Postulados del álgebra de boole

1. Postulados del álgebra de boole Definición: Algebra Booleana es un sistema algebraico cerrado formado por dos elementos 0 y 1 (Conjunto K), y dos operadores AND (x) y OR (+); para cada par de elementos a y b K; a x b y a + b  K. Axiomas del algebra de Boole: Axioma 1: Elemento neutro Existen elementos idénticos llamados “0” y “1”, tal que, para a K: • a + 0 = a (elemento neutro) • a x 1 = a (elemento identidad)

2. Axiomas del álgebra de boole • Axioma 2: Ley de Conmutatividad • Para a y b K: • a + b = b + a • a x b = b x a • Axioma3: Ley de Asociatividad, • Para a, b y c K: • a + ( b+c ) = ( a + b ) + c • a x ( b x c ) = ( a x b ) x c

3. Postulados del álgebra de boole • Axioma 4: Ley de Distributividad • Para a, b y c K: • a + ( b x c ) = ( a + b) x (a + c) • a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c) • Axioma 5: elemento inverso • Para cada elemento a K existe su elemento inverso tal que:

4. Principio de Dualidad Establece que si una expresión es valida en el álgebra de Boole, entonces su expresión dual también lo es. Determinamos la expresión dual remplazando los operadores “+” por “x” y viceversa y todos los elemento 0 por 1 y viceversa. Ejemplo: a + ( b x c ) = 1, expresión su dual es: a x ( b + c ) = 0

5. Principio de Dualidad

6. Teoremas

7. Compuertas

8. Funciones de Conmutación Sean x1, x2, … , xn símbolos llamados variables, cada uno representa un 0 o un 1, definiremos: • Función de conmutación: es una correspondencia que asocia un elemento del álgebra con cada una de las combinaciones de las n variables x1, x2, … , xn. Ejemplos: En general una función de conmutación queda definida por una tabla de verdad.

9. Representación de una función de Conmutación • Tabla de Verdad: Evaluamos todos los posibles valores de entrada de la función y los colocamos en una tabla en forma ordenada de acuerdo al sistema binario ascendente. Ejemplo: f(x,y) = a + b f(x,y) = a x b a b a+b 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 a b axb 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

10. Tabla de Verdad • Describa una función de conmutación con 3 entradas a,b y c y una salida z, que es verdadera (1) cuando al menos 2 de sus entradas son verdaderas (1). a b c f 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1

12. Representación de una función de Conmutación Formas Algebraicas • Suma de Productos: se construye al sumar (or) términos productos (and). Ejemplo: • Producto de Sumas) se construye con el producto (and) de términos suma (or). Ejemplo:

13. Representación de una función de Conmutación • Formas Canónicas: Son formas Sumas de Productos y Productos de Sumas con características especiales. Existe una única forma canónica para cada función de conmutación. Mintérmino: término de una función de conmutación que corresponde al “AND” de todas las variables, en donde cada una aparece bien sea complementada o sin complementar. Ejemplo: Maxtérmino: término de una función de conmutación que corresponde al OR de todas las variables, en donde cada una aparece bien sea complementada o sin complementar. Ejemplo:

14. Formas Canónicas Suma de Productos a b c f 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 Relación con la tabla de verdad: Cada mintérmino está asociado con la línea de la tabla, tal que: • Las variables no están complementadas si tienen el valor 1 para la combinación en la cual la función vale 1. • Las variables están complementadas si tienen el valor 0 para la combinación en la cual la función vale 1.

15. Formas Canónicas Suma de Productos

16. Formas Canónicas Producto de Sumas a b c f 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 Relación con la tabla de verdad: Cada maxtérmino está asociado con la línea de la tabla, tal que: • Las variables no están complementadas si tienen el valor 0 para una combinación en que la función vale 0 • Las variables están complementadas si tienen el valor 1 para una combinación en que la función vale 0

17. Formas Canónicas Producto de Sumas

18. Representación de una función de Conmutación • Especificación decimal: • Suma de Productos: • Producto de Sumas:

19. Relación Mintérminos - Maxtérminos

20. Deducción de Formas Canónicas • Teorema de expansión de Shannon: • Ejemplo: Si falta se multiplica por la suma es igual a 1

21. Convertir a Suma de Productos Canónica a b c f 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1

22. Convertir a Suma de Productos Canónica

23. Convertir a Producto de Sumas Canónica