Málaga

1. Málaga Provincia olímpica • LA CURVA CORAZÓN • Existe en matemáticas • una curva distinta a la que algunos, • los que nunca han dudado de las cosas, • llaman curva de Koch. • Los perplejos en cambio han preferido • denominarla así: copo de nieve. • Se comporta esta curva • multiplicando siempre su tamaño • por cuatro tercios y hacia el interior, • llegando de tan densa al infinito • sin rebasar su área diminuta. • Así mismo, artesana, • te creces muy adentro: • habitándome lenta, • quedándote con todo, sin forzarlo, • este pequeño corazón hermético. • Andrés Neuman Fase Provincial 22 de marzo de 2014 S.A.E.M THALES

2. Málaga Provincia olímpica Problema nº 1: “El club de los cinco caprichosos” Problema nº 2 “¡Por una entrada de cine!” Problema nº 3: “Cerrando puertas” Problema nº 4: “Original azulejo” Problema nº 5: “Los billetes del bus” Problema nº 6: “El gran premio” Fase Provincial 22 de marzo de 2014 S.A.E.M THALES

3. Málaga Provincia olímpica El club de los cinco caprichosos Fase Provincial 22 de marzo de 2014 S.A.E.M THALES

4. EL CLUB DE LOS CINCO CAPRICHOSOS: Alberto, Sonia, Carolina, Daniel y Elías son candidatos para un examen oral. El examinador los deja elegir el orden en que quieren pasar, lo que genera una disputa. De hecho, ni Alberto ni Elías quieren pasar los últimos y, Elías, no quiere tampoco pasar el primero; además, Sonia quiere pasar justo después de su amiga Carolina quien, a su vez, no quiere pasar en lugar impar; finalmente, Daniel insiste en que él quiere dejar pasar a las dos chicas antes que él. Contesta de forma razonada en qué orden deben presentarse para que todos queden satisfechos. Menú Solución

5. Solución: Empezamos estudiando las preferencias de cada uno: • Carolina no quiere pasar en lugar impar, por lo que pasará la segunda o la cuarta: Carolina Carolina Menú Enunciado

6. Solución: • Como Sonia quiere pasar después de Carolina, podrá pasar la tercera o la quinta Sonia Carolina Sonia Carolina Menú Enunciado

7. Solución: • Daniel insiste en dejar pasar a las dos chicas delante de él Daniel ? Daniel ? Sonia Carolina Sonia Carolina La segunda opción no es posible Por tanto, podrá pasar el cuarto o el quinto Menú Enunciado

8. Solución: • Definitivamente Daniel será el quinto, ya que ni Elías ni Alberto quieren pasar en último lugar. Daniel Daniel Sonia Sonia • Además, Elías tampoco quiere pasar el primero, así que la única opción es la siguiente: Daniel Carolina Carolina Alberto Elías Menú Enunciado

9. Solución: Para que todos queden satisfechos deben presentarse en el siguiente orden: Alberto Carolina Sonia Elías Daniel HEMOS ENCONTRADO LA SOLUCIÓN... … pero ¿habrá más formas de obtenerla? Menú Enunciado

10. Málaga Provincia olímpica ¡Por una entrada de cine! CINE-TICKET THALES Fase Provincial 22 de marzo de 2014 S.A.E.M THALES

11. ¡Por una entrada de cine! A Antonio le han regalado una entrada para el cine. Para decidir a cuál de sus dos hijos, Benito o Carmen, dársela, les plantea el siguiente juego: “Sin que me hayáis visto, he dispuesto seis cartas boca abajo, formando un círculo. El dorso de todas ellas es azul, pero tres de ellas son rojas en su cara frontal y tres son negras. Las he colocado de tal forma que las de cada color estén consecutivas. Pues bien, el juego consistirá en que Benito dará la vuelta a una de ellas. Si la carta es roja perderá la entrada de cine. En otro caso, siguiendo el sentido de las agujas del reloj, Carmen dará la vuelta a la siguiente carta. Si es roja perderá la entrada. Si es negra, Benito girará la siguiente carta y así sucesivamente hasta que alguien encuentre una carta roja, siendo entonces quien pierda la entrada de cine”. Llegados a este punto, Carmen le preguntó a su padre el motivo por el que empezaba Benito y no ella. Para saber si la protesta tiene fundamento, contesta a la siguiente pregunta:¿Tienen las mismas posibilidades de ganar ambos? Si la respuesta es negativa, ¿quién tiene más posibilidades de ganar: el que empieza primero o el segundo? Razona las respuestas. Menú Solución

