5f_EAIEE CAMPI VARIABILI NEL TEMPO (ultima modifica 16/12/2011)

1. 5f_EAIEE CAMPI VARIABILI NEL TEMPO(ultima modifica 16/12/2011) Campi variabili nel tempo e Equazioni di Maxwell Il modello elettrostatico è stato definito con il vettore intensità del campo elettrico , e il vettore densità di flusso elettrico (spostamento dielettrico) . Le equazioni differenziali fondamentali sono: Per i mezzi lineari e isotropi (non necessariamente omogenei), vale la relazione costitutiva: 5e_EAIEE CAMPI VARIABILI NEL TEMPO

2. Il modello del campo elettrico è stato definito con il vettore intensità del campo elettrico , e il vettore densità di di corrente Le equazioni differenziali fondamentali sono: La I°relazione rappresenta la legge delle tensioni in forma locale. La II° relazione rappresenta lalegge delle correnti in forma locale Per i mezzi lineari e isotropi (non necessariamente omogenei), vale la relazione costitutiva: 5e_EAIEE CAMPI VARIABILI NEL TEMPO

3. Il modello magnetostatico è stato definito con il vettore densità di flusso magnetico magnetico , e il vettore intensità del campo magnetico . Le equazioni differenziali fondamentali sono: Per i mezzi lineari e isotropi, vale la relazione costitutiva: 5e_EAIEE CAMPI VARIABILI NEL TEMPO

4. Il modello del campo elettrostatico Il modello del campo elettrico Il modello del campo magnetostatico In condizioni statiche (le grandezze di campo non variano nel tempo) il campo elettrico e lo spostamento elettrico con il campo magnetico e l’induzione magnetica sono coppie di grandezza separate e indipendenti. 5e_EAIEE CAMPI VARIABILI NEL TEMPO

5. Ossia in condizioni statiche le grandezze del modello elettrostatico e non sono legate alle grandezze del modello magnetostatico e e alle grandezze del modello elettrico e . Ma in un mezzo conduttore, possono coesistere un campo elettrico e un campo magnetico e formano un campo elettromagnetico. In un mezzo conduttore un campo elettrico statico causa un flusso costante di correnti di densità , e questo subito dopo genera un campo magnetico statico , ma il campo elettrico statico è indipendente dal campo magnetico statico generato, che non interferisce con esso. Gli effetti cambiano se il campo elettrico non è statico. Per comprendere questi effetti si intende studiare come una variazione di campo elettrico generi una variazione di campo magnetico e viceversa. 5e_EAIEE CAMPI VARIABILI NEL TEMPO

6. Per comprendere i fenomeni elettromagnetici in regime tempo-variante, è necessario introdurre un modello elettromagnetico nel quale le grandezze relative al modello elettrostatico e e quelle relative al modello magnetostatico e e quelle del campo elettrico e siano propriamente correlate. Legge di Faraday della induzione elettromagnetica Michael Faraday nel 1831, scoprì sperimentalmente che in una spira conduttrice viene indotta una forza elettromotrice (f.e.m.) quando varia il flusso magnetico concatenato con la spira. La relazione quantitativa tra la f.e.m. indotta e la velocità di variazione del flusso concatenato, basata su dati empirici, è nota come legge di Faraday e costituisce un postulato fondamentale. 5e_EAIEE CAMPI VARIABILI NEL TEMPO

7. Postulato fondamentale della induzione elettromagnetica L’intensità del campo elettrico in una regione dove la densità del flusso magnetico varia con il tempo è non conservativae non può essere espressa con il gradiente di un potenziale scalare, ma è valida la legge di Faraday in forma differenziale: Facendo l’integrale superficiale su una superficie aperta S delimitata da un contorno C e applicando il teorema di Stokes, si ottiene la legge di Faraday in forma integrale: 5e_EAIEE CAMPI VARIABILI NEL TEMPO

8. Legge di Faraday in un campo magnetico costante in forma differenziale e integrale. Se il campo magnetico è costante, le equazioni precedenti diventano: Ciò dimostra la generalità delle equazioni dalle quali sono state ottenute. 5e_EAIEE CAMPI VARIABILI NEL TEMPO

