Spirale logaritmica

1. Spirale logaritmica Di Andrea Giordano Aniello Ferrara Luciano Esposito e Luigi Sanseverino

2. La spirale mirabile, struttura ritrovabile anche nella vita quotidiana, è solo la punta dell’iceberg della matematica che c’è intorno a noi: questi spunti di riflessione sono stati solamente piccole sorprese.

3. Una spirale logaritmica, spirale equiangolare o spirale di crescita è un tipo particolare di spirale che si ritrova spesso in natura. La spirale logaritmica è stata descritta la prima volta da Descartes e successivamente indagata estesamente da JakobBernoulli, che la definì Spira mirabilis, "la spirale meravigliosa", e ne volle una incisa sulla sua lapide. Sfortunatamente venne incisa una spirale archimedea al suo posto.

4. René Descartes (Cartesio) • René Descartes nacque il 31 marzo del 1596 è stato un filosofo e matematico francese. Ritenuto da molti fondatore della filosofia moderna e padre della matematica moderna, è considerato uno dei più grandi e influenti pensatori nella storia dell'umanità.

5. Jakob Bernoulli • Jakob Bernoulli (noto anche come Jacques Bernoulli o Giacomo Bernoulli) (Basilea, 27 dicembre 1654 – Basilea, 16 agosto 1705) è stato un matematico e scienziato svizzero. Jakob Bernoulli seguì la volontà di suo padre cominciando gli studi in teologia, ma nel 1676 incontrò Robert Boyle durante un viaggio in Inghilterra, e si dedicò così alle scienze e alla matematica. Nel 1682 divenne lettore all'Università di Basilea e nel 1687 professore di matematica.

6. La Spirale logaritmica in natura • I falchi si avvicinano alla loro preda secondo una spirale logaritmica: il loro angolo di vista migliore forma un certo angolo con la loro direzione di volo, e questo angolo è l'inclinazione della spirale. • Si possono osservare spirali logaritmiche nella disposizione delle foglie di alcune piante, definita come fillotassi. Un esempio sono alcune piante grasse. • Anche in astronomia si ritrova questo fenomeno, soprattutto nella forma delle galassie a spirale. • Gli insetti si avvicinano a una sorgente di luce seguendo una spirale logaritmica perché sono abituati ad avere la sorgente di luce a un angolo costante rispetto al loro percorso di volo. In genere il sole è l'unica sorgente di luce e volando in questo modo si ottiene un percorso praticamente rettilineo.

7. FRATTALI, PROBLEMI E REALTA’ • Tra i disegni sulla spirale mirabile, spicca la bellissima costruzione “Vortici” del artista e • matematico olandese M. C. Escher (1898 – 1972) (fig. 8): due lossodromie (la curva inversa alla • spirale logaritmica) seguono le spine dorsali dei due pesci.

8. L’UOMO • Per quanto riguarda l’uomo, è significativo assimilare l’orecchio esterno ad una spirale. • nell’apparato uditivo la chiocciola o coclea (dal latino di chiocciola) ha questa forma. Essa è responsabile di percepire le vibrazioni prodotte dalle onde sonore e, tramite alcuni recettori, trasformarle in segnali nervosi (fig. 20).

9. La relazione tra i numeri di Fibonacci e la spirale logaritmica si rivela evidente se si costruisce una serie di quadrati in cui il lato di ognuno di questi è dato dalla somma delle misure dei lati dei due precedenti. Se li disponiamo come in figura e tracciamo un arco di cerchio avente per raggio il lato del quadrato, la figura che si ottiene è una spirale logaritmica.

10. Altrettanto curioso un altro famoso problema matematico, detto dei cani . • Se dei cani posti all’angolo di un cortile quadrato, inseguono alla stessa velocità il cane alla loro destra, quale traiettoria compiono e quale è il loro punto di incontro? • Risposta: i cani percorreranno una spirale logaritmica . Prima di raggiungersi i cani dovranno compiere un numero infiniti di giri attorno al centro della corte.”

11. Questo problema definisce la spirale logaritmica come curva di inseguimento e di fuga, caratteristica per la quale la curva è studiata per l’analisi delle traiettorie dei missili a ricerca termica. Il problema può essere generalizzato: • n cani partono dai vertici di un poligono di n lati, ogni cane si dirige verso il compagno più vicino in senso antiorario ed a velocità costante

12. Nella vita quotidiana si incontrano moltissime spirali, ovviamente non tutte “meravigliose”, tuttavia è curioso notare che l’uomo utilizza spesso la forma logaritmica

14. La spirale ‘meravigliosa’ nelle Scienze • La natura ama le spirali logaritmiche: dai girasoli alle conchiglie, dai vortici agli uragani alle immense spirali galattiche, sembra che la natura abbia scelto quest’armoniosa figura come proprio ornamento favorito.” Mario Livio

15. Leonardo Fibonacci • Assieme al padre Guglielmo dei Bonacci (Fibonacci sta infatti per filius Bonacci), facoltoso mercante pisano e rappresentante dei mercanti della Repubblica di Pisa , passò alcuni anni in Algeria, dove studiò i procedimenti aritmetici che studiosi musulmani stavano diffondendo nelle varie regioni del mondo islamico. Qui ebbe anche precoci contatti con il mondo dei mercanti e apprese tecniche matematiche sconosciute in Occidente. Alcuni di tali procedimenti erano stati introdotti per la prima volta dagli Indiani, portatori di una cultura molto diversa da quella mediterranea. Proprio per perfezionare queste conoscenze, Fibonacci viaggiò molto, arrivando fino a Costantinopoli, alternando il commercio con gli studi matematici. Una sequenza famosa: i numeri di Fibonaccii quali sono noti soprattutto per la sequenza di numeri da lui individuata e conosciuta, appunto, come successione di Fibonacci: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 ...in cui ogni termine, a parte i primi due, è la somma dei due che lo precedono. Sembra che