12. Solución: Juego: “Sin que me hayáis visto, he dispuesto seis cartas boca abajo, formando un círculo. El dorso de todas ellas es azul, pero tres de ellas son rojas en su cara frontal y tres son negras. Las he colocado de tal forma que las de cada color estén consecutivas. Pues bien, el juego consistirá en que Benito dará la vuelta a una de ellas. Si la carta es rojaperderá la entrada de cine. En otro caso, siguiendo el sentido de las agujas del reloj, Carmen dará la vuelta a la siguiente carta. Si es rojaperderá la entrada. Si es negra, Benito girará la siguiente carta y así sucesivamente hasta que alguien encuentre una carta roja, siendo entonces quien pierda la entrada de cine”. Enunciado Menú

13. Solución: Menú Enunciado

14. Solución: 2 3 1 Pulsa en el botón para ver que ocurre en las distintas opciones, según elija Benito la carta 1, 2, 3, 4, 5 o 6. 6 4 5 Menú Enunciado

15. Solución: B C B C 1. 2 3 1 Pulsa el botón para ver que ocurre en las distintas opciones, según elija Benito la carta 1, 2, 3, 4, 5 o 6. 6 4 5 Menú Enunciado

16. Solución: B C B C 1. 2 B C B 2. 3 1 Pulsa el botón para ver que ocurre en las distintas opciones, según elija Benito la carta 1, 2, 3, 4, 5 o 6. 6 4 5 Menú Enunciado

17. Solución: B C B C 1. 2 B C B 2. 3 B C 1 3. Pulsa el botón para ver que ocurre en las distintas opciones, según elija Benito la carta 1, 2, 3, 4, 5 o 6. 6 4 5 Menú Enunciado

18. Solución: B C B C 1. 2 B C B 2. 3 B C 1 3. B Pulsa el botón para ver que ocurre en las distintas opciones, según elija Benito la carta 1, 2, 3, 4, 5 o 6. 4. 6 4 5 Menú Enunciado

19. Solución: B C B C 1. 2 B C B 2. 3 B C 1 3. B Pulsa el botón para ver que ocurre en las distintas opciones, según elija Benito la carta 1, 2, 3, 4, 5 o 6. 4. 6 4 B 5. 5 Menú Enunciado

20. Solución: B C B C 1. 2 B C B 2. 3 B C 1 3. B 4. 6 4 B 5. 5 B 6. Menú Enunciado

21. Solución: B C B C ¿Tienen las mismas posibilidades de ganar ambos? Si la respuesta es negativa, ¿quién tiene más posibilidades de ganar: el que empieza primero o el segundo? 1. No, si empieza Benito tiene Carmen más posibilidades de ganar Benito 2/6 Carmen 4/6 B C B 2. B C 3. B 4. B El segundo tiene más posibilidades de ganar 5. B 6. Menú Enunciado

