Systèmes d’équations linéaires

1. Systèmes d’équations linéaires Étude de contexte et résolution

2. Ces droites n’ont qu’un point d’intersection Système à solution unique

3. Ces droites n’ont pas d’intersection Système inconsistant

4. Ces droites sont confondues Système avec une infinité de solutions

5. Nombre de solutions d’un système d’équations linéaires • Les exemples précédents se généralisent à un système de plus de 2 variables • Donc, l’ensemble solution d’un système d’équations linéaires AX=B peut posséder • Aucune solution • Une solution unique • Une infinité de solutions

6. Par exemple, les deux systèmes suivants sont équivalents Systèmes d’équations équivalents • Deux systèmes d’équations sont équivalents s’ils possèdent le même ensemble solution.

7. Opérations élémentaires sur les lignes • Il y a trois types d’opérations que l’on peut faire sur les lignes d’un système d’équations linéaires qui ne changent pas l’ensemble solution de ce système - L’interversion de deux lignes - La multiplication d’une ligne par une constante non nulle - L’addition d’un multiple d’une ligne à une autre ligne

8. Exemple de transformations d’un système d’équations linéaires

9. Système initial et final (équivalents)

10. Matrice augmentée d’un système d’équations linéaires • La matrice augmentée est la matrice des coefficients à laquelle on a ajoutée la colonne des constantes

11. Exemple

12. Méthode de la matrice escalier • Deux matrices sont équivalentes si on peut obtenir l’une des matrices en effectuant des opérations élémentaires sur les lignes de l’autre matrice • La méthode de la matrice escalier consiste à résoudre un système d’équations linéaires en effectuant des opérations élémentaires sur les lignes de la matrice augmentée du système de manière à obtenir une matrice escalier équivalente (sans nécessairement les pivots à 1)

13. Exemple

15. Infinité de solutions Deux variables sont ici libres

16. Système inconsistant La dernière ligne est contradictoire

17. Rang d’une matrice • Le rang d’une matrice A est le nombre de lignes non nulles d’une matrice échelonnée équivalente à A Le rang de A est 2

18. Théorème

19. Méthode de Gauss-Jordan • C’est un prolongement de la méthode de la matrice escalier. Elle consiste à effectuer des opérations élémentaires sur la matrice augmentée du système pour la transformer en une matrice escalier dont les pivots sont les seuls éléments non nuls de leurs colonnes respectives. • La solution du système sera alors directement accessible dans la matrice.

20. Exemple Donc x = -1, y = ½ et z = ¼

21. Calcul de la matrice inverse par la méthode de Gauss-Jordan • Pour trouver l’inverse d’une matrice A, on augmente la matrice A de la matrice identité de même ordre ( A|In) • on effectue ensuite des transformations élémentaires sur les lignes pour obtenir la matrice identité à gauche (In|B) • la matrice B ainsi obtenue est la matrice inverse de A

22. Exemple