PERBANDINGAN DUA ELEMEN

1. PERBANDINGAN DUA ELEMEN Harni Kusniyati Perbandingan Dua Elemen

2. Dalam relasi Partial Order, dua buah elemen x dan y yang berrelasi dapat dibandingkan (comparable). • Jika semua elemen dapat dibandingkan, maka relasi Partial Order tersebut disebut Relasi Total Order Perbandingan Dua Elemen

3. Misal ( A, ≤ ) adalah POSET(Partially Ordered Set), maka 1). Suatu elemen a A disebut Elemen Maksimal bhb (bila dan hanya bila) a ≥ semua elemen yang comparable dengan a. ( a A, a = Elemen Maksimal) 2). Suatu elemen a A disebut Elemen Terbesar bhb (bila dan hanya bila) a ≥ semua elemen dalam A. ( a A, a = Elemen Terbesar) 3). Suatu elemen a A disebut Elemen Minimal bhb (bila dan hanya bila) a ≤ semua elemen yang comparable dengan a. ( a A, a = Elemen Minimal Perbandingan Dua Elemen

4. 4). Suatu elemen a A disebut Elemen Terkecil bhb (bila dan hanya bila) a ≤ semua elemen dalam A. ( a A, a = Elemen Terkecil) Perbandingan Dua Elemen

5. Contoh: • Misal A = { a, b, c, d, e, f, g, h, i }. Relasi Partial Order didefinisikan padahimpunan A atau (A, ≤) dalam diagram Hasse di bawah ini. Carilah elemen maksimal, minimal, terbesar dan terkecil ! Perbandingan Dua Elemen

6. Jawab: Elemen maksimal = g Elemen terbesar = g Elemen minimal = c, d dan i Elemen terkecil tidak ada. Sebab: c bukan elemen terkecil, karena c ≤ d Perbandingan Dua Elemen

7. BATAS ATAS & BATAS BAWAH Misal a,b Poset (A, ≤) 1). c  A, c = batas atas dari a & b bhb a ≤ c & b ≤ c. c A, c = batas atas terkecil (Least Upper Bound (LUB)) dari a & b bhb a). c batas atas dari a & b, b). Jika d batas atas dari a & b yang lain, maka c ≤ d. 2). c A, c = batas bawah dari a & b bhb c ≤ a & c ≤ b c  A, c = batas bawah terbesar (Greatest Lower Bound (GLB)) dari a & b bhb a). c batas bawah dari a & b, b). Jika d batas bawah dari a & b yang lain, maka d ≤ c Perbandingan Dua Elemen

8. Contoh 1: Diketahui himpunan A = { 2, 3, 6 } dan Poset (A,”|”). Cari batas atas (b.a), b.a.t, batas bawah (b.b), b.b.t dari: ( 3 & 6) dan (2 & 3) Perbandingan Dua Elemen

9. Contoh 2: Carilah batas atas (b.a), b.a.tk, batas bawah (b.b), b.b.tb dari c & d pada diagram Hasse Poset berikut ini: Perbandingan Dua Elemen

10. Perbandingan Dua Elemen

11. Contoh 3: Carilah batas atas (b.a), b.a.t, batas bawah (b.b), b.b.t dari f & g pada diagram Hasse Poset berikut ini: Perbandingan Dua Elemen

12. Perbandingan Dua Elemen

13. LATEKS ( LATTICE ) Berdasar konsep b.a.t dan b.b.t, didefinisikan LATTICE sebagai berikut: • Suatu Poset (A, ≤) disebut LATTICE apabila setiap dua elemen Poset (A, ≤) mempunyai b.a.t & b.b.t. Perbandingan Dua Elemen

14. Contoh: • Tentukan apakah Poset yang dinyatakan dengan diagram Hasse di bawah inimerupakan Lattice ! Perbandingan Dua Elemen

15. Jawab: (a). Lattice, sebab setiap dua Titik mempunyai b.a.t dan b.b.t. (b). Bukan Lattice, sebab b.a.t dari a & b tidak ada. (c). Bukan Lattice, sebab b.a.t dari c & d tidak ada, ( b ≤ a ). (d). Lattice, sebab setiap pasang titik mempunya b.a.t & b.b.t. Perbandingan Dua Elemen

16. Latihan 1 Perbandingan Dua Elemen

17. Perbandingan Dua Elemen

18. Perbandingan Dua Elemen

19. Perbandingan Dua Elemen

20. d). Untuk elemen 4 dan 6 : batas atas (b.a.) : 24, jadi b.a.t nya juga 24 batas bawah (b.b.) : 2, jadi b.b.t nya juga 2. Perbandingan Dua Elemen

21. Perbandingan Dua Elemen

22. LATIHAN Perbandingan Dua Elemen

23. Perbandingan Dua Elemen