22. Málaga Provincia olímpica Cerrando puertas Fase Provincial 22 de marzo de 2014 S.A.E.M THALES

23. CERRANDO PUERTAS: El matemático Fermathales Junior va a visitar a su padre, también matemático, para enseñarle los planos de su nueva vivienda. Le cuenta que cada noche, al llegar a casa, va atravesando y cerrando con llave cada una de las puertas por donde pasa, sin volver a abrir ninguna de las puertas que ha cerrado, hasta llegar a su dormitorio, después de haber pasado por todas las puertas, donde queda encerrado con todas las llaves. Viendo este plano de la casa del hijo, ¿podrías ayudar al matemático a encontrar el dormitorio de su hijo? ¿Podría cambiar su hijo el dormitorio de lugar cumpliéndose las mismas condiciones? • El padre, una vez descubierto el dormitorio de Fermathales Junior, se pregunta, mirando ahora el plano de su vivienda, si podría hacer lo mismo en su casa. • ¿Crees que podría? • En caso que no pudiera, ¿qué pequeña modificación tendría que realizar en su casa para poder hacerlo? • Razona las respuestas. Menú Solución

24. Solución: Comprobamos que una posible solución del dormitorio de Fermathales Junior puede ser la siguiente: DORMITORIO FERMATHALES JUNIOR Menú Enunciado

25. Solución: Tendríamos que tomar en cuenta que si entra en una habitación por una puerta y la cierra con llave y sale por otra puerta, que también cierra, una habitación con 2 puertas quedaría cerrada. Un razonamiento análogo puede aplicarse al caso de 4 y 6 puertas sólo que entonces entraría dos y tres veces respectivamente en la habitación. Este razonamiento puede generalizarse para el caso de un número par de puertas. Para quedarse encerrado con todas las llaves en el dormitorio, éste debe tener un NÚMERO IMPAR DE PUERTAS. Por dicho motivo no podría cambiar su dormitorio de habitación. Efectivamente: 2 2 6 DORMITORIO FERMATHALES JUNIOR 4 4 5 2 4 2 Menú Enunciado

26. Solución: • El padre, una vez descubierto el dormitorio de Fermathales Junior, se pregunta, mirando ahora el plano de su vivienda, si podría hacer lo mismo en su casa. • ¿Crees que podría? • En caso que no pudiera, ¿qué pequeña modificación tendría que realizar en su casa para poder hacerlo? • Razona las respuestas. Menú Enunciado

27. Solución: En la casa de Fermathales padre, el dormitorio solamente puede estar en una habitación con un número impar de puertas ya que al entrar y salir obliga a dejar cerradas todas las puertas de 2 en 2. 2 2 4 4 3 3 3 2 2 Menú Enunciado

28. Solución: Por lo tanto el padre no podría hacer lo mismo que su hijo. Para poder hacerlo tendría que realizar una de estas dos pequeñas modificaciones: 1ª) Abrir una puerta en las habitaciones contiguas de número impar puertas, quedando por tanto un número par de puertas en todas las habitaciones salvo en el dormitorio. 2 2 4 4 4 4 3 2 2 DORMITORIO de FERMATHALES PADRE Menú Enunciado

29. Solución: 2ª) Poner un tabique para eliminar la puerta que comparten las habitaciones contiguas de 3 puertas. De esta forma pasarían a tener dos puertas cada una y en la casa se quedaría solamente una habitación con un número impar de puertas, la que tiene 3, que pasaría a ser el dormitorio, aunque fuese la entrada de la casa. 2 2 4 DORMITORIO de FERMATHALES PADRE 2 4 3 2 2 2 Menú Enunciado

30. Solución: Puesto que el padre es matemático se ha dado cuenta de que no puede hacer en su casa un recorrido en las mismas condiciones que su hijo ya que hay tres habitaciones con un número impar de puertas. Sin embargo debemos hacer una observación y es que no es habitual que la habitación de entrada, el vestíbulo, sea el dormitorio, pero hacer un recorrido euleriano en tu propia casa todos los días, bien merece una pequeña reforma y la alteración de las costumbres al uso. Seguramente esa sería la reflexión que hizo nuestro matemático. HEMOS ENCONTRADO LAS SOLUCIONES... … pero ¿habrá más formas de obtenerlas? Menú Enunciado

