Seminar Geoinformation WS 2000/2001

1. Seminar Geoinformation WS 2000/2001 Regionalisierte Variablen und Kriging Referent: Anno Löcher

2. Einführung • Geostatistik • Variogramme • Gewöhnliches Kriging Was ist Kriging? • Familie von stochastischen Schätzverfahren • zumeist synonym für „Gewöhnliches Kriging“ • Grundlagen von dem französischen Mathematiker • Matheron. Weiterentwicklung des Verfahrens vorwiegend • durch Ingenieure. • Name leitet sich ab von dem südafrikanischen • Bergbauingenieur Krige. • Anwendung zunächst in der Bodenexploration und • der Meteorologie, heute in allen Geowissenschaften • in vielen GIS-Anwendungen als Interpolationswerkzeug • implementiert

3. BLUE (Best Linear Unbiased Estimator) • Einführung • Geostatistik • Variogramme • Gewöhnliches Kriging Eigenschaften des Verfahrens Interpolation durch gewogenes Mittel Þ lineares Verfahren Schätzwert an beprobtem Ort = Beobachtung Þ erwartungstreues Verfahren Schätzfehler wird minimiert Þ bester Schätzer Genauigkeitsmaß: Kriging-Varianz Grundlage des Verfahrens ist das Geostatistische Modell

4. Gauß-Markoff-Modell gemischtes Modell Verallgemeinerung Einführung von Ortsabhängigkeiten Schreibweise der Geostatistik

5. Mittelwert Rauschen vom Ort abhängige Zufallsvariable („regionalisierte Variable“) Z m x • Einführung • Geostatistik • Variogramme • Gewöhnliches Kriging Geostatistisches Modell

6. a) Der Erwartungswert von Z ist im Untersuchungsgebiet konstant: b) Die Varianz der Differenz zwischen zwei Realisationen von Z hängt nur vom Abstand ab: Definition Semivarianz • Einführung • Geostatistik • Variogramme • Gewöhnliches Kriging Intrinsische Hypothese Die Semivarianz ist ein Maß für die Korrelation zwischen Z(x) und Z(x + h), ausgedrückt als Funktion des Abstands.

7. P3 P4 P2 PNEU P5 P1 • Einführung • Geostatistik • Variogramme • Gewöhnliches Kriging Ansatz für die Schätzung Z verhält sich an unbeprobten Orten wie an beprobten. Þ Bei bekanntem g(h) Vorhersage möglich! Abstände geben Korrelationen zwischen Z im Neupunkt und den beobachteten Z vor. Aus den Korrelationen können dann Gewichte abgeleitet werden.

8. g(h1) ... g(hm) aus Stichprobe empirisches Variogramm Þ g(h) aus g(h1) ... g(hm) theoretisches Variogramm Þ Schätzung von Z(xNEU) mit g(h) aus Stichprobe Kriging = • Einführung • Geostatistik • Variogramme • Gewöhnliches Kriging Vorgehen bei der Schätzung Stichprobe Z(x1) ... Z(xn)

9. Vorgehen: • Bestimmung der Abstände aller vorkommenden • Punktpaare • je vorkommendem Abstand Schätzung der Semivarianz • mit • Einführung • Geostatistik • Variogramme • Gewöhnliches Kriging Empirisches Variogramm Schätzung von g(h)auf Grundlage der Stichprobe

10. 2 1.0 1.0 1.4 1 ( 5.0 ) 1.0 1.4 1.0 ( 3.0 ) 0 0 1 2 3 ( 7.0 ) ( 4.0 ) 4 Punktpaare mit h = 1.0 g(1.0) = ( (3 - 4)² + (4 - 7)² + (7 - 5)² + (5 - 3)² ) / 8 = 2.3 2 Punktpaare mit h = 1.4 g(1.4) = ( (4 - 5)² + (7 - 3)² ) / 4 = 4.3

11. 2 1 0 0 1 2 3 ( 6.0 ) ( 3.5 ) ( 7.0 ) ( 2.0 ) ( 5.5 ) ( 6.0 ) ( 4.0 ) ( 4.5 ) ( 5.0 ) ( 6.0 ) ( 2.5 ) ( 3.0 ) ( 3.5 ) Normalfall: Jedes Punktpaar hat anderen Abstand. Entfernungsklassen bilden! Paare mit 0.0 < h £ 0.5 Þ g(0.25) Paare mit 0.5 < h £ 1.0 Þ g(0.75) Paare mit 1.0 < h £ 1.5 Þ g(1.25) usf.

