Formel för standardavvikelse : Ofta är det enklare att räkna ut variansen istället

1. Formel för standardavvikelse: Ofta är det enklare att räkna ut variansen istället Beräkningsformeln Eller om man utgår från en frekvenstabell så används

2. Vi räknar ut standaravvikelsen för datamaterialet med antal rum.

3. är stickprovs-variansen och s är stickprovs-standardavvikelsen Ex med antal rum Ungefär samma storleksordning Obs!!! Alla spridningsmått är positiva!

4. Rita lådagram Ex: Björnars ålder i antal månader. 83 obs Descriptive Statistics: Age Variable Mean StDev Variance Minimum Q1 Median Q3 Maximum Age 43,43 34,02 1157,54 8,00 19,00 32,00 58,00 177,00 Observationer är extrema om de är större än Q3 + 1.5 (Q3 - Q1) = 58+1,5(58-19) = 116,5 Vi har fyra extrema värden eller mindre än Q1-1.5 (Q3 - Q1) = 19-1,5(58-19) = -39,5 De 5 sista obs 115 117 124 140 177

5. Extrema värden

8. Sannolikheter Sannolikhet, Chans, Risk P(A) = Sannolikheten att händelsen A ska inträffa Ex: Vid kast av en symmetrisk 6 sidig tärning P(6:a) = Sannolikheten att få en 6:a vid ett kast P(6:a) =

9. P(Bussen kommer inom 10 min) P(en på måfå vald glödlampa håller mer än 10tim) P(en på måfå vald man är längre än 180cm) P(ny medicin har effekt) P(fler än 10% röstar på fp nästa val) Komplementet till en händelse A betecknas och är den motsatta händelsen.

10. För alla sannolikheter gäller De relativa frekvensernas stabilitet. Kasta en tärning och räkna antalet 6:or samt antalet kast. Kvoten mellan dessa närmar sig en sjättedel. Kap 2 behandlar sannolikheter med händelser. Vi hoppar över detta kap och försöker klara oss ändå.

11. Kap 3 Diskret slumpvariabel Det kan vara svårt och/eller otympligt att beräkna sannolikheter genom att endast uttrycka händelser. Vi tar nu istället hjälp av slumpvariabler. s.v. vilka ofta betecknas X, Y, Z osv Ex med kast av en symmetrisk tärning. P(6:a)= Låt nu istället X = antalet ögon vid kast av en symmetrisk tärning Slumpvariabeln X kan anta värdena 1, 2, 3, 4, 5, 6

12. Vi skriver nu P(6:a)=P(X=6)= Vi inser att P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)= P(X=4)= P(X=5)= P(X=6)= i detta ex Vi kan skriva P(X=x)= för x=1,2,3,4,5,6 Allmänt betecknas P(X=x)=p(x) och kallas sannolikhetsfördelningen till slumpvariabeln X

13. Vi kan rita p(x) mot x i ett stolpdiagram Det gäller 1) 2)Räkna öv 302 på tavlan

14. Kap 3,2 Väntevärde och varians Vi har tidigare sett att en relativ frekvens närmar sig en sannolikhet f = antalet 6:or vid n kast närmar sig Vi har också tidigare sett att medelvärdet är ett mått på tyngdpunkten (läget) i ett datamaterial. Hur finner vi motsvarande ’medelvärde’ för en slumpvariabel? I ex med tärning så räknar vi inte bara antalet 6:or utan vi räknar antalet av alla utfall. Då kan medelvärdet räknas ut med hjälp av frekvenser enl Men om närmar sig p(x) då n växer så kan detta medelvärde skrivas

15. Så, medelvärdet för en slumpvariabel kallas väntevärde och definieras som Ex X=antal prickar på en symmetrisk tärning prickar ____________________________________ Man kan ta väntevärdet av en funktion av X t ex

16. Vi har tidigare beräknat variansen i ett datamaterial stickprovsvariansen: Variansen för en slumpvariabel definieras som Standardavvikelsen för en slumpvariabel är

17. Det är enklare att beräkna variansen med formeln Ex med tärning Räkna övning 305

18. Kap 3,3 Några ’bra att ha’ regler Låt a och b vara konstanter (siffror) och låt X och Y vara två slumpvariabler. Y beror på X via sambandet: Y= a+bX Ex Y=4-3Xa = 4 och b = -3 Då gäller Ex Om E[X]=5 och Var[X]=4 så fås

19. Att standardisera en slumpvariabel Låt Bilda Då gäller för Z att Vi har standardiserat X till Z. Z är en standardiserad slumpvariabel Visa på tavlan med ’bra att ha’ reglerna