Vecteurs algébriques

1. Vecteurs algébriques Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon

2. Introduction La description d’un vecteur par ses composantes dans un repère est appelé vecteur algébriqueet c’est sur cette représentation des vecteurs que nous porterons maintenant notre attention. Dans cette étude, nous considérerons des repères particuliers du plan cartésien et de l’espace cartésien.

3. Repère orthonormé DÉFINITION Repère orthonormé d’un plan Un repère orthonorméd’un plan est un ensemble contenant un point du plan et deux vecteurs de ce plan, unitaires et perpendiculaires entre eux (orthogonaux). On utilise un repère orthonormé dans la construction du plan cartésien ouplan réel que l’on désigne également par R2. En fait, il y a plusieurs repères orthonormés possibles, nous allons en privilégier un.

4. Plan cartésien j i i j j v i i i j j i j v DÉFINITION Plan cartésien Le plan cartésien(ouplan réel) est un plan de repère orthonormé {O, , }, où est horizontal et orienté vers la droite et est vertical et orienté vers le haut. Tout vecteur du plan peut alors s’écrire sous la forme : = v1 + v2 ou sous la forme : = (v1; v2). En particulier : = 1 + 0 = (1; 0) et = 0 + 1 = (0; 1)

5. Vecteur algébrique v v S S S DÉFINITION Vecteur algébrique dans R2 Un vecteur algébrique de R2 est un couple (v1; v2). Il est représenté dans le plan cartésien par un vecteur dont l’origine coïncide avec l’origine du système d’axes et dont l’extrémité est le point (v1; v2). Le vecteur algébrique de R2 possède les caractéristiques suivantes : • une longueurappelée module, notée v12 + v22 = et définie par • une directiondéfinie par l’angle a entre la droite support du vecteur et la partie positive de l’axe horizontal, où :  v2 v1 a = arctan • un sensdéfini par l’angle q mesuré dans le sens antihoraire à partir de la direc-tion positive de l’axe horizontal.

6. Égalité u v u v Nous avons défini de nouveaux objets d’études, les vecteurs algébriques. Il nous faut maintenant définir l’égalité de tels objets. DÉFINITION Égalité de vecteurs algébriques dans R2 sont égaux(ou équipol-lents) si et seulement si leurs composantes respectives sont égales. Symboliquement : Deux vecteurs = (u1; u2) et = (v1; v2) Û u1 = v1 et u2 = v2 = On peut maintenant avoir recours à l’égalité pour définir les opérations sur les vecteurs algébriques.

7. Opérations , deux vec-teurs algébriques dans R2. Soit = (u1; u2) et = (v1; v2) Soit = (u1; u2), un vecteur algébrique dans R2 et k un scalaire. v v u u u u S DÉFINITIONS Addition de vecteurs algébriques dans R2 Le vecteur sommeest défini par l’égalité suivante : + = (u1; u2) + (v1; v2) = (u1+ v1; u2+ v2) Multiplication d’un vecteur algébrique par un scalaire dans R2 La multiplication du vecteurpar le scalairek donne le vecteur défini par l’égalité suivante : k = k(u1; u2) = (ku1; ku2)

8. Propriétés des opérations ÎR2, l’ensemble des vecteurs algébriques, et pour tout scalaire p et qÎR, les propriétés suivantes s’appliquent : Pour tout vecteur et 0 0 0 0 + ÎR2 + + = ( + ) + + ( + ) = v u w v v v u u v u, u u u w w v u u u u Il existe, dans R2, un vecteur nul, noté , tel que : + + = = Pour tout vecteur ÎR2, il existe, dans R2, un vecteur opposé, noté – tel que : u u u u + (– ) = (– ) + = 1. Fermeture de l’addition sur l’ensemble des vecteurs 2. Commutativité de l’addition des vecteurs 3. Associativité de l’addition des vecteurs 4. Existence d’un élément neutre pour l’addition des vecteurs 5. Existence d’un élément opposé ( symétrique) pour l’addition des vecteurs  

9. Propriétés des opérations p ÎR2 w u v u v u u u, u u u u u u v p( + ) = p + p (pq) = p (q ) (p + q) = p + q 1 = ÎR2, l’ensemble des vecteurs algébriques, et pour tout scalaire p et qÎR, les propriétés suivantes s’appliquent : Pour tout vecteur et 6. Fermeture de la multiplication par un scalaire sur l’ensemble des vecteurs 7. Distributivité de la multiplication d’un vecteur sur une somme de scalaires   8. Distributivité de la multiplication par un scalaire sur une somme de vecteurs  9. Associativité de la multiplication d’un vecteur avec le produit de scalaires  10. Élément neutre pour la multiplication d’un vecteur par un scalaire

