl zlomek smyl, musí jeho jmenovatel být různý od nuly. V našem případě musí být 3x – 6 ≠ 0, tj. x≠2. Zlomek se rovná nule právě tehdy, když se rovná nule právě tehdy, když se rovná nule jeho čitatel. Proto jediným kořenem dané rovnice je číslo x = -5/2; je totiž řešením rovnice 2x+5=0 a je různé od čísla 2.

17. Rovnice v podílovém tvaru • Rovnice (3x-2)/(x+5) = 2 1. způsob řešení –Ekvivalentními úpravami dostaneme : (3x-2)/(x+5) =2 (3x-2)/(x+5)-2 =0 (3x-2-2(x+5)) /x+5 =0 (x-12)/(x+5) =0 Daná rovnice mají jediné řešení x = 12.

18. Rovnice v podílovém tvaru • 2. způsob řešení – Aby zlomek v dané rovnici měl smysl, musí být x ≠-5. Rovnici tedy řešíme v množině R \ {-5}. Vynásobíme ji výrazem x+5, který je pro každé x є R\ {-5} různý od nuly (v množině R \ {-5} jde proto o ekvivalentní úpravu): (3x-2) /(x+5) = 2 /*(x+5) 3x-2 = 2*(x+5) x = 12

19. Rovnice v podílovém tvaru • Příklady: a) (7x+3)/(x+√2) =0 b) (x-3)/(x-4) = ½ c) (x-3)/(x-4) = 1 d) (x-√5)/(x+√5) = √5

20. Nerovnice v podílovém tvaru • Půjde o nerovnice ve tvaru ,,zlomek, v jehož čitateli i jmenovateli je lineární dvojčlen nebo součin několika lineárních dvojčlenů, je větší než nula“ • Ekvivalentní úpravy: - vynásobení obou stran nerovnice stejným výrazem obsahující neznámou, který je definován a kladný pro všechny hodnoty neznámé z množiny čísel, v níž nerovnici řešíme (znak nerovnosti se nemění)

21. Nerovnice v podílovém tvaru - vynásobení obou stran nerovnice stejným výrazem obsahujícím neznámou, který je definován a záporný pro všechny hodnoty neznámé z množiny čísel, v níž nerovnici řešíme, a současné obrácení znaku nerovnosti v nerovnici.

22. Nerovnice v podílovém tvaru • Příklad : (x-2)/(x+6) >= -2 1. řešení-Ekvivalentními úpravami dostaneme : (x-2)/(x+6) >= -2 (x-2)/(x+6) + 2 >=0 (x – 2 + 2*(x+6))/(x+6) >=0 (3x+10)/(x+6) >=0 Zlomek je nezáporný právě tehdy, když buď je čitatel nezáporný a jmenovatel kladný, nebo čitatel nekladný a jmenovatel záporný. Tak dostaneme dvě soustavy lineárních nerovnic:

23. Nerovnice v podílovém tvaru 3x+10 >=0 3x +10<= 0 x +6 > 0 x +6 < 0 Množinou všech řešení první soustavy je interval L1 = <-10/3,+∞), a druhé soustavy L2 = (-∞,-6). Množina K všech řešení dané nerovnice je sjednocení těchto intervalů : K= L1 υ L2 = (-∞,-6) υ <-10/3,+∞)

24. Nerovnice v podílovém tvaru • 2.řešení- Řešení metodou nulových bodů. Množinu reálných čísel R rozdělíme na tři intervaly nulovými body -10/3, -6 lineárních dvojčlenů v čitateli a jmenovateli příslušného zlomku. V tabulce zachytíme ..chování“ obou lineárních dvojčlenů i jejich podílu:

25. Nerovnice v podílovém tvaru Z posledního řádku tabulky vyčteme, že zlomek (3x+10)/(x+6) je nezáporný právě tehdy, když x є (-∞,-6) υ <-10/3,+∞)

26. Nerovnice v podílovém tvaru Při řešení nerovnice pomocí metody nulových bodů. Při vyplňování posledního řádku tabulky jsme vycházeli z následujících poznatků. Pro zlomek, který má v čitateli i jmenovateli číslo nebo součin několika čísel ,platí: • Je-li alespoň jeden z činitelů ve jmenovateli nulový, není zlomek definován (nemá smysl) • jsou-li všichni činitelé ve jmenovateli nenuloví a alespoň jeden činitel v čitateli nulový, je zlomek roven nule • Jsou-li všichni činitelé v čitateli i jmenovateli nenulový, potom zlomek je záporný právě tehdy, když lichý počet těchto činitelů je záporný – jinak je zlomek kladný.

27. Nerovnice v podílovém tvaru • 3.řešení- Aby měl zlomek v dané nerovnici smysl, musí být x ≠-6. Nerovnici tedy řešíme v množině R\{-6}. Chceme-li ,,odstranit“ zlomek, musíme nerovnici vynásobit výrazem x+6. Abychom to mohli udělat, musíme vědět, jaké má tento výraz známého. Proto množinu R\{-6} rozdělíme na dva diskjunktní intervaly (-∞,-6) a (-6,+∞).

28. Nerovnice v podílovém tvaru • a) Uvažujeme x є(-∞,-6). Potom x+6 <0 a při vynásobení dané nerovnice tímto výrazem musíme obrátit znak nerovnosti: (x-2)/(x+6) >= -2 /*(x+6)<0 x-2 <= -2*(x+6) x <= -(10/3) Z čísel x є(-∞,-6) jsou tedy řešením dané nerovnice ta, pro která platí x <= -(10/3), tj.čísla x є(-∞,-6) ∩ (-∞,-10/3> = (-∞,-6).

29. Nerovnice v podílovém tvaru • b) Nyní uvažujme x є(-6,+∞). Tentokrát je x+6>0 a znak nerovnosti zůstane při násobení výrazem x+6 zachován: (x-2)/(x+6) >= -2 /*(x+6)>0 x >= -(10/3) V intervalu (-6, +∞) dostáváme řešení x є(-∞,-6) ∩ <-10/3, +∞) = <-10/3,+∞).

30. Nerovnice v podílovém tvaru Množinou K všech řešení dané nerovnice získáme jako sjednocení množin jejich řešení v obou uvažovaných řešení : K= (-∞,-6) υ <-10/3, +∞)

31. Nerovnice v podílovém tvaru • Řešte nerovnice : a) (x+4)/(2+x) <0 b) (2x+3)/(x-2) >0 c) (5-z)/(z-2π) >=0 d) (z+1)/(√5 -2z) <=0