Functia LogaritMica

1. FunctiaLogaritMica

2. Am ales acestsubiectpentru a incercasafacemmaiusoaraintelegereaacesteifunctii(logaritmice)

3. Definitie: • - fie a>0 ; a≠1 ; • - functiaf:(0;+∞)→R,definitaprinf(x)=logax se numeste functia logaritmica de baza a

4. Proprietatile functiei logaritmice: • Proprietatea I : • Proprietatea II : -daca x=1 → f(1)=log a1=0 → graficulfunctiei logaritmica contine punctul (1;0). -functia logaritmica este monotona,mai exact: 1. daca a>1, functia logaritmica este strict crescatoare; 2. daca 0<a<1, functia logaritmica este strict descrescatoare;

5. Proprietatea III: -monotonia functiei logaritmice este folosita la rezolvarea inecuatiilor,inegalitatilor logaritmice: 1. pentru a>1, avem logax1 < log ax2 ↔ x1 < x2 ; 2. pentru 0<a<1, avem logax1 < log ax2 ↔ x2 > x1 ;

6. Proprietatea IV: • Proprietatea V: -functia logaritmica este: 1. concava,nu tine apa,daca a>1; 2. convexa,tine apa, daca 0<a<1; -pe graficul ei nu exista 3 puncte coliniare. -functia logaritmica este bijectiva,adica injectiva si surjectiva; -din faptul ca functia logaritmica este bijectiva → echivalenta: logax=logay ↔ x=y .

7. Proprietatea VI: -functia logaritmica este inversabila(orice functie bijectiva este inversabila),iar functia inversa este functia exponentiala avand acceasi baza, a ,astfel daca: f:(0;+∞)→ R , f(x)=logax → inversa ei este functia f -1 : R→(0;+∞) , f -1(x)= ax ; -graficele lor sunt simetrice fata de prima bisectoare, dreapta y=x.

8. Graficulfunctieilogaritmice:

9. - fie functia logaritmica f:(0;+∞) → R , f(x)=logax ,a>0 ,a≠1; - din proprietatile functiei logaritmice stim ca graficul functiei logaritmica contine punctul (1;0); -vom trasa graficul functiei logaritmice tinand cont de valorile pe care poate sa le ia baza logaritmului, respectiv a ,si anume : a є (0;1) sau a>1; -astfel in trasareagraficuluifunctieilogaritmiceavemdouacazuri: Cazul 1:a є(0;1) , candbazalogaritmuluiestesubunitara; Cazul 2: a>1, candbazalogaritmuluiestesupraunitara.

10. Cazul 1. bazafunctieilogaritmiceestesubunitara : a є(0;1) -gragiculfunctiei cu bazasubunitara , a є(0;1) ,este format dintr-o singuraramura care coboara convex ,tine apa, intersectandaxa Ox in punctul de coordonate (1;0); -graficul de valori: -din tabelul de maisusobservam ca punctul (1;0) de pegraficdelimiteazagraficulfunctieilogaritmiceastfel: 1. G f estesituatdesupraaxei Ox daca 0<x<1 → f(x)>0 ; 2. G f intesecteazaaxa Ox daca x=1 ,punctul (1;0) є G f → f(1)=0; 3. G f estesituat sub axa Ox daca x>1 → f(x)< 0.

11. -graficul functiei logaritmice cu baza subunitara , • a є(0;1),este in ce in cemaiapropiat de axele de coordinate xOy cu cat bazaestemai mica y G f (1,0) X

12. Cazul 2. bazafunctieilogaritmiceestesupraunitara :a>1 -graficulfunctieilogaritmice cu bazasupraunitara , a>1 , este format dintr-o singuraramura care urcaconcav ,nu tine apa,intersectandaxa Ox in punctele de coordonate (1;0) ; -tabelul de valori : -din tabelul de maisusobservam ca punctul (1;0) de pe graphic delimiteazagraficulfunctieilogaritmiceastfel: 1. G f estesituat sub axa Ox daca 0<x<1 →f(x)< 0; 2.G f intersecteazaaxa Ox daca x=1 ,punctul (1;0) є G f → f(1)=0; 3. G f este situate desupraaxei Ox daca x>1 → f(x)> 0.

13. y G f (1,0) x -in acest caz functia logaritmica este strict crescatoare;

14. Teorema. semnul functiei logaritmice

15. -semnul functiei logaritmice este important in rezolvarea unor inegalitati, inecuatii, precum si in determinarea domeniului de definitie al diferitelor functii. -fie functia logaritmica f:(0;+∞) → R ,f(x)=logax ,a>0,a≠1; -avem urmatoarele cazuri:

16. Bibliografie: • www.wikipedia.org • www.matematica.com.ro • www.referate.ro

17. Echipa de proiect: Andrei Dumea StefaniaJovrea MadalinaSora Florin Cornea Claudia Hirtea FlorinaMihale MadalinCostea

18. Profesorcoordonator: Carmen Lezeu

19. Vamultumimpentruvizionare, speram ca atiinteles. Sfarsit