10. Exemple 8.1.2 Représenter graphiquement les vecteurs w = (6; 4) et = (1; –2) Déterminer les composantes, le module et le sens du vecteur : 1 2 + 3 = 1 2 1 2 (6; 4) + 3(1; –2) = (3; 2) + (3; –6) = (6; –4) = + 3 = u v v w u v u w S En effectuant les opérations de multiplication par un scalaire et d’addition des vecteurs, on obtient : Les composantes sont 6 et –4. Le module est : = 62 + (–4)2 = 7,211… ≈ 7,2 –4 6 L’angle a est : a = arctan = –33,69° Puisque le vecteur est dans le quatrième quadrant, on a : q = 360° – 33,69° = 326,31°

11. Exercice w u v w v u w u v S Représenter graphiquement les vecteurs = (2; 3) et = (2; 1) Déterminer les composantes, le module et le sens du vecteur : – 3 = 2 En effectuant les opérations, on obtient : = 2(2; 3) – 3(2; 1) = (4; 6) + (–6; –3) = (–2; 3) – 3 = 2 Les composantes sont –2 et 3. = Le module est : = 3,60555… ≈ 3,61 (–2)2 + 32 3 –2 L’angle a est : a = arctan = –56,31° Puisque le vecteur est dans le deuxième quadrant, on a : q = a + 180° = – 56,31° + 180° = 123,69°

12. Localisation d’un vecteur géométrique OA OA Pour définir un vecteur géométrique de R2, il suffit de donner son origine et son extrémité. Ainsi, le vecteur dont l’origine est le point (5; 3) et l’extrémité le point (–2; 9) est entièrement défini. On remarque que, à chaque vecteur géométrique dont l’origine est au point (0; 0), on associe un vecteur algébrique qui est défini en ne donnant que les coordonnées du point à son extrémité. Ainsi, au vecteur géométrique , on associe le vecteur algébrique = (5; 3). On dit que ce vecteur algébrique est levecteur position du point A.

13. Translation d’un vecteur AX XB AB DÉFINITION Translation d’un vecteur La translation d’un vecteur géométrique libredans un repère est un déplacement qui conserve les caractéristiques du vecteur (module, direction et sens). Tout vecteur géométrique de R2 peut être translaté de telle sorte que son origine coïncide avec l’origine du système d’axes; on peut alors associer un vecteur algébrique au vecteur géométrique translaté. Pour translater un vecteur à l’origine, on peut utiliser la relation de Chasles. Rappelons ce théorème. THÉORÈME Relation de Chasles Pour tout point A, B et X du plan ou de l’espace, l’égalité : + = est vérifiée.

14. Translation d’un vecteur AO OB AB OA OB OA OB OB AB AB OA AB OB AB OA Considérons le vecteur dont l’origine est le point A(a1; a2) et dont l’extrémité est le point B(b1; b2). Considérons de plus le point O(0; 0). Par la relation de Chasles, on peut écrire que : = + D’où : = – + = – Le vecteur géométrique translaté à l’origine est alors : = – En considérant les vecteurs positions = (b1; b2) et = (a1; a2), on a alors : = (b1; b2) – (a1; a2) = (b1 – a1; b2 – a2).   Le vecteur géométrique obtenu est un vecteur dont l’origine est le point O(0; 0) et l’extrémité le point (b1 – a1; b2 – a2). On peut donc lui associer un vecteur algébrique. Nous le noterons : = (b1 – a1; b2 – a2)

15. Composantes d’un vecteur dans R2 Considérons dans un système d’axes un vecteur géométrique dont l’origine est le point A(a1; a2) et l’extrémité le point B(b1; b2). On appelleprojections orthogonalesdu vecteur les vecteurs obtenus en proje-tant le vecteur perpendiculairement sur les axes. ABx AB AB ABy DÉFINITION Composantes d’un vecteur dans R2 La longueur dirigée de la projection horizontale, , est b1 – a1, celle de la projection verticale, , est b2 – a2. Ces longueurs dirigées sont les composantes algébriquesdu vecteur.

