Matematiksel kavramlara giriş

1. Matematiksel kavramlara giriş KESİR KAVRAMI Doç. Dr. İlhan KARATAŞ

2. Kesirlerin kullanımı • İlköğretim matematik programının en zengin ve karmaşık konularından birisi kesirlerdir. • Günlük hayatta oldukça sık kullanılmaktadır. Saati ifade ederken “Üçe çeyrek var”, alışverişte “bir tam, bir de yarım kiloluk yoğurt” gibi • Doğal sayılar “kaç tane?” sorusuna cevap olurken kesirler “ne kadar?” sorusuna cevap arar.

3. Doğal sayılardan farkı • Kesirli çoklukların gösteriminde iki sayının birbirine göre ilişkisi ön plandadır. ¾ litre, ¾ kilometre gibi 3 ve 4’ün birbirine göre durumunu anlatır • Her bir kesre karşılık sonsuz sayıda kesir denktir, tam sayılarda bu durum tektir. • Kesirlerde büyüklük açısından farklılıklar gösterebilir. Bir yarım ekmekle diğer yarım ekmek eşit olmayabilir.

4. Kesir kavramının matematiksel anlamları • Parça-bütün • Bölüm • Oran

5. Parça-Bütün anlamı • Kesirlerin en sık ve kavramsal olarak anlaşılması en kolay anlaşılan anlamıdır • Parça-bütün anlamının kullanıldığı kesir sorularında genellikle “bütünün ne kadarı?” sorusuyla kullanılır.

6. Parça-Bütün anlamı • Sınıftaki öğrencilerin ne kadarı gözlük takıyor? • Bahçenin ne kadarına çilek ekilmiştir? • Kitabın ne kadarını okudun?

7. Bölüm (Quotient) • İkinci anlam, çoğunlukla bir nesne çokluğunu eşit şekilde dağıtılmasında karşımıza çıkar • Örneğin 20 tane ekmeği 4 kişiye yaylaştırılması ve bir kişiye düşen ekmek miktarıdır. • Benzer şekilde 3 ekmeği 5 kişiye paylaştırıldığında bir kişiye düşen ekmek miktarı olarak kullanılabilir.

8. Bölüm (Quotient) • “……eşit paylaştırılırsa herkese ne kadar (pasta, elma, ekmek, vb) düşer?” sorusuyla anlam kazanır

9. Oran • Aynı birimde iki çokluğun birbiriyle karşılaştırılması olarak karşımıza çıkar. • Bu anlam, bütünü oluşturan parçaların birbirine oranına odaklanmıştır. • Oranı bulunan parçalar birlikte bütünü oluşturmak zorunda değillerdir. • Örneğin, sınıftaki kızların erkeklere oranında bütün oluştururken, sınıftaki Trabzonspor’u ve Galatasaray’ı tutanların oranı bütünü oluşturmayabilir.

10. Oran • Bu anlam, kesirlerin denklikleri için faydalı bir kavramsal temel oluşturabilir. Örneğin, 12 kişilik bir sınıfta solak öğrencilerin olmayanlara oranı 3/9 ise, 24 kişilik bir sınıfta bu oran 6/18 olabilir. • Denk kesirleri, kesirlerin bu anlamını içeren örneklerle anlatmak daha iyi olabilir.

11. Kesirlerin Gösterimleri • Bölge • Çizgi • Küme • Alan

12. Bölge • Bu gösterimde daire, dikdörtgen, ve üçgen gibi basit geometrik şekiller kullanılır • Bu şekiller parça-bütün anlamına karşılık gelecek şekilde eşit parçalara bölünür ve seçilen kısımlar ayrılarak kesir gösterilir. • Önemli olan parçaların aynı alana ve şekle sahip olmasıdır

13. Bölge • Bu gösterim yolu, öğrenciler için diğerlerine göre en basit ve anlaşılması kolay modeldir. Öğrenciler kesirlerle ilk defa tanışırken bu modelin ağırlıkla kullanılması faydalı olabilir

14. Çizgi (sayı doğrusu) • Her kesir bir sayıdır ve sayı doğrusu üzerinde bir noktaya karşılık gelir. • Bu model kesir sayıyı soyut bir gerçek sayı olarak nitelendirir. Bu nedenle diğer modellere göre anlaşılması zordur ve sonraya bırakılabilir

15. Çizgi (sayı doğrusu) • Burada bir çizgi üzerinde önce tam birimin başı ve sonu belirlendikten sonra kesrin içerdiği parça sayısına eşit olarak bölünüp istenen sayıdaki kısmı işaretlenerek ayırt edilir.