31. Málaga Provincia olímpica Original azulejo Fase Provincial 22 de marzo de 2014 S.A.E.M THALES

32. ORIGINAL AZULEJO: La empresa de azulejos Porcelatodo va a inaugurar una nueva fábrica en Todolandia y por dicho motivo ha lanzado al mercado un nuevo diseño de azulejos blancos de forma octogonal irregular con un cuadrado de color verde de lado 10 cm en el centro del mismo (como puede observar en el dibujo). El famoso escaparatista D. Esbelto Decoralotodo para el día de la inauguración quiere preparar un panel expositor de 2’25 m2 de superficie. Dicho panel estaría recubierto con los nuevos azulejos y para cubrir los huecos que se forman al unir estos azulejos utiliza otras piezas de color verde y de forma cuadrada de 200 cm2 cada una (como se ve en el dibujo), que pueden ser troceadas. ¿Qué superficie ocupa el azulejo octogonal? ¿Cuántos azulejos octogonales y cuántas piezas cuadradas necesitará D. Esbelto Decoralotodo para recubrir todo el panel expositor? Razona las respuestas. Menú Solución

33. Solución: Empecemos calculando la superficie del azulejo y para ello dividamos el octógono en partes como se observa en la figura. Como se puede comprobar fácilmente el azulejo octogonal está formado por 5 cuadrados y por 4 mitades, es decir, por un total de 7 cuadrados iguales que tienen de lado 10 cm. Enunciado Menú

34. Solución: Calculemos cuál será la superficie de estos 7 cuadrados • A cuadrado = lado2 = 102 = 100 cm2 • A octógono = 7 × A cuadrado = 7 × 100 = 700 cm2 • El azulejo tiene una superficie de 700 cm2 Menú Enunciado

35. Solución: Veamos ahora cuáles serían las dimensiones del panel expositor que se quiere construir, del cual sabemos que su superficie es de 2’25 m2 En primer lugar pasemos la superficie a cm2 2’25 m2 = 2’25 × 10000 = 22500 cm2 Si el área del cuadrado se calcula A cuadrado = lado2 , para averiguar el lado del mismo tendríamos que calcular la raíz cuadrada de su área. Menú Enunciado

36. Solución: Ya que sabemos la medida del lado del panel expositor (150 cm) vamos a calcular cuantos azulejos caben en cada lado, para ello necesitamos conocer cuanto ocupa cada azulejo. Si observa la figura cada azulejo octogonal ocupa 30 cm (10 + 10 + 10) de ancho y otros 30 cm de largo. De aquí deducimos que en cada lado del panel expositor (largo y ancho) caben un total de 150 ÷ 30 = 5 azulejos. Por todo lo cual el número total de azulejos octogonales que hay en el panel expositor sería 5 × 5 = 25 azulejos. Se necesitan 25 azulejos octogonales para el panel expositor. Menú Enunciado

37. Solución: Calculemos ahora el número de piezas cuadrangulares de 200 cm2 que necesitamos para cubrir los huecos que dejan al unirse los azulejos octogonales. Si observamos la reproducción del panel expositor en la figura veremos que hay 4 filas de 4 piezas completas y dos mitades en los extremos (4 + 2 × ½ = 5), más 2 filas de 4 mitades y 2 cuartos en los extremos (4 × ½ + 2 × ¼ = 2’5). El total de piezas cuadradas sería: 4 × 5 + 2 × 2’5 = 20 + 5 = 25 Se necesitan 25 piezas cuadradas para completar el panel expositor Menú Enunciado

38. Solución: Comprobemos los resultados obtenidos: La superficie del panel expositor es de: 2’25 m2 = 22500 cm2 La superficie de todos los azulejos octogonales es de: 25 × 700 = 17500 cm2 . La superficie de todas las piezas cuadradas es de: 25 × 200 = 5000 cm2 . La superficie de todas las piezas empleadas coincide con la superficie del panel : 17500 + 5000 = 22500 cm2 Menú Enunciado

