Methodologie & Statistiek I

Methodologie & Statistiek I Toetsen van twee gemiddelden 6.1

U kunt deze presentatie ook op uw eigen PC afspelen! Gebruikmaken van internet: http://www.stateduc.unimaas.nl • Education • Health sciences • Presentations of lectures “op dit moment ……. beschikbaar Opening --- Hoofdstuk 5 (Principes van …) --- Powerpointviewer downloaden”

Deze diapresentatie werd vervaardigd door Tjaart Imbos & Michel Janssen van de Capaciteitsgroep Methodologie en Statistiek. De presentatie mag alleen worden gecopieerd voor eigen gebruik door studenten en medewerkers van de Universiteit Limburg in Maastricht. Met eventuele op- en aanmerkingen kunt u terecht bij: Universiteit Maastricht Capaciteitsgroep M&S Tjaart Imbos Postbus 616 6200 MD Maastricht tjaart.imbos@stat.unimaas.nl

Methodologie & Statistiek I Toetsen van twee gemiddelden 6.1 27 februari 2002

vorige hoofdstuk . . . Toetsen van één gemiddelde Kijken of de steekproef met dat bepaalde gemiddelde redelijkerwijs afkomstig kan zijn uit een populatie met een m waarvan in de hypothesen werd uitgegaan. De vraag was te beantwoorden omdat de verdeling van x-gemiddelden uit de veronderstelde populatie (H0) bekend is. s bekend: z-toets s niet bekend: t-toets

kern van statistisch toetsen Hoe extreem is de gevonden steekproefwaarde binnen de verdeling van de toetsingsgrootheid

hoofdstuk 6 Toetsen van twee gemiddelden Toetsen van gemiddelden van twee steekproeven

Er worden twee situaties onderscheiden • afhankelijke of gepaarde steekproeven • onafhankelijke of niet gepaarde steekproeven Keuze wordt bepaald door de opzet van het onderzoek voorbeeld……..

afhankelijke of gepaarde steekproeven Onderzoek naar het rendement van twee soorten benzines. Men wil een aantal auto’s op de ene soort en een aantal auto’s op de andere soort laten rijden en de afstand (mijlen) meten die wordt gereden op 1 gallon van de betreffende benzine.

afhankelijke of gepaarde steekproeven Onderzoek naar het rendement van twee soorten benzines. Men wil een aantal auto’s op de ene soort en een aantal auto’s op de andere soort laten rijden en de afstand (mijlen) meten die wordt gereden op 1 gallon van de betreffende benzine. Men realiseert zich op tijd dat het rendement van de auto’s mede afhankelijk is van merk/model en zelfs binnen merk/model kan variëren oplossing ???

afhankelijke of gepaarde steekproeven oplossing: Laat tien verschillende auto’s achtereenvolgens op de twee soorten benzine rijden en ga na of er per auto verschil is in de gereden afstand. Aan elk element in de steekproef worden twee metingen verricht Model wordt gebruikt in situaties waar sprake is van een voor- en nameting

Aantal mijlen dat 10 auto’s afleggen op 1 gallon soort benzine Auto A B 1 25.7 24.9 2 20.0 18.8 3 28.4 27.7 4 13.7 13.0 5 18.8 17.8 6 12.5 11.3 7 28.4 27.8 8 8.1 8.2 9 23.1 23.1 10 10.4 9.9  afstand in mijlen, gereden op 1 gallon van de betreffende benzine 

Aantal mijlen dat 10 auto’s afleggen op 1 gallon soort benzine Auto A B 1 25.7 24.9 2 20.0 18.8 3 28.4 27.7 4 13.7 13.0 5 18.8 17.8 6 12.5 11.3 7 28.4 27.8 8 8.1 8.2 9 23.1 23.1 10 10.4 9.9 Redenering: Als er geen verschil zou zijn tussen de twee soorten benzines, zou het verschil in gereden mijlen ongeveer gelijk moeten zijn aan 0. H0: het verschil = 0 HA: het verschil > 0

Aantal mijlen dat 10 auto’s afleggen op 1 gallon soort benzine Auto A B 1 25.7 24.9 2 20.0 18.8 3 28.4 27.7 4 13.7 13.0 5 18.8 17.8 6 12.5 11.3 7 28.4 27.8 8 8.1 8.2 9 23.1 23.1 10 10.4 9.9 verschil A-B 0.8 1.2 0.7 0.7 1.0 1.2 0.6 -0.1 0.0 0.5

Het twee-steekproevenprobleem is daarmee teruggebracht tot een probleem met een steekproef: Kan de steekproef (van verschillen) redelijkerwijs afkomstig zijn uit een populatie met m= 0 en onbekende s ?