12. Anforderungen an die Funktion: • Zufälligkeiten in den empirischen Daten sollen • ausgeglichen werden. • Einführung • Geostatistik • Variogramme • Gewöhnliches Kriging Theoretisches Variogramm Entwicklung einer analytischen Funktion g(h) aus dem empirischen Variogramm Vorgehen: Kurvenanpassung • Funktion soll nicht im Widerspruch zu physikalischen • Gesetzmäßigkeiten stehen. Þ parametrischer Ansatz

13. g(h) Schwelle (sill) Aussageweite (range) Nugget h • Einführung • Geostatistik • Variogramme • Gewöhnliches Kriging Kenngrößen des Variogramms Schwelle : Maximum von g(h) ( » Varianz der Stichprobe ) Aussageweite: Abstand, bei dem g(h) die Schwelle erreicht Nugget: Achsenabschnitt ( = Schätzung für die Varianz des Rauschens ) DEMO

14. Linearität Þ gewogenes Mittel Erwartungstreue Þ Schätzfehler Null Beste Schätzung Þ minimaleVarianz des Schätzfehlers Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung Lösung mit Lagrange-Multiplikator • Einführung • Geostatistik • Variogramme • Gewöhnliches Kriging Berechnung des Krige-Schätzers Rechenverfahren folgt aus Forderung an den Schätzer, BLUE zu sein.

15. Matrix der Semivarianzen zwischen den Z(xi) Vektor der Semivarianzen zwischen Z(x0) und Z(xi) Vektor der Gewichte • Einführung • Geostatistik • Variogramme • Gewöhnliches Kriging Lösungsformel in Matrizenschreibweise v = C-1D Gleichung für die Kriging-Varianz Die Höhe der Kriging-Varianz hängt von der Menge der räumlichen Informationen ab: schwach besetztes Meßnetz Þ hohe Varianz

16. Phosphatgehalt einer landwirtschaftlichen Nutzfläche Messungen Interpolation Kriging-Varianz

17. Einführung • Geostatistik • Variogramme • Gewöhnliches Kriging Eigenschaften des Krige-Schätzers • Güte der Schätzung vom Variogramm abhängig • Bei ausgeprägtem Nugget-Effekt oder sehr kleiner • Aussageweite wird das arithmetische Mittel geliefert. • Kriging erkennt und meidet redundante Daten: Bei nah • beieinanderliegenden Stützpunkten werden die Gewichte • gesenkt und auf entferntere Punkte verteilt. • Einzelne lokale Spitzen wirken sich weniger auf die Um- • gebung aus als bei anderen Verfahren. • Kontrolle der Schätzung durch Kriging-Varianz

18. Seminar Geoinformation WS 2000/2001 Regionalisierte Variablen und Kriging Referent: Anno Löcher

19. Þ s² s² 2 COV ( Z(x) , Z(x + h) ) Annahme: Z(x) und Z(x + h) haben gleiche Varianzen • Einführung • Geostatistik • Variogramme • Gewöhnliches Kriging Zusammenhang Varianz - Kovarianz - Semivarianz: Z(x) und Z(x + h) identisch (h = 0) Þ g(0) = 0 Z(x) und Z(x + h) nicht korreliert Þ g(h) = s²

20. exponentielles Modell Sphärisches Modell Gauß-Modell • Einführung • Geostatistik • Variogramme • Gewöhnliches Kriging Kurvenanpassung durch parametrischen Ansatz