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SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN

SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN. Tema 16.5 * 2º BCT. SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN. ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN Imaginemos un arco de la curva expresada de forma explícita y = f(x). La hacemos girar alrededor del eje de abscisas entre x=a y x=b.

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SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN

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  1. SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN Tema 16.5 * 2º BCT Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

  2. SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN • ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN • Imaginemos un arco de la curva expresada de forma explícita y = f(x). • La hacemos girar alrededor del eje de abscisas entre x=a y x=b. • Se habrá generado un cuerpo de revolución ( puede ser un cilindro, un cono, un tronco de cono, una esfera, un “balón de rugby”, o miles más de todas las formas imaginables ). • El área de la superficie así generada por la curva y = f(x) definida en un intervalo [a, b], al girar en torno del eje OX se calcula con la formula: • b b • Área = 2.π. ∫ y.√(1+(y’)2 )dx = 2.π. ∫ f(x).√ (1+ [ f ’(x) ] 2 ) dx • a a • cuyos pasos para resolver la integral son los mismos que para el cálculo de áreas, sin más que hallar y’ =f’(x)=dy/dx y elevarla al cuadrado previamente. Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

  3. EJEMPLO_1 2 • Hallar el área de la curva: • y= √x • Entre los puntos A(0,0) y B(4,2) • El área generada será: • 4 • A = 2.π. ∫ f(x).√ (1+ [ f ’(x) ] 2 ) dx • 0 • y’ = 1 / 2.√x • 4 • A = 2.π. ∫ √x. √ [ 1 + (1 / 2.√x)2 ]. dx = • 0 • 4 4 • = 2.π. ∫ √x. √ [ 1 + 1 / 4x]. dx = 2.π. ∫ √ [ x + 1 / 4]. dx ; • 0 0 • 4,25 4,25 • Cambio: x+0,25 = t ; dx = dt  2.π. ∫ √ t . dt = 2.π.(2/3).[ t3/2 ] = 36,177 • 0,25 0,25 y= √x 0 1 2 3 4 x -2 Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

  4. EJEMPLO_2 4 • Hallar el área de la curva: • y= x2 • Entre los puntos A(0,0) y B(2,4) • El área generada será: • 2 • A = 2.π. ∫ f(x).√ (1+ [ f ’(x) ] 2 ) dx ,, y’= 2x • 0 • 2 2 • A = 2.π. ∫ x2 √ [ 1 + (2x)2 ]. dx = 2.π. ∫ x2 .√ (1 + 4.x2 ) dx = … • 0 0 y= x2 0 1 2 x Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

  5. EJEMPLO_3 • Hallar el área engendrada por la rotación entorno al eje X de la curva: • 9.y2 = x.(3 – x)2 • y2 = (1/9).x. (3 – x)2 Corta en x= 0 y en x = 3 • y=± (1/3). √x. (3 – x) • Consideramos la rama positiva. • y ’ = (1/3). (1 / 2√x). (3 – x) + (1/3).√x. (– 1) • 3 – x √x • (y ’)2 = (--------- – -------)2 • 6√x 3 • El área será: • 3 (3 – x)2 x 3 – x • A = 2.π ∫ (1/3). √x. (3 – x). √ [ 1 + ---------- + ------- – ----------]. dx = • 0 36.x 9 9 • 3 36.x + 9 – 6x + x2 + 4.x2 – 12.x + 4x2 • = 2.π ∫ (1/3). √x. (3 – x). √ [ ------------------------------------------------]. dx • 0 36.x Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

  6. … • 3 9.x2 + 18.x + 9 • = 2.π ∫ (1/3). √x. (3 – x). √ [ --------------------]. dx • 0 36.x • 3 x2 + 2x + 1 • = 2.π ∫ (1/3). √x. (3 – x). √ [ ----------------]. dx • 0 4.x • 3 (x + 1) • = 2.π ∫ (1/3). √x. (3 – x). ------------. dx • 0 2. √x • 3 • = 2.π ∫ (1/6). (3 – x). (x + 1). dx • 0 • 3 • = 2.π ∫ (1/6). (3 – x). (x + 1). dx • 0 • 3 3 • = 2.π (1/6). ∫ (2.x + 3 – x2) dx = 2.π.(1/6).[ x2 + 3x – (1/3).x3 ] = 3.π u2 • 0 0 0 1 2 3 Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

  7. LONGITUD DE UN ARCO • LONGITUD DE UN ARCO DE CURVA EN EL PLANO • Sea una curva (función) expresada en forma explícita: y = f(x). • Si la función, en lugar de representar una curva, representara a una línea recta, la longitud del segmento AB sería: • |AB| = √[(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 ], como se vió en cursos pasados. • Donde A(x1 – y1) y B(x2 – y2) • Se fundamentaba en que la medida del segmento AB era hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos eran los incrementos de las variables: • |AB| = √ [ (Δx)2 + (Δy)2 ] • Pues bien, en el caso de curvas en el plano, la longitud del arco se halla de forma muy similar. En lugar de los incrementos utilizamos las diferenciales, dx y dy: • b b dy • Longitud AB = L = ∫ √ [(dx)2 + (dy)2 ] = ∫ √ [ 1 + (------)2 ]. dx • a a dx • Siendo a= xa y b=xb ; y sabiendo que f ’(x) = dy / dx. Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

  8. EJEMPLO_1 • Hallar la longitud de la curva: • y= √x • Entre los puntos A(1,1) y B(4,2) • La longitud será: • 4 dy • L = ∫ √ [ 1 + (------)2 ]. dx • 1 dx • Como dy / dx = y’  y’ = 1 / 2.√x • 4 • L = ∫ √ [ 1 + (1 / 2.√x)2 ]. dx = • 1 • 4 4 • = ∫ √ [ 1 + 1 / 4x]. dx = [ x + ¼ lnx] = • 1 1 • = (4 + 0,25.ln4)–(1+0,25.ln1)= 3+0,25.1,3862 = 3,3466 2 1 y= √x 0 1 2 3 4 X Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

  9. EJEMPLO_2 • Hallar la longitud de la curva: • y= x2 • Entre los puntos A(-1,1) y B(2,4) • La longitud será: • 2 dy • L = ∫ √ [ 1 + (------)2 ]. dx • -1 dx • Como dy / dx = y’  y’ = 2x • 2 • L = ∫ √ [ 1 + (2x)2 ]. dx = • -1 • 2 2 • = ∫ √ [ 1 + 4x2 ]. dx = [ x + 4. x3 / 3 ] = • -1 -1 • = (2 + 4.8/3)–(-1-4.1/3)= 38/3 + 7/3 = 45/3 = 15 Mal ????? 4 y= x2 1 -2 -1 0 1 2 X Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

  10. EJEMPLO_2 • Hallar la longitud de la curva: • x2 y2 • ----- + ------ = 1 , para valores de y positivos, entre los puntos x= -2 y x=4 • 25 16 • Operando: 16.x2 + 25.y2 = 400  y = √ (400 – 16.x2) / 5 = (4/5). √ (25 – x2) • y ’ = dy / dx = - 4.x / 5.√ (25 – x2) • La longitud será: • 4 dy • L = ∫ √ [ 1 + (------)2 ]. dx • -2 dx • 4 • L = ∫ √ [ 1 + [- 4.x / 5.√ (25 – x2)]2 ]. dx = • -2 • 4 • = ∫ √ [ 1 + 16x2 / (625 – 25.x2 ) = • -2 • 4 • = ∫ √ [ (625 – 9.x2 ) / (625 – 25.x2 ) = • -2 4 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 X Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

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