De gemiddelden van alle steekproeven (n=10) uit de populatie met m= 0 zijn normaal verdeeld met verwachtingswaarde=0 en variantie= s2/n Omdat s2 niet bekend is, wordt de s2 van de steekproef als schatter gebruikt. De beste schatter van de variantie van de verdeling van steekproefgemiddelden is dan s2/n.

DE TOETS: maak gebruik van het kritieke gebied • Formuleer de nul-hypothese • Stel onbetrouwbaarheid (a) vast • Kies de toetsingsgrootheid • Bepaal de verdeling van de • toetsingsgrootheid • Bepaal kritieke gebied • Bereken toetsingsgrootheid t* • Trek conclusie: • t* ligt in kritieke gebied: H0 verwerpen • t* ligt niet in kritieke gebied: H0 niet verwerpen

Formuleer de H0 • Stel onbetrouwbaarheid (a) vast • Kies de toetsingsgrootheid • Bepaal de verdeling van de • toetsingsgrootheid • Bepaal kritieke gebied • Bereken • toetsingsgrootheid t* • Trek conclusie: • t* in kritieke gebied: • H0 verwerpen • t* niet in kritieke gebied: • H0 niet verwerpen • Verwachtingswaarde • verschillen = 0 • HA: benzine A levert meer mijlen/gallon • Kies a is gelijk aan 0.05 (=eenzijdig) • 3. Toetsingsgrootheid: • t* heeft een t-verdeling met 9 vrijheidsgraden • t(9,0.95)= 1.833 • Kritieke gebied: alle waarden rechts van 1.833 • 6.

Formuleer de H0 • Stel onbetrouwbaarheid (a) vast • Kies de toetsingsgrootheid • Bepaal de verdeling van de • toetsingsgrootheid • Bepaal kritieke gebied • Bereken • toetsingsgrootheid t* • Trek conclusie: • t* in kritieke gebied: • H0 verwerpen • t* niet in kritieke gebied: • H0 niet verwerpen • Verwachtingswaarde • verschillen = 0 • HA: benzine A levert meer mijlen/gallon • Kies a is gelijk aan 0.05 (=eenzijdig) • 3. Toetsingsgrootheid: conclusie ? • t* heeft een t-verdeling met 9 vrijheidsgraden • t(9,0.95)= 1.833 • Kritieke gebied: alle waarden rechts van 1.833 • 6.

Er werden twee situaties onderscheiden • afhankelijke of gepaarde steekproeven • onafhankelijke of niet gepaarde steekproeven Keuze wordt bepaald door de opzet van het onderzoek voorbeeld……..

onafhankelijke of niet gepaarde steekproeven Men doet onderzoek naar salarisverschillen tussen enerzijds docenten aan openbare scholen en anderzijds docenten aan privé-scholen. Men neemt een steekproef van de docenten aan de ene schoolsoort en een steekproef van de docenten aan de andere schoolsoort. De elementen in de ene steekproef hebben niets van doen met de elementen uit de andere steekproef.

Men doet onderzoek naar salarisverschillen tussen enerzijds docenten aan openbare scholen en anderzijds docenten aan privé-scholen. Men neemt een steekproef van de docenten aan de ene schoolsoort en een steekproef van de docenten aan de andere schoolsoort. De elementen in de ene steekproef hebben niets van doen met de elementen uit de andere steekproef. Er is sprake van twee populaties, met uit elk daarvan een steekproef.

steekproef-1 uit populatie-1: n= 30 steekproef-2 uit populatie-2: n= 35 Is het verschil ($ 2223.77) toevallig of niet ?

Om die vraag te kunnen beantwoorden moet je kennis hebben van het gedrag van het verschil tussen twee gemiddelden Net als , is ook een random-variabele

Trek uit populatie-1 met m1 en s1 ‘alle’ mogelijke steekproeven van n1 stuks en bepaal de gemiddelden Wat valt er te zeggen over de verdeling van de steekproefgemiddelden? ?

Trek uit populatie-1 met m1 en s21 ‘alle’ mogelijke steekproeven van n1 stuks en bepaal de gemiddelden ? Wat valt er te zeggen over de verdeling van de steekproefgemiddelden? De steekproefgemiddelden zijn, bij benadering, normaal verdeeld met verwachtingswaarde = m1 en variantie = s21/n1

Trek uit populatie-2 met m2 en s22 ‘alle’ mogelijke steekproeven van n2 stuks en bepaal de gemiddelden ? Wat valt er te zeggen over de verdeling van de steekproefgemiddelden?

Trek uit populatie-2 met m2 en s22 ‘alle’ mogelijke steekproeven van n2 stuks en bepaal de gemiddelden ? Wat valt er te zeggen over de verdeling van de steekproefgemiddelden? De steekproefgemiddelden zijn, bij benadering, normaal verdeeld met verwachtingswaarde = m2 en variantie = s22/n2

Geprojecteerd op het voorbeeld: Het gemiddelde van de steekproef met salarissen van leraren aan openbare scholen is een exemplaar uit de verdeling van de gemiddelden van alle steekproeven met leraarsalarissen aan openbare scholen. Het gemiddelde van de steekproef met salarissen van leraren aan prive scholen is een exemplaar uit de verdeling van de gemiddelden van alle steekproeven met leraarsalarissen aan prive scholen.

