Matemática Básica para Economistas MA99

1. Matemática Básica para Economistas MA99 UNIDAD 4 Clase 6.2 Tema: Inversa de una matriz

2. Objetivos: • Definir la inversa de una matriz. • Efectuar operaciones elementales con las filas de una matriz. • Obtener la matriz de Cofactores de cualquier matriz cuadrada. • Obtener la matriz Adjunta de cualquier matriz cuadrada. • Calcular la inversa de una matriz, a través de dos procedimientos: Gauss – Jordan y Matriz Adjunta. • Definir y obtener el rango de una matriz de cualquier orden. pag.: 268 - 275

3. Introducción Si AX=B es un SEL dado en forma matricial, el procedimiento de dividir por la matriz A no es posible realizarlo debido a que la división de matrices no esta definida. Sin embargo, estamos interesados en hacer algo parecido a lo que hacemos en las ecuaciones de primer grado.

4. Matriz inversa Sea A una matriz cuadrada. Si existe una matriz B tal que AB=BA=I , la llamaremos matriz inversa de A y la denotaremos por A-1. Obs: Si A-1 existe, se tiene que: AA-1=A-1A=I. SiAyBsonmatrices invertibles y k un número no nulo se tienen las propiedades:

5. Operaciones elementales con las filas de una matriz • El intercambio de la fila i y la fila j, que denotaremos como: fi↔ fj • El producto de todos los elementos de la fila i por una constante c ≠ 0: cfi 3. Sumar a los elementos de la fila i los correspondientes de la fila j multiplicados por una constante c ≠ 0: fi + cfj

6. Matrices Equivalentes Dos matrices A y B se llaman equivalentes, y se denota con A B, si B se obtiene a partir de A mediante un número finito de operaciones elementales por filas. Por ejemplo, a partir de la matriz A: Se puede obtener la matriz equivalente B con las siguientes operaciones:f2 – 2f1 y f3 – f1

7. Cálculo de la inversa de una matriz: método de Gauss-Jordan Utilizando las operaciones elementales con las filas de una matriz, también se puede obtener la inversa de la matriz Anxn, siguiendo el procedimiento descrito a continuación: 1.-Formamos la matriz [A : In]: Ejemplo 2.-Luego, mediante las operaciones elementales se reduce la matriz a otra de la forma [In : B]: B = A-1

8. Cálculo de la inversa de una matriz: método de Gauss-Jordan Ejemplo:Determinar A-1 si A es invertible.

9. Existencia de la inversa Teorema:Sea A una matriz inversible entonces: Corolario:La inversa de una matriz existe si y sólo si det(A) = 0. Ejemplo:¿ Para que valor de a la matriz: tiene inversa ?

10. Matriz Adjunta Recordando conceptos: • Se llama menor del elemento aijde la matriz A a la matriz Mijde orden n-1 que resulta de suprimir en A la fila i y la columna j. • El cofactorAijdel elementoaijes el número real: Aij = (-1)i+j det(Mij ) Matriz de los cofactores: Es la matriz cuadrada formada por todos los cofactores de una matriz.

11. Matriz Adjunta Sea la matriz AC de cofactores: La Matriz Adjunta de A, denotada por Adj(A) es la transpuesta de la matriz de los cofactores.

12. Matriz Adjunta Ejemplo:Obtenga la matriz adjunta de A Solución

13. Cálculo de la inversa de una matriz: método de la Matriz Adjunta Observe lo siguiente: 1.- Obtenga el determinante de la matriz: 2.- Multiplique la matriz A por Adj(A) ¿Qué puede concluir en este caso?

14. Cálculo de la inversa de una matriz: método de la Matriz Adjunta Si |A| ≠ 0, entonces A es invertible y se cumple: Con este resultado tenemos un segundo método para el cálculo de la inversa de una matriz.

15. Ejercicios Resolver los siguientes ejercicios del libro texto Pág. 275 – 276: 1, 3, 6, 8, 11, 15, 18,