9. La variazione della induzione può essere dovuta a una variazione delle correnti che generano il campo o a uno spostamento del conduttore nel campo magnetico. Per determinare l’espressionegenerale della legge di Faraday, indicando con la velocità di spostamento del conduttore si esamineranno i seguenti tre casi: circuito fisso in un campo magnetico variabile nel tempo conduttore in movimento in un campo magnetico statico circuito in movimento in un campo magnetico variabile nel tempo (sovrapposizione degli effetti dei casi 1 e 2). 5e_EAIEE CAMPI VARIABILI NEL TEMPO

10. Circuito fisso in un campo magnetico variabile nel tempo Per un circuito fisso con un contorno C e una superficie S si può scrivere: essendo la f.e.m. indotta nel circuito con contorno C e il flusso magnetico attraverso la superficie S si ottiene che : 5e_EAIEE CAMPI VARIABILI NEL TEMPO

11. La legge di Faraday è diventata: Essa stabilisce che: la forza elettromotrice indotta in un circuito chiuso stazionarioè uguale alla velocità di incremento (o decremento) del flusso magnetico che concatena il circuito, cambiata di segno, perché è tale da opporsi alla f.e.m. che ha generato il flusso. Ossia, il segno negativo sottolinea che la f.e.m. indotta causerà una corrente che percorrerà il circuito chiuso in direzione tale da opporsi alla direzione del flusso magnetico concatenato. Questa asserzione è nota come legge di Lenz . Su tale fenomeno è basato il funzionamento del trasformatore. 5e_EAIEE CAMPI VARIABILI NEL TEMPO

12. . . . . . --- . 2 . dl . . . . +++ . 1 . . 2) Conduttore in movimento in un campo magnetico statico Quando un conduttore si muove con velocità in un campo magnetico statico ( che non varia nel tempo) , una forza magnetica causerà il libero movimento degli elettroni nel conduttore che saranno trascinati verso una estremità del conduttore , lasciando l’altra estremità carica positivamente. Questa separazione delle cariche positive e negative crea una forza Coulombiana di attrazione. Il processo di separazione delle carichecontinua sino a quandole forzeelettriche e magnetiche si bilanciano l’una con l’altra e si raggiunge, in un uno tempo molto breve, uno stato di equilibrio. 5e_EAIEE CAMPI VARIABILI NEL TEMPO

13. Per un osservatore in movimento con il conduttore non si ha un movimento apparente, e la forza magnetica per unità di carica: può essere interpretata per analogia con i campi elettrostatici come un campo elettrico indotto agente lungo il conduttore che produce una tensione: In generale se il conduttore in movimento è una parte di un circuito chiuso C, la fem generata nel circuito con contorno C è: Per le proprietà del prodotto vettoriale solo la parte del circuito che si muove in direzione non parallela al campo magnetico, contribuisce alla fem V’. 5e_EAIEE CAMPI VARIABILI NEL TEMPO

14. 3) Circuito in movimento in un campo magnetico variabile nel tempo Quando una carica q si muove con velocità in una regione dove esistono sia un un campo elettrico e un campo magnetico , la forza elettromagnetica su q, come risulta da misurazioni effettuate in laboratorio, è data dalla equazione della forza di Lorenz, secondo la quale la forza totale agente sulla carica q è pari alla somma della forza elettrica e della forza magnetica : Per un osservatore che si muove con la carica q, non c’è alcun movimento apparente e la forza sulla carica q può essere interpretata come dovuta da un campo elettrico equivalente , dove: 5e_EAIEE CAMPI VARIABILI NEL TEMPO

15. Quindi se un conduttore con un contorno C e una superficie S, si muove con una velocità in un campo , si ottiene la relazione, valida per un circuito in movimento in un campo magnetico che varia nel tempo, che rappresenta la forma generale della legge di Faraday : f.e.m. indotta nel conduttore in movimento in un campo di induzione variabile f.e.m. indotta dovuta alla variazione della induzione nel tempo f.e.m. mozionale dovuta al movimento del circuito all’interno di un campo di induzione . 5e_EAIEE CAMPI VARIABILI NEL TEMPO

16. Oltre alle considerazioni fatte sulle interazioni dei campi elettrici e magnetici, occorre tenere presente che deve essere sempre verificato il principio di conservazione della carica, secondo il quale : eil modello magnetostatico: deve essere modificato in condizioni di campo elettrico variabile adattandolo affinchè risulti coerente al principio di conservazione della carica e si ottiene (vedi pag. successiva *) : 5e_EAIEE CAMPI VARIABILI NEL TEMPO