16. Küme • Bir grup nesne bütünü temsil eden bir kümeyi oluşturmakta, bu kümenin bazı elemanları diğerlerinden ayrı özellikleri nedeniyle kesir gösteriminde kullanılmaktadır.

17. Küme • Bu gösterim bölme kavramıyla ilişkilendirilerek verilebilir, • Örneğin; 12 oyuncak 4 çocuğa eşit bir şekilde paylaştırılabilir mi? (evet, hayır) • 5 çocuğa paylaştırılabilir mi? (evet, hayır) • Bu şekilde, küme modeli, kesirlerle ilişkilendirilerek verilebilir.

18. Küme

19. Alan • Bu model, bölge modeline benzemekle birlikte farkı bütünün parçalarının hepsinin aynı şekli taşımak zorunda olmamasıdır. Ancak parçalarının alanlarının aynı olması gerekmektedir.

21. Öğretim Programlarında kesir kavramı • Yarım, çeyrek, bütün ve birbirleriyle olan ilişkileri • Bir bütünü eş parçalara ayırıp parçayı ifade etme • Kesirleri karşılaştırma • Bir çokluğun (20 tane) bir bölümünü elde etme (2/5’ini) • Bileşik kesri gösterme ve doğal sayılarla karşılaştırma

22. 1.Sınıf kazanımlar • Uygun şekil veya nesneleri iki eş parçaya böler ve yarımı belirtir. • Yarım ve bütün arasındaki ilişkiyi açıklar. • Bütün, yarım ve çeyrek arasındaki ilişkiyi açıklar.

23. 2.Sınıf kazanımlar • Bütün, yarım ve çeyrek arasındaki ilişkiyi açıklar.

24. 3.Sınıf kazanımlar • Bir bütünü eş parçalara ayırarak eş parçalardan her birinin kesrin birimi olduğunu belirtir. • Payı paydasından küçük ve paydası en çok iki basamaklı doğal sayı olan kesirler elde eder. • Paydası en çok iki basamaklı doğal sayı olan en çok üç kesri karşılaştırır ve sıralar. • Bir çokluğun belirtilen kesrin birimi kadarını belirler.

25. 4.Sınıf kazanımlar • Payı ve paydası en çok iki basamaklı doğal sayı olan kesirleri, kesrin birimlerinden elde ederek isimlendirir. • Payı ve paydası en çok iki basamaklı olan kesirleri sayı doğrusunda gösterir • Kesirleri karşılaştırır. • Eşit paydalı en çok dört kesri, büyükten küçüğe veya küçükten büyüğe doğru sıralar. • Payları eşit, paydaları birbirinden farklı en çok dört kesri, büyükten küçüğe veya küçükten büyüğe doğru sıralar. • Bir çokluğun belirtilen bir basit kesir kadarını belirler.

26. 5.Sınıf kazanımlar • Bileşik kesri tam sayılı kesre, tam sayılı kesri bileşik kesre dönüştürür. • Bir doğal sayı ile bir kesri karşılaştırır. • Eşit paydalı veya paydası diğerinin katı olan en çok beş kesri, büyükten küçüğe veya küçükten büyüğe doğru sıralar. • Bir kesre denk olan kesirler oluşturur. • Bir basit kesir kadarı verilen çokluğun, tamamını belirler. • Kesir ile bölme işlemi arasındaki ilişkiyi açıklar.

27. Uygun şekil veya nesneleri iki eş parçaya böler ve yarımı belirtir. • Kâğıdı ikiye katlama ve kesme, portakalı, elmayı, somun ekmeğini vb. iki eş parçaya bölme ve yarım elde etme etkinlikleri yaptırılır.