16. Exemple 8.1.3 , Trouver les composantes du vecteur où A(5; 3) et B(–2; 9). À l’aide des com-posantes, déterminer les caractéristiques du vecteur. AB AB OB OA AB OB OA OB OA AB S Par la relation de Chasles, on a : = – Puisque = (–2; 9) et = (5; 3), on a : = – = (–2; 9) – (5; 3) = (–7; 6) = (a; b) Les composantes sont –7 et 6. Le module est : = (–7)2 + 62 = 85 = 9,219… ≈ 9,22 6 –7 L’angle a est : a = arctan = –40,6° Puisque le vecteur est dans le deuxième quadrant, on a : q = a + 180° = –40,6° + 180° = 139,4°

17. Exercice , Trouver les composantes du vecteur où A(4; 7) et B(–3; 2). À l’aide des com-posantes, déterminer les caractéristiques du vecteur. AB AB OB OA AB OB OA OB OA AB S Par la relation de Chasles, on a : = – Puisque = (–3; 2) et = (4; 7), on a : = – = (–3; 2) – (4; 7) = (–7; –5) = (a; b) Les composantes sont –7 et –5. Le module est : = 74 = 8,6023… ≈ 8,60 = (–7)2 + (–5)2 –5 –7 L’angle a est : a = arctan = 35,54° Puisque le vecteur est dans le troisième quadrant, on a : q = a + 180° = 35,54° + 180° = 215,54°

18. Vecteur directeur Unvecteur directeur est un vecteur parallèle à un lieu géométrique, à une droite ou à un plan. Nous le noterons D. Définition Vecteur directeur En donnant un point et un vecteur directeur, on détermine complètement une droite. On peut donc en trouver une équation en utilisant cette information.

19. Équations paramétriques d’une droite de R2 Considérons une droite dont on connaît un point R(x1; y1) et un vecteur directeur D = (a; b). OP = OR + RP OP = OR + t D, où t est un nombre réel. Soit un pointP(x; y) de cette droite, alors : , d’où : Cela donne l’équation vectorielle : (x; y) = (x1; y1) + t(a; b) = (x1 + at; y1 + bt) , où t est un nombre réel. L’égalité des vecteurs donne ladescription paramétriquede la droite : x = x1 + at y = y1 + bt , où t est un nombre réel. ∆ : Remarque : Dans une description paramétrique de la droite, les coefficients du paramètre donnent un vecteur directeur de la droite et les constantes donnent un point de la droite.

20. Exemple 8.1.4 Trouver les équations paramétriques, puis une équation cartésienne de la droite passant par le point R(3; 2) et parallèle au vecteur D = (–1; 3). Soit P(x ; y), un point quelconque de R2. Ce point est sur la droite si le vecteur RP est parallèle au vecteur directeur. C’est à dire s’il existe un scalaire t tel que : OP = OR + t D x – 3 –1 y – 2 3 = S S Pour trouver une équation cartésienne à partir des équations paramétriques, il faut éliminer le paramètre. Pour ce faire, isolons t dans chacune des équations. On trouve alors : x – 3 –1 y – 2 3 t = et t = En considérant les vecteurs algébriques dans la base usuelle, on a : D’où : (x; y) = (3; 2) + t (–1; 3) = (3 – t; 2 + 3t) Cela donne : 3x – 9 = –y + 2 Les équations paramétriques sont alors : Et on obtient l’équation cartésienne : x = 3 – t y = 2+ 3 t , où t est un nombre réel. ∆ : 3x + y – 11 = 0

21. Exercice Trouver les équations paramétriques, puis une équation cartésienne de la droite passant par le point R(4; 2) et parallèle au vecteur D = (3; –2). Soit P(x ; y), un point quelconque de R2. Ce point est sur la droite si le vecteur RP est parallèle au vecteur directeur. C’est à dire s’il existe un scalaire t tel que : OP = OR + t D x – 4 3 y – 2 –2 = S S Pour trouver une équation cartésienne à partir des équations paramétriques, il faut éliminer le paramètre. Pour ce faire, isolons t dans chacune des équations. On trouve alors : x – 4 3 y – 2 –2 t = et t = En considérant les vecteurs algébriques dans la base usuelle, on a : D’où : (x; y) = (4; 2) + t (3; –2) = (4 + 3 t; 2 – 2t) Cela donne : –2x + 8 = 3y – 6 Les équations paramétriques sont alors : –2x – 3y + 14 = 0 Et on obtient l’équation cartésienne : En multipliant les deux membres de l’équation par –1, on a : x = 4 + 3t y = 2 – 2t , où t est un nombre réel. ∆ : 2x + 3y – 14 = 0

22. Espace cartésien j k i j k k i j u i j k i u j k i i k j DÉFINITION Espace cartésien L’espace cartésienest un espace de repère orthonormé {O, }. , , Les vecteurs du repère sont orientés comme dans l’illustration ci-contre. Tout vecteur de l’espace peut alors s’écrire sous l’une des formes suivantes : = u1 + u2 + u3 ou = (u1; u2 ; u3). En particulier : = 1 + 0 + 0 = (1; 0; 0) = 0 + 1 + 0 = (0; 1; 0) et = 0 + 0 + 1 = (0; 0; 1)