Zijn exemplaren uit twee verdelingen van x-gemiddelden Het verschil ($ 2223.77) is een exemplaar uit de verdeling van alle verschillen Als meer bekend is omtrent de verdeling van die verschillen is ook aan te geven hoe waarschijnlijk een bepaald verschil is.

Het verschil van twee verdelingen Verdeling A: normale verdeling met verwachtingswaarde: mA variantie: s2A Verdeling B: normale verdeling met verwachtingswaarde: mB variantie: s2B Verdeling A-B: normale verdeling met verwachtingswaarde: mA- mB variantie: s2A+ s2B

A ? gemiddelde A gemiddelde B gemiddelde (A-B) variantie A variantie B variantie (A-B) B

Deze theorie toegepast op het voorbeeld Vaak stelt men in de H0 dat

Deze theorie toegepast op het voorbeeld

Het voorbeeld van de leraren-salarissen steekproef-1 uit populatie-1: n= 30 steekproef-2 uit populatie-2: n= 35 Ga er van uit dat: s1= $ 12925 en s2= $ 14850

DE TOETS: maak gebruik van het kritieke gebied • Formuleer de nul-hypothese • Stel onbetrouwbaarheid (a) vast • Kies de toetsingsgrootheid • Bepaal de verdeling van de • toetsingsgrootheid • Bepaal kritieke gebied • Bereken toetsingsgrootheid t* • Trek conclusie: • t* ligt in kritieke gebied: H0 verwerpen • t* ligt niet in kritieke gebied: H0 niet verwerpen stap voor stap……………..

1. Formuleer de Nulhypothese m1 = m2 dus m1 – m2= 0 Formuleer de alternatieve hypothese m1m2 2. Stel onbetrouwbaarheid (a) vast Onbetrouwbaarheid a= 5%

3. Kies de toetsingsgrootheid 4. Verdeling toetsingsgrootheid

Bepaal kritieke gebied • (in termen van z) tweezijdige toets a= 5% 2.5% 2.5% 1.96 -1.96

6. Bereken toetsingsgrootheid conclusie ?

De zojuist beschreven situatie, waarbij de varianties van beide populaties bekend zijn, zal in de praktijk niet zo vaak voorkomen. Als de populatie-varianties niet bekend zijn vormen de steekproefvarianties de best beschikbare schatters van de populatie-parameters.

Daarbij kunnen twee situaties • worden onderscheiden: • De onbekende populatie-varianties • zijn (ongeveer) gelijk aan elkaar. • De onbekende populaties-varianties • zijn niet gelijk aan elkaar. Wanneer op basis van de beschikbare steekproeven moet worden gekozen tussen de twee mogelijkheden, staat een toets ter beschikking: F-toets

De onbekende populatie-varianties • zijn (ongeveer) gelijk aan elkaar. Het voorbeeld van de leraren-salarissen wordt gebruikt. Omdat de populatie-varianties gelijk zijn aan elkaar zijn zowel s1 als s2 schatters van die populatie-variantie.

De gecombineerde schatter van de variantie (Eng. pooled variance) wordt als volgt berekend.

Bij bekende varianties was de toetsingsgrootheid deze was normaal verdeeld s1 en s2 worden vervangen door sp. De toetsingsgrootheid deze is t-verdeeld met n1+n2-2 vrijheidsgraden zie formule 6.7

Toegepast op het salarissen-voorbeeld: Het tabellenboek geeft geen informatie omtrent een t-verdeling met 63 vrijheidgraden: gebruik de z-verdeling: Conclusie bij a=5% tweezijdig?

Als niet mag worden verondersteld dat s1 gelijk is aan s2 (omdat bijvoorbeeld de F-toets die veronderstelling verwerpt) wordt de zaak aanzienlijk moeilijker. Er zijn diverse oplossingen. Een daarvan wordt in het boek besproken (par. 6.5) Voor het bepalen van het aantal vrijheidsgraden: zie formule 6.13

Ook als er sprake is van twee onafhankelijke steekproeven kan op basis van een BETROUWBAARHEIDSINTERVAL worden berekend. Uitgangspunt voorbeeld met bekende varianties.

De toetsingsgrootheid was: Het (100-a) betrouwbaarheidsinterval:

Samenvatting toetsen voor gemiddelden van twee steekproeven • Twee gepaarde steekproeven • herleiden tot een-steekproefprobleem • Twee onafhankelijke steekproeven • a. populatie-varianties bekend • b. populatie-varianties onbekend, maar gelijk • c. populatie-varianties onbekend en ongelijk

Methodologie & Statistiek I