28. Yarım ve bütün arasındaki ilişkiyi açıklar. • Yarım ve bütün arasındaki ilişki modellerle buldurulur.

29. 2.Sınıf Bütün, yarım ve çeyrek arasındaki ilişkiyi açıklar. • Bütün” modelleri, eş parçalara katlanabilen, kesilebilen, ayrılabilen somut nesnelerden seçtirilir.

30. 3.sınıfBir bütünü eş parçalara ayırarak eş parçalardan her birinin kesrin birimi olduğunu belirtir. • Kâğıt, kesir blokları, örüntü blokları ve sayı doğrusu gibi çeşitli modeller kullandırılarak bütün belirtilen sayıda eş parçaya böldürülür. Ortaya çıkan eş parçalardan her birinin kesrin birimini belirttiği vurgulanır.

31. Payı paydasından küçük ve paydası en çok iki basamaklı doğal sayı olan kesirler elde eder. • Öğrenciler, kâğıt, kesir blokları, örüntü blokları ve sayı doğrusu gibi çeşitli modeller kullanarak payı paydasından küçük kesirler elde ederler.

32. Paydası en çok iki basamaklı doğal sayı olan en çok üç kesri karşılaştırır ve sıralar. • Somut kesir modelleri kullandırılır veya kâğıt katlama etkinliği yaptırılır. Bütünün eş parça sayısı arttıkça ortaya çıkan eş parçaların küçüldüğüne dikkat çekilir.

33. Bir çokluğun belirtilen kesrin birimi kadarını belirler. • “24 fındığın ’i kaç fındıktır?’’ Problem, model kullandırılarak çözdürülür. Daha sonra işlem yaptırılır.

34. Payı ve paydası en çok iki basamaklı doğal sayı olan kesirleri, kesrin birimlerinden elde ederek isimlendirir. • Somut nesneler, şekiller, sayı doğrusu modelleri ile kesirlerin birimleri elde ettirilir. Bu kesir birimlerinden basit, bileşik ve tam sayılı kesirler elde ettirilir.

35. Payı ve paydası en çok iki basamaklı olan kesirleri sayı doğrusunda gösterir. • Kesir modelleri ile sayı doğrusu ilişkilendirilir.

36. Kesirleri karşılaştırır. • Somut nesne, şekil veya sayı doğrusu ile iki basit kesir, kesirlerin birimlerinden yararlanılarak karşılaştırılır. Karşılaştırma sonucu sembol ile ifade ettirilir

37. Eşit paydalı en çok dört kesri, büyükten küçüğe veya küçükten büyüğe doğru sıralar.

38. Payları eşit, paydaları birbirinden farklı en çok dört kesri, büyükten küçüğe veya küçükten büyüğe doğru sıralar. • Payları eşit kesirlerin sıralanmasında kesrin biriminin esas alınmasına dikkat edilir. Kesirlerin aynı sayıda fakat farklı kesir birimlerine sahip olması nedeniyle en büyük kesir birimine sahip olan kesrin en büyük olduğu belirtilir.

39. Bir çokluğun belirtilen bir basit kesir kadarını belirler. • Bir sınıftaki 40 öğrencinin ’ünün kaç öğrenci olduğunu bulmak için aşağıdaki model kullandırılabilir:

40. 5.SınıfBileşik kesri tam sayılı kesre, tam sayılı kesri bileşik kesre dönüştürür. • tam sayılı kesri, bileşik kesre dönüştürürken aşağıdaki modelden yararlanılır.

41. Bir doğal sayı ile bir kesri karşılaştırır. • Her doğal sayının kesir olarak ifade edilebileceği vurgulanır.

42. Eşit paydalı veya paydası diğerinin katı olan en çok beş kesri, büyükten küçüğe veya küçükten büyüğe doğru sıralar.

43. Bir kesre denk olan kesirler oluşturur. • Kağıt katlama etkinlikleri, kesrin ilgili bölümü boyanır ve kağıt katlanır

44. Bir basit kesir kadarı verilen çokluğun, tamamını belirler.

45. Kesir ile bölme işlemi arasındaki ilişkiyi açıklar. • Eşit paylaşma etkinlikleri, bölme kavramına vurgu yapılabilir • 12 bilyeyi 6 çocuk eşit paylaştığında her birine ne kadar bilye düşer?