17. (*) Infatti calcolando la divergenza del primo e del secondo membro della relazione il modello magnetostatico per deve essere, per l’identità nulla, dovrebbe essere: Ma quando la densità di carica varia nel tempo, quindi per rendere coerente la relazione : essendo: l’equazione adattata, valida quando le grandezze di campo variano nel tempo diventa: 5e_EAIEE CAMPI VARIABILI NEL TEMPO

18. Poiché l’equazione adattata per i campi variabili nel tempo: diventa: 5e_EAIEE CAMPI VARIABILI NEL TEMPO

19. Per essere coerenti con l’equazione di continuità e le condizioni di funzionamento con le grandezze variabili nel tempo, entrambe le equazioni rotoriche valide per l’elettrostatica e per la magnetostatica sono state opportunamente generalizzate: Con le due equazioni generalizzate, si hanno complessivamente quattro equazioni differenziali coerenti, note come equazioni di Maxwellche possono essere espresse anche in forma integrale, applicando il teorema di Stokes e il teorema della divergenza. 5e_EAIEE CAMPI VARIABILI NEL TEMPO

20. Queste equazioni generalizzate sono valide per qualunque punto dello spazio e in particolare quando le grandezze di campo non variano nel tempo, le relazioni si riducono a quelle valide per i modelli elettrostatici ed magnetostatici. se: 5e_EAIEE CAMPI VARIABILI NEL TEMPO

21. Il modello matematico per la risoluzione dei campi può essere descritto mediante le seguenti  Equazioni di Maxwell in forma differenziale vettorialee in forma integrale vettoriale Legge di Faraday Legge di Ampere Legge di Gauss 5e_EAIEE CAMPI VARIABILI NEL TEMPO

22. Equazioni d’onda convenzionali in funzione delle grandezze di campo Le equazioni di Maxwell sono equazioni differenziali alle derivate parziali con più variabili che generalmente presentano difficoltà di risoluzione. Un metodo comune per ridurre la complessità matematica è quello di formulate il problema in termini di equazioni d’onda , nelle quali in ogni equazione compare una sola grandezza di campo. Per ottenerle si calcola il rotore del primo e del secondo membro delle equazioni di Maxwell rotoriche: 5e_EAIEE CAMPI VARIABILI NEL TEMPO

23. Equazioni d’onda convenzionali (in funzione delle grandezze di campo) a) Calcolando il rotore della prima equazione: si ottiene: Nella ipotesi di un mezzo omogeneo ed isotropo: 5e_EAIEE CAMPI VARIABILI NEL TEMPO

24. Quindi in generale si ha: 5e_EAIEE CAMPI VARIABILI NEL TEMPO

25. b) Analogamente partendo dalla espressione del rotore del campo : calcolando il rotore del rotore si ottiene: 5e_EAIEE CAMPI VARIABILI NEL TEMPO

26. Equazioni d’onda convenzionali In definitiva si ottiene che : Per le proprietà dei vettori: 5e_EAIEE CAMPI VARIABILI NEL TEMPO

27. 5e_EAIEE CAMPI VARIABILI NEL TEMPO

28. Equazioni d’onda convenzionali in presenza di sorgenti Questa è la forma delle equazioni convenzionale delle equazioni delle onde elettromagnetiche valide per una regione omogeneea ed isotropa in presenza di sorgenti ( ): La prima equazione dell’onda magnetica è omogenea, mentre la seconda equazione del campo elettrico al contrario non lo è. Questo implica che tutti i fenomeni elettromagnetici siano generati di da una distribuzione di cariche ρ. 5e_EAIEE CAMPI VARIABILI NEL TEMPO

29. 0 0 0 Equazioni d’onda convenzionali per una regione priva di sorgenti Questa è la forma delle equazioni convenzionale delle onde elettromagnetiche valide per una regione omogeneea ed isotropapriva di cariche fisse e in movimento: ( ) Entrambe le equazioni diventano omogenee: 5e_EAIEE CAMPI VARIABILI NEL TEMPO