23. Espace R3 u On désigne par R3 l’espace tridi-mensionnel dans lequel chaque point est caractérisé par trois coordonnées qui forment un triplet. Les axes sont désignés par x, y et z et représentés comme dans l’illustration ci-contre. Pour représenter un triplet dans cet espace, on procède comme dans R2, en reportant perpendiculairement les coordonnées sur les axes. Représentons les triplets (3; –4; 4) et (–4; 3; 4). On peut, tout comme dans R2, considérer un vecteur dont l’origine est un point A et l’extrémité un point B, et déterminer un vecteur algébrique égal dont l’origine est au point (0; 0; 0). Dans R3, un vecteur algébrique est un triplet de la forme : = (u1; u2; u3) Il est caractérisé par les coordonnées du point à son extrémité.

24. Vecteur algébrique dans R3 DÉFINITION Vecteur algébrique dans R3 Un vecteur algébrique de R3 est un triplet (u1; u2; u3), où les com-posantes sont toutes des nombres réels, ce que l’on note ui Î Rpour tout i. Le vecteur algébrique de R3 est représenté par une flèche dont l’origine coïncide avec l’origine du système d’axes et dont l’extrémité est le point (u1; u2 ; u3). Remarque Pour définir la direction, il n’est pas suffisant de préciser l’angle que le vecteur fait avec l’axe des x; il faut donner les angles que le vecteur fait avec chacun des axes.

25. Module d’un vecteur algébrique de R3 u OP2 OR2 OP u S Le module du vecteur est obtenu par une généralisation du théorème de Pythagore. En effet, d’après la figure ci-contre, on a : = +  u32 = (u12 +  u22) +  u32 On a donc : =  u12 +  u22 +  u32 Cela donne le théorème suivant : THÉORÈME Module d’un vecteur algébrique dans R3 Soit , un vecteur algébrique de R3. Son module(ou sa norme) est : = (u1; u2; u3) =  u12 +  u22 +  u32

26. Angles directeurs u u u u Les angles directeursd’un vecteur algébrique de R3 sont les angles notés a (alpha), b (bêta) et g (gamma), que le vecteur fait avec les axes orientés x, y et z respectivement : On a alors : u1 u2 , cosa = cosb = u3 et cosg = où est le module du vecteur. Les cosinus directeurs satisfont donc à la relation suivante : cos2 a + cos2b + cos2 g = 1

27. Égalité de vecteurs algébriques de R3 u v u v La définition de l’égalité sur les vecteurs algébriques de R3 est une simple généralisation de l’égalité dans R2. Il en est de même pour l’addition et la multiplication par un scalaire. Ces opérations ont les mêmes propriétés que les opérations dans R2. DÉFINITION Égalité de vecteurs algébriques dans R3 sont égaux(ou équipollents) si et seulement si leurs composantes respectives sont égales. Symboliquement : Deux vecteurs de R3, = (u1; u2; u3) et = (v1; v2; v3) Û u1 = v1, u2 = v2 et u3 = v3 =

28. Opérations dans R3 u u u v v u S DÉFINITION Addition de vecteurs algébriques dans R3 deux vecteurs algébriques dans R3. Soit = (u1; u2; u3) et = (v1; v2; v3), Le vecteur sommeest défini par l’égalité suivante : + = (u1; u2; u3) + (v1; v2; v3) = (u1+ v1; u2+ v2; u3+ v3) DÉFINITION Multiplication d’un vecteur algébrique par un scalaire dans R3 = (u1; u2; u3) un vecteur algébrique dans R3 et k un scalaire. Soit La multiplication du vecteurpar le scalairek donne le vecteur défini par l’égalité suivante : k = k(u1; u2; u3) = (ku1; ku2; ku3)

29. Vecteurs colinéaires v u Rappelons la définition de vecteurs colinéairesavant de voir un critère algébrique pour déterminer si deux vecteurs de R3 le sont. DÉFINITION Vecteurs colinéaires On dit que des vecteurs sont colinéairessi et seulement si, ramenés à une origine commune, ils ont la même droite support. Deux vecteurs algébriques sont colinéaires si et seulement si il existe un scalaire k tel que : (u1; u2; u3) = k (v1; v2; v3), d’où l’on tire : THÉORÈME Vecteurs colinéaires Deux vecteurs algébriques dans R3, = (u1; u2; u3) et = (v1; v2; v3), sont colinéaires si et seulement si : u1 v1 u2 v2 u3 v3 = = = k

