Superficies

1. Superficies 2013

2. Tema Cilindros, superficies cuadráticas y superficies de revolución. Objetivo: Identificar y graficar superficies cilíndricas, cuadráticas y de revolución.

3. Clasificación de las superficies en el espacio: • Esfera • Plano • Superficies cilíndricas o cilindros • Superficies cuadráticas • Superficies de Revolución

4. Esfera Una esfera con centro en (x0, y0, z0) y radio r se define como el conjunto de puntos (x,y,z) cuya distancia a (x0, y0, z0) es r. La ecuación canónica de una esfera es: (x-x0)2 + (y-y0)2 + (z-z0)2 = r2.

5. Plano Un plano que contiene el punto P(x1, y1, z1) es el conjunto de todos los puntos Q(x, y, z) para los que el vector PQ es perpendicular a un vector n = (a, b, c) La ecuación de un plano en el espacio es: a (x-x1) + b (y-y1) + c (z-z1) = 0 (forma canónica) a x + by + cz + d = 0 (ecuación general)

6. Superficies Cilíndricas(Cilindros) El conjunto de todas las rectas paralelas que cortan a una curva C se llama cilindro de curva directriz C. Cada una de esas rectas paralelas se llama una recta generatriz del cilindro. Si la generatriz es perpendicular al plano que contiene la directriz, se dice que es un cilindro recto. Cilindro Circular Recto x2 + y2 = 4

7. Cilindros (cont.) La ecuación de un cilindro cuyas generatrices son paralelas a uno de los ejes de coordenadas contiene solo las variables correspondientes a los otros dos ejes.

8. Superficies cuadráticas Su ecuación es de la forma: Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz+ + Gx + Hy + Iz + J = 0 Existen 6 tipos: • Elipsoide • Hiperboloide de una hoja • Hiperboloide de dos hojas • Cono elíptico • Paraboloide elíptico • Paraboloide hiperbólico

9. Elipsoide Trazas xy: Elipse xz: Elipse yz: Elipse

10. Hiperboloidede una hoja Trazas xy: Elipse xz: Hipérbola yz: Hipérbola

11. Hiperboloidede dos hojas Trazas xy: Hipérbola xz: Hipérbola yz: (x=0) No existe (|x|>0) Elipse

12. Cono Elíptico Trazas xy: (z=0) Punto (|z|>0) Elipse xz: (y=0) Rectas (|y|>0) Hipérbola yz: (x=0) Rectas (|x|>0) Hipérbola

13. ParaboloideElíptico Trazas xy: (z=0) Punto (z>0) Elipse xz: Parábola yz: Parábola

14. ParaboloideHiperbólico Trazas xy: (z=0) Recta (|z|>0) Hipérbola xz: Parábola yz: Parábola

15. Superficies de Revolución Si la gráfica de una función con radio r gira en torno a uno de los ejes de coordenadas, la ecuación de la superficie resultante tiene una de las siguientes formas: 1. En torno al eje x: y2 + z2 = [r(x)]2 2. En torno al eje y: x2 + z2 = [r(y)]2 3. En torno al eje z: x2 + y2 = [r(z)]2

16. Al girar la gráfica de la función f(x) = x2+1 en torno al eje x se genera la gráfica de la función Ejemplo de Superficies de Revolución y2 + z2 = (x2 + 1)2. radio

17. Resumes de superficies

18. Conos: z x x2 y2 z2 x2 y2 z2 x2 y2 z2 + + = 0, + + = 0, + + = 0 a2 b2 y c2 a2 c2 b2 b2 c2 a2 El cono es el lugar geométrico de todos los puntos que satisfascen una relación de la forma Cono Elíptico

19. Paraboloide Eliptico x2y2x2 z2 y2 z2 + = c2z , + = b2y , + = a2x z a2b2a2c2b2c2 x y El Paraboloide elíptico es el lugar geometrico de todos los puntos que satisfacen una relación de la forma.

20. ( x – h)2( y – k)2 + =c2 ( z – j ) a2b2 La ecuación general del Paraboloide elíptico en el espaciotiene la forma: Si a = b , se tiene un paraboloide de revolución, que se obtiene haciendo girar la traza xz alrededor del eje z.

21. x2y2x2 z2 y2 z2 z - = c2z , - = b2y , - = a2x a2b2a2c2b2c2 y x Paraboloide Hiperbólico El Paraboloide Hiperbólico es el lugar geométrico de todos los puntos que satisfacen una relación de la forma.

22. ( x – h)2( y – k)2 - =c2 ( z – j ) a2b2 La ecuación general del Paraboloide Hiperbólico en el espacio tiene la forma

23. x2y2z2x2 y2 z2 x2 y2 z2 z + - = 1, - + = 1, - + + = 1 a2b2c2a2b2c2a2b2c2 y x Hiperboloide de una Hoja El Hiperboloide de una Hoja es el lugar geométrico de todos los puntos que satisfacen una relación de la forma

24. ( x – h)2( y – k)2 ( z – j ) 2 ( x – h)2( y – k)2 ( z – j ) 2 + - = 1 - + = 1 a2b2c2 a2b2c2 La ecuación general del Hiperboloide de una Hoja en el espacio es Si a = b se tiene una superficie de revolución, haciendo girar la traza xz alrededor del eje z.

25. z ( x – h)2( y – k)2 ( z – j ) 2 - - = 1 y a2b2c2 x Hiperboloide de dos Hojas La ecuación general del Hiperboloide de una Hoja en el espacio es Si b = c se tiene una superficie de revolución, haciendo girar la traza xz alrededor del eje z.

26. x2y2z2x2 y2 z2 x2 y2 z2 - - = 1, - + - = 1, - - + = 1 a2b2c2a2b2c2a2b2c2 El Hiperboloide de dos Hojas es el lugar geométrico de todos los puntos que satisfacen una relación de la forma

27. Continúe investigando