OBECNÉ OPTIMALIZAČNÍ MODELY

1. OBECNÉ OPTIMALIZAČNÍ MODELY

2. Obsah • Historická poznámka • Úloha na volný extrém • Úloha na vázaný extrém • Optimalizační úloha • Klasifikace optimalizačních úloh • Možnosti řešení optimalizačních úloh

3. Historická poznámka • Nalezení extrému funkce pomocí metod matematické analýzy - derivace atd. • Praktické aplikace - omezení definičního oboru funkce

4. Úloha na volný extrém min f(x)  x  Df kde Df je definiční obor funkce f(x). minimální hodnota funkce na celém definičním oboru

5. Květák a kedlubny • Soukromý zemědělec se rozhoduje o výměře dvou druhů zeleniny. • Zemědělec ví, že se náklady na produkci těchto dvou komodit skládají ze dvou částí • Náklady fixníve výši 3500 Kč, které musí vynaložit vždy • Variabilní náklady, které progresivně rostou vzhledem k obdělávané výměře. U květáku rostou přibližně podle funkce N1 = 0,25 x12-3x1, u kedluben zhruba podle funkce N2 = x22-4x2, kde x1,2 jsou výměry plodin. • Najděte výměru plodin s minimálními náklady.

6. Květák a kedlubny • Úloha na volný extrém • Funkce nákladů • x1 výměra květáku (ar) • x2 výměra kedluben (ar) • Náklady f(x) = 3500 + 0,25x12 - 3x1 + x22 – 4x2 • Kritérium f(x) = 0,25x12 - 3x1 + x22 - 4x2  min • Extrém x1 = 6, x2 = 2

7. Úloha na vázaný extrém min f(x)  x  M  M= x  q(x) =0  úloha nalezení extrému funkce podél křivky q(x)=0 • Lagrangeova funkce L(x,u) = f(x) + uT.q(x)

8. Květák a kedlubny • Soukromý zemědělec se rozhoduje o výměře dvou druhů zeleniny. • Květák chce pěstovat na 8 arech. • Zemědělec ví, že se náklady na produkci těchto dvou komodit skládají ze dvou částí • Náklady fixníve výši 3500 Kč, které musí vynaložit vždy • Variabilní náklady, které progresivně rostou vzhledem k obdělávané výměře. U květáku rostou přibližně podle funkce N1 = 0,25 x12-3x1, u kedluben zhruba podle funkce N2 = x22-4x2, kde x1,2 jsou výměry plodin. • Najděte výměru plodin s minimálními náklady.

9. Květák a kedlubny • Úloha na vázaný extrém • Funkce nákladů • x1 výměra květáku (ar) • x2 výměra kedluben (ar) • Kritérium f(x) = 0,25x12 - 3x1 + x22 – 4x2  min • Křivka • q(x) = x1 – 8 = 0 • Řešení • Lagrangeova funkce L(x1, x2, u) = 0,25x12 - 3x1 + x22 – 4x2+ u (x1 – 8) • Extrém x1 = 8 a pak x2 = 20

10. Optimalizační úloha min f(x)  qi(x)  0 , i = 1, ..., m , xT=(x1, x2, ..., xn)T Rn, f(x) a qi (x) jsou reálné funkce více proměnných a x je prvek vektorového prostoru Rn.

11. Květák a kedlubny • Soukromý zemědělec se rozhoduje o výměře dvou druhů zeleniny. • K dispozici má 35 arů půdy, na nichž by chtěl pěstovat květák a kedlubny. Pro květák lze využít alespoň 8 arů. • Zemědělec ví, že se náklady na produkci těchto dvou komodit skládají ze dvou částí • Náklady fixníve výši 3500 Kč, které musí vynaložit vždy • Variabilní náklady, které progresivně rostou vzhledem k obdělávané výměře. U květáku rostou přibližně podle funkce N1 = 0,25 x12-3x1, u kedluben zhruba podle funkce N2 = x22-4x2, kde x1,2 jsou výměry plodin. • Najděte výměru plodin s minimálními náklady.

12. Optimalizační úloha Základní prvky optimalizačního modelu proměnné - procesy omezující podmínky kriteriální - účelová funkce Základnípojmy přípustné a nepřípustné řešení optimální řešení

13. Květák a kedlubny • Model optimalizační úlohy • Proměnné • x1 výměra květáku (ar) • x2 výměra kedluben (ar) • Omezující podmínky • q1 (x) = x1 + x2 - 35  0 celková výměra • q2 (x) = x1 – 8  0 výměra květáku • Kritérium • f(x) = 0,25x12 - 3x1 + x22 – 4x2  min

14. Květák a kedlubny • Řešení v Excelu, modul Řešitel Proměnné x Parametry omezujících podmínek q(x) < = > 0 Parametry kriteriální fce f(x)  min

15. Květák a kedlubny • Řešení v Excelu, modul Řešitel

16. Klasifikace optimalizačních úloh • Z hlediska počtu kritérií • jednokriteriální optimalizační model, • vícekriteriální optimalizační model. • Z hlediska typu kritéria • minimalizační model f(x)  MIN • maximalizační model f(x)  MAX • cílový model dosažení cíle f(x) = h • Podle typu použitých funkcí • lineární optimalizační model • nelineární optimalizační model • konvexní model - kvadratický konvexní model • nekonvexní model.

17. Možnosti řešení optimalizačních úloh • Nalezení vektoru x splňujícího omezující podmínky qi(x)  0 , i = 1, ..., m • Nalezení minimální hodnoty účelové funkce f(x). • Grafický přístup • Analytické metody • Numerické metody

18. Nalezení přípustného řešení Problém - nekonvexnost množiny přípustných řešení. Když už jedno přípustné řešení najdeme, jak najít to optimální.

19. Nalezení extrému účelové funkce Problém - nekonvexnost účelové funkce - lokální a globální extrémy. Kterým směrem postupovat k optimálnímu řešení?

20. Analytické metody • Lagrangeova funkce L(x,u) = f(x) + uT.q(x) • Sedlový bod L(xopt, u)  L(xopt, uopt)  L(x, uopt) • Kuhn-Tuckerovy podmínky - vlastnosti sedlového bodu • Wolfeho algoritmus pro řešení kvadratických optimalizačních úloh

21. Numerické metody • Gradientní metody xk+1 = xk + k.sk • Penalizační a bariérové metody min f(x) + pk(x)  x  Rn • Heuristické metody • metoda TOP TWENTY