30. Procedimento più intuitivo (per ottenere le stesse espressioni delle equazioni d’onda in una regione priva di sorgenti) ****************************************************** Equazioni d’onda in una regione priva di sorgenti Si intende ora risolvere problemi di propagazione che riguardano la propagazione di onde elettromagnetiche in una regione dello spazio priva di cariche libere dove e sono entrambi uguali a zero. In altri termini si vuole studiarenon solo come sono originate le onde magnetiche, ma come si propagano focalizzando questo ultimo aspetto. 5e_EAIEE CAMPI VARIABILI NEL TEMPO

31. Equazioni d’onda in una regione priva di sorgenti Se l’onda si propaga in un mezzo non conduttore (con conducibilità  = 0 o γ=0) , lineare , isotropo e omogeneo caratterizzato da  e  le equazioni di Maxwell diventano: 5e_EAIEE CAMPI VARIABILI NEL TEMPO

32. 0 Si sono ottenute delle equazioni differenziali del primo ordinenelle due variabili e . Esse possono essere combinate per ottenere equazioni differenziali del secondo ordinenella sola o . Infatti calcolando il rotore del rotore della equazione:  essendo: si ottiene: con 5e_EAIEE CAMPI VARIABILI NEL TEMPO

33. In modo analogo si ottiene una equazione in . Le equazioni così ottenute sono chiamate: Equazioni d’onda vettoriali omogenee : con In coordinate cartesiane ciascuna di esse equivale a tre equazioni d’onda scalari unidimensionali, omogenee. Ciascuna componente dei campi deve soddisfare equazioni del tipo: le cui soluzioni rappresentano le onde. 5e_EAIEE CAMPI VARIABILI NEL TEMPO

34. Equazioni d’onda vettoriali omogenee convenzionali (in funzione delle grandezze di campo) Queste equazioni si chiamanoequazioni della diffusioneessendo analoghe (formalmente identiche) alle equazioni utilizzate per risolvere problemi di diffusione del calore. Esse servono per determinare la distribuzione del campo in mezzi non conduttori, ossiain una regione dello spazio priva di cariche libere dove e sono entrambi uguali a zero. ******************************************************* 5e_EAIEE CAMPI VARIABILI NEL TEMPO

35. Funzioni potenziale scalare V e vettoriale Il concetto di potenziale vettore magnetico é stato introdotto per la solenoidalità del vettore : per cui per le proprietà degli operatori vettoriali, esso é esprimibile come: nella forma differenziale, in base alla legge di Faraday: si ottiene una relazione tra il campo elettrico e il vettore potenziale in forma compatta: 5e_EAIEE CAMPI VARIABILI NEL TEMPO

36. Poiché risulta che la somma delle due quantità vettoriali tra parentesi é irrotazionale, essa può essere espressa come il gradiente di un potenziale scalare per le proprietà del calcolo vettoriale ossia: dalla quale si ottiene: In condizioni statiche: , con Vpotenziale elettrico scalare e potenziale magnetico vettoriale. 5e_EAIEE CAMPI VARIABILI NEL TEMPO

37. Nel caso più generale di campi variabili con il tempo: l’intensità del campo elettrico dipende sia: dalle concentrazioni di carica attraverso il termine , sia dai campi magnetici tempo-variabili attraverso il termine _______________ Per ottenere un modello esaustivo dei campi elettromagnetici variabili nel tempo non possono essere trascurati gli effetti di ritardo temporale dovuti alla velocità di propagazione finita (non infinitamente grande). 5e_EAIEE CAMPI VARIABILI NEL TEMPO

38. Campi in condizioni quasi statiche Solo quando la  e variano molto lentamente nel tempo (con frequenze molto basse) e la regione di interesse del campo, ha dimensioni piccole rispetto alla lunghezza d’onda, é possibile utilizzare le formule valide per le condizioni di funzionamento statiche per determinare V e ottenibili dalle equazioni di Poisson: che sostituite nella relazione : consentono di risolvere i campi in condizioni quasi statiche. 5e_EAIEE CAMPI VARIABILI NEL TEMPO

39. I Campi quasi statici sono approssimazioni e la loro definizione e consente di risolvere i problemi elettromagnetici con la Teoria dei circuiti Quando la frequenza f della sorgente é alta e le dimensioni della regione di interesse non sono molto più piccole della lunghezzad’onda (v=velocità di trasmissione nel mezzo f=frequenza), le soluzioni quasi statiche non sono valide.  Campi variabili nel tempo Devono essere presi in considerazione gli effetti dei ritardi temporali e le emissione di radiazioni elettromagnetiche dalle antenne. 5e_EAIEE CAMPI VARIABILI NEL TEMPO

