KUANTOR DAN TEORI KUANTIFIKASI

1. KUANTOR DAN TEORI KUANTIFIKASI • Term danvariabel • Variabel/peubahadalahpemegangtempatsementaradalamsuatuungkapan, untukkemudiandigantidengannilai yang pasti • Variabelditulisdenganhurupkecil : x, y, z atau p, q , r • Kumpulan variabelmembentuksuatu term : x + y • PREDIKAT • Pandang kalimat : Semuamahasiswaitenasadalahlulusan SMA • Untuksetiap x, jika x mahasiswaitenasmaka x lulusan SMA • Adaduapredikatuntuk x : x mahasiswaitenasdan x lulusan SMA • Predikatditulisdenganhurupbesar : • Mx : x mahasiswaitenas Lx : x lulusan SMA • Kalimatdiatasditulis : Untuksetiap x, Mx Lx

2. KUANTOR • Kuantor Universal dimana terdapat ungkapan seperti : • - Untuk setiap, untuk tiap-tiap, untuk semua • Kuantor Ekstensial dimana terdapat ungkapan seperti : • - terdapat, ada, sekurang-kurangnya ada satu • Kuantor Universal • Ditulis dengan lambang  • Pandang kalimat : Semua orang Indonesia adalah orang Asia • Diterjemahkan menjadi : Untuk semua x, jika Lx maka Ax • Lx : x orang Indonesia • Ax : x orang Asia • Dalam kalimat logika ditulis : (x) [Lx  Ax] • Bentuk ini disebut Afirmatif umum • Pandang kalimat : Semua orang Indonesia bukan orang Eskimo • Ditulis (x) [Lx  ~ Ax] • Bentuk ini disebut Negatip umum

3. Kuantor Ekstensial • Ditulis dengan lambang  • Pandang kalimat : Ada orang Indonesia yang makan nasi • Ada beberapa orang Indonesia yang makan nasi • Diterjemahkan menjadi : • Ada x yang memenuhi sifat: x orang Indonesia dan x makan nasi • Ada x sehingga x orang Indonesia dan x makan nasi • Lx : x orang Indonesia • N x : x makan nasi • Dalam kalimat logika ditulis : (x) [Lx  Nx] • Bentuk ini disebut Afirmatif khusus • Pandang kalimat : • Ada x sehingga jika x orang Indonesia maka x makan nasi • Ditulis (x) [Lx  Nx]

4. Pandang kalimat : • Beberapaikanpaustidaktermasukhewanmenyusui • Diterjemahkan : Ada paling sedikitsatu x, sehinggajika x ikanpausmaka x bukanhewanmenyusui • Ditulis (x) [Hx ~ Mx] • BentukinidisebutNegatipkhusus • Variabel terikat dan variabel bebas • Sebuah variabel dalam suatu formula dikatakan variabel terikat jika dan hanya jika muncul dalam cakupan kuantor yang mengandung variabel tersebut : • ( x ) [Mx  Nx] • Variabel bebas tidak mempunyai kuantor • (x) [x>y] y variabel bebas • Dalam kalimat : (x) [Mx]  Px • X yang pertama variabel terikat sedangkan x yang kedua variabel bebas

5. NEGASI KALIMAT BERKUANTOR • Negasi dari kuantor universal sebuah fungsi proposisi ekivalen logis dengan kuantor ekstensial dari negasi fungsi proposisinya • Negasi dari kuantor ekstensial sebuah fungsi proposisi ekivalen logis dengan kuantor universal dari negasi fungsi proposisinya

6. CAKUPAN KUANTOR [Nested Quantifier) • Cakupan kuantor ini biasanya muncul pada matematika dan computer science

7. NEGASI DARI CAKUPAN KUANTOR

8. URUTAN KUANTOR (The Order of Quantifier) • Banyak pernyataan dalam matematika yang terdiri dari banyak kuantifikasi dari fungsi proposisi yang terdiri dari lebih dari satu variabel Contoh 1 : Misalkan Pxy : x + y = y + x Apakah nilai kebenaran dari kuantifikasi (x)(y ) Pxy ? Jawab : (x)(y) Pxy artinya untuk semua bilangan nyata x dan untuk semua bilangan nyata y berlaku x+y=y+x. Pxy benar untuk setiap x dan y Jadi xy Pxy benar

9. Contoh 2 : MisalkanQxy : x + y = 0 Apakahnilaikebenarandarikuantifikasi a). (x)(y ) Qxy ? b). (x ) (y)Qxy ? Jawab : a). (x)(y) Qxyartinya :untuksemuabilangannyata x adasuatubilangannyata y sehingga x +y = 0. Misalkankitamengambilsembarangnilai x, makaselaluada (y=-x) sehingga (x )(y)Qxybenar b). (x )(y)Qxyartinya : adasuatubilangannyata x sehinggauntuksemuabilangannyata y berlakux+y =0, padahalhanya y=-x saja yang memenuhix+y=0. Jadi (x )(y) Qxysalah Contoh 2 memperlihatkan bahwa keduanya tidak ekivalen logis

10. BAGAIMANA MENTERJEMAHKAN KALIMAT BERKUANTOR • Qx : bilangan irasional • Rx : bilangan nyata

12. Latihan Soal 1 Lambangkan pernyataan-pernyataan dalam tabel dimana : Bx : x adalah seorang bintang film Mx : x mempesona Tx : x terlatih dengan baik

13. Latihan Soal 2 Terjemahkan lambang-lambang dalam tabel dimana : Px : x adalah bilangan prima Ex : x adalah bilangan genap Ax : x adalah bilangan ganjil Bxy: x habis membagi y

14. Latihan Soal 3 Tentukan nilai kebenaran dari kuantor dalan tabel dimana x dan y adalah bilangan real

15. MENENTUKAN VALIDITAS KALIMAT BERKUANTOR • Universal kuantifikasi • x : X  p(x)  p(x1) p(x1) p(x1) ………..p(xn) • x1 ,x2, …….. xn adalah semua variabel yang ada pada himpunan X Contoh : Himpunan H terdiri dari 5 orang yaitu Adam, Eve, Rosalyn, Pele dan Mario Prpoasisi bi bawah ini benar : male (Adam), greedy (Adam); kind(Mario), male (Mario); male (Pele), greedy(Pele); kind (Eve); Predikat yang tidak muncul dianggap salah Apakah formula dibawah ini benar untuk kondisi yang diberikan di atas ? x :H male(x)  greedy(x)  kind(x) Jawab: buat tabel kebenaran

16. Ekstensialkuantifikasi • x : X  p(x)  p(x1) p(x1) p(x1) ………..p(xn) • x1 ,x2, …….. xnadalahsemuavariabel yang adapadahimpunan X Contoh : Himpunan H terdiri dari 5 orang yaitu Adam, Eve, Rosalyn, Pele dan Mario Prpoasisi bi bawah ini benar : male (Adam), greedy (Adam); kind(Mario), male (Mario); male (Pele), greedy(Pele); kind (Eve); Predikat yang tidak muncul dianggap salah Apakah formula dibawah ini benar untuk kondisi yang diberikan di atas ? x :H male(x)  ( greedy(x)  kind(x)) Jawab: buat tabel kebenaran

17. TEOREMA-TEOREMA PADA LOGIKA PREDIKAT Pernyataan yang salah :