39. Solución: Hagamos un resumen con las respuestas a las preguntas del problema: Los azulejos octogonales ocupan una superficie de 700 cm2 Se necesitan 25 piezas octogonales para formar el panel expository otras 25 piezas cuadrangulares para recubrir los huecos que quedan entre ellas. HEMOS ENCONTRADO LAS SOLUCIONES... … pero ¿habrá más formas de calcularlas? Menú Enunciado

40. Málaga Provincia olímpica Los billetes del bus Fase Provincial 22 de marzo de 2014 S.A.E.M THALES

41. LOS BILLETES DEL BUS: Raquel y su hermana Ana, van todos los días a clase en el autobús de la línea 62. Raquel paga siempre los billetes. Cada billete tiene impreso un número de 5 cifras. Una mañana observa que los números de sus billetes, el suyo y el de Ana, además de consecutivos, son tales que la suma de las diez cifras es precisamente 62. Además observa que las cifras del menor de los números van todas ellas consecutivas. Ana entonces le dice: si la suma de las cifras de uno de los billetes es 35 puedo decirte el número de cada billete. ¿Cuáles eran esos números? Razona la respuesta. Menú Solución

42. Solución: Denotemos los billetes de ambas hermanas de la siguiente manera: Billete con el número menor: Billete con el número mayor: Menú Enunciado

43. Solución: PROPIEDADES QUE CUMPLEN LOS BILLETES 1.- Los billetes son consecutivos 2.- La suma de las diez cifras es 62: A + B + C + D + E + F + G + H + I + J = 62 3.- Las cifras del menor número son todas consecutivas: B = A + 1; C= B + 1; D= C + 1; E= D + 1 Resumiendo nos queda que: B = A + 1; C= A + 2; D= A + 3; E= A + 4 Menú Enunciado

44. Solución: Por lo tanto el billete con las cifras menores sería de la forma: La suma de los dígitos del billete sería5A + 10 Y el consecutivo podría ser: -- Si A<5 sería de esta forma -- Si A=5 entonces sería de la forma: Enunciado Menú

45. Solución: 4.- Por último, Ana dice: si la suma de las cifras de uno de los billetes es 35 puedo decirte el número de cada billete. Estudiemos las posibilidades: 1ª) Que las cifras del billete mayor fuese 35 y entonces la del menor sería 62 – 35 = 27. Por consiguiente: 5A + 10 = 27 → 5A = 17 → No existe solución para A. Por lo que este caso no es posible. Enunciado Menú

46. Solución: 2ª) Que las cifras del billete menor fuese 35 y la del mayor 27. Por lo tanto se tendría que: 5A + 10 = 35 → 5A = 25 → A= 5 El billete tendría la numeración siguiente: Y la numeración del consecutivo sería : Para comprobar la validez, bastaría hacer uso de que la suma de las diez cifras es 62: 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 5 + 6 + 7 + 9 + 0 = 62 Enunciado Menú

47. Solución: El billete menor es: Y el mayor es: HEMOS ENCONTRADO LA SOLUCIÓN... … pero ¿habrá más formas de hallarla? Menú Enunciado

48. Málaga Provincia olímpica El gran premio Fase Provincial 22 de marzo de 2014 S.A.E.M THALES

49. EL GRAN PREMIO: El equipo de Marc Márquez para conseguir el título del Mundial de Motos GP el año 2013 estuvo preparándose para obtener la victoria en la última prueba, por este motivo tenían en cuenta las velocidades que se pueden alcanzar en cada una de las curvas del circuito Ricardo Tormo de la Comunidad Valenciana. Representa, en unos ejes distancia-velocidad, la gráfica que muestre la velocidad que pudo llevar Marc en cada uno de los tramos del circuito, a partir de la segunda vuelta, para sacar el máximo rendimiento a la carrera. Para ello puede utilizar los siguientes datos: Menú Solución

50. Solución: En primer lugar, marcaremos en el circuito los puntos de máxima curvatura en cada una de las 14 curvas y en el inicio de la 2ª vuelta, que es el punto de salida, obteniendo así los puntos A, B, ….., N, O como puede apreciarse en la siguiente figura: Menú Enunciado