40. Potenziale vettore magnetico In elettrostatica conviene definire un potenziale elettrico scalare che presuppone che il campo sia irrotazionale. Non si può fare lo stesso per i campi magnetici, perché in generale il loro rotore é diverso da zero. Le equazioni risolutive sono complesse, ma si possono ottenere molte semplificazioni sfruttando la seguente identità vettoriale: In base a tale identità l’equazione: é sempre soddisfatta se si definisce un vettore tale che : Per definire in modo univoco occorre aggiungere un’altra condizione. A tal fine useremo la convenzione di Coulomb: 5e_EAIEE CAMPI VARIABILI NEL TEMPO

41. 0 Si può ora esplicitare calcolando il rotore di : avendo assunto la convenzione di Coulomb si ottiene: essendo: Dalle due espressioni di si ottiene: che presenta delle analogie con l’ equazione di Poisson ma a differenza di quest’ultima è funzione di grandezze vettoriali. Per la similitudine formale é chiamato potenziale vettore magnetico. 5e_EAIEE CAMPI VARIABILI NEL TEMPO

42. In coordinate cartesiane l’equazione equivale a tre equazioni scalari: La risoluzione della equazione vettoriale di equivale alla soluzione di un sistema di tre equazioni scalari: una equazione per ciascuna componenti: Ax , Ay ,e Az . 5e_EAIEE CAMPI VARIABILI NEL TEMPO

43. Riassumendo nel caso più generale di campi variabili con il tempo l’intensità del campo elettrico dipende da V ma anche da che da il potenziale vettore magnetico è espresso con l’equazione: che, in coordinate cartesiane, equivale a tre equazioni scalari: 5e_EAIEE CAMPI VARIABILI NEL TEMPO

44. Equazioni d’onda non omogenee in funzione del potenziale vettore e del potenziale scalare V Per la legge di Ampere o II° equazione di Maxwell: e per le relazioni costitutive: si può scrivere: essendo: e 5e_EAIEE CAMPI VARIABILI NEL TEMPO

45. Ma il rotore del rotore di un vettore può essere espresso come: per cui: Poiché la definizione di un vettore richiede la specificazione sia del rotore che della divergenza, essendo il rotore di definito da: possiamo scegliere opportunamente il valore della sua divergenza. 5e_EAIEE CAMPI VARIABILI NEL TEMPO

46. La divergenza di è quindi definita con la condizionedi Lorentz per i potenziali (coerente con l’equazione di continuità): da cui si ottiene l’equazione dell’onda non omogenea per il potenziale vettore : Si chiama equazione d’onda perché le sue soluzioni sono onde che viaggiano ad una velocità pari u= 5e_EAIEE CAMPI VARIABILI NEL TEMPO

47. L’equazione d’onda corrispondente per il potenziale scalare V può essere ottenuta sostituendo la relazione: dalla equazione di Maxwell ed essendo , si ottiene: che per  costante diventa: 5e_EAIEE CAMPI VARIABILI NEL TEMPO

48. Per ottenere una relazione espressa con una sola grandezza, si utilizza la condizione di Lorentz : dalla espressione : si ottiene l’equazione d’onda non omogenea per il potenziale scalare V 5e_EAIEE CAMPI VARIABILI NEL TEMPO

49. Nel caso di campi statici le equazioni d’onda non omogenee si riducono alle equazioni di Poisson. Riassumendo: Equazioni d’onda non omogenee  Equazioni di Poisson e soluzioni Vpotenziale elettrico scalaree potenziale magnetico vettoriale. 5e_EAIEE CAMPI VARIABILI NEL TEMPO

50. Condizioni elettromagnetiche al contorno Per risolvere problemi elettromagnetici che interessano regioni con parametri costitutivi ,  e  diversi, é necessario conoscere le condizioni al contorno che le grandezze devono soddisfare nelle interfacce. Le condizioni al contorno si ottengono applicando le equazioni di Maxwell nella forma integrale in una piccola regione nella interfaccia tra i due mezzi, analogamente a quanto fatto per ottenere le condizioni al contorno per i campi elettrostatici e magnetostatici. 5e_EAIEE CAMPI VARIABILI NEL TEMPO