30. Exemple 8.1.6 w w v u u v S S S Soit = (2; –4; 6) et = (–1; 2; 0). a) Déterminer , la somme des vecteurs. b) Calculer le cosinus des angles que le vecteur somme fait avec les axes et vérifier que : cos2 a + cos2b + cos2 g = 1. c) Calculer ces angles. a) + = (2; –4; 6) + (–1; 2; 0) = (1; –2; 6) 12 + (–2)2 + 62 = = 41 b) On trouve : 1 6 –2 et cos a = , cos g = cos b = , 41 41 41 1 41 4 41 36 41 cos2 a + cos2b + cos2 g = 1 Cela donne : –2 + + = 1 a = arccos b = arccos c) = 81,02°, = 108,20° 41 41 –2 et g = arccos = 20,44° 41

31. Exercice w w v u u v S S S Soit = (3; 5; –3) et = (5; 2; 4). a) Déterminer , la somme des vecteurs. b) Calculer le cosinus des angles que le vecteur somme fait avec les axes et vérifier que : cos2 a + cos2b + cos2 g = 1 c) Calculer ces angles. a) + = (3; 5; –3) + (5; 2; 4) = (8; 7; 1) 82 + 72 + 12 = 114 = b) On trouve : 8 1 7 et cos a = , cos g = cos b = , 114 114 114 64 114 49 114 1 114 cos2 a + cos2b + cos2 g = 8 7 Cela donne : + + = 1 a = arccos b = arccos c) = 41,47°, = 49,03° 114 114 1 et g = arccos = 84,63° 114

32. Exemple 8.1.7 AB AB OA OB OA OB AB AB OA OB S Trouver les caractéristiques de , où A(2; –3; 5) et B(–3; 4; 2). Par la relation de Chasles, on a : = – Puisque = (–3; 4; 2) et = (2; –3; 5), = – = (–3; 4; 2)– (2; –3; 5) = (–5; 7; –3) = (a; b; c) 83 ≈ 9,11 Le module est : = = (–5)2 + 72 + (–3)2 –5 –3 7 et cos a = , cos g = cos b = , 83 83 83 –5 7 a = arccos b = arccos = 123,29°, = 39,79° 83 83 –3 et g = arccos = 109,23° 83

33. Exercice AB AB OA OB OA OB AB AB OA OB S Trouver les caractéristiques de , où A(7; –6; 2) et B(–1; 4; 3). Par la relation de Chasles, on a : = – Puisque = (–1; 4; 3) et = (7; –6; 2), = – = (–1; 4; 3) – (7; –6; 2) = (–8; 10; 1) = (a; b; c) 165 ≈ 12,85 Le module est : = = (–8)2 + 102 + 12 –8 1 10 et cos a = , cos g = cos b = , 165 165 165 –8 10 a = arccos b = arccos = 128,52°, = 38,88° 165 165 1 et g = arccos = 85,54° 165

34. Opérations dans Rn u u u v v u S DÉFINITION Addition de vecteurs algébriques dans Rn deux vecteurs algé-briques dans Rn. Soit = (u1; u2; …; un) et = (v1; v2; …; vn), Le vecteur sommeest défini par l’égalité suivante : + = (u1; u2; …; un) + (v1; v2; …; vn) = (u1+ v1; u2+ v2 ; …; un+ vn) DÉFINITION Multiplication d’un vecteur algébrique par un scalaire dans Rn = (u1; u2;…; un) un vecteur algébrique dans Rn et k un scalaire. Soit La multiplication du vecteurpar le scalairek donne le vecteur défini par l’égalité suivante : k = k(u1; u2; …; un) = (ku1; ku2; …; kun)

35. Conclusion Nous avons défini de nouveaux objets d’étude, les vecteurs algébriques. Nous avons déterminé à quelles conditions deux vecteurs algébriques sont égaux et défini deux opérations sur ces vecteurs : l’addition et la multiplication par un scalaire. Nous avons également présenté les propriétés des opérations dont nous nous sommes servies pour manipuler des expressions algébriques comportant des vecteurs. On remarque que les propriétés de ces deux opérations sont les mêmes que celles des opérations d’addition et de multiplication par un scalaire dans l’ensemble des matrices et dans l’ensemble des vecteurs géométriques.

36. Lecture Mathématiques pour la chimie et la biologie,section 8.1, p.221 à 231. Exercices Mathématiques pour la chimie et la biologie,section 8.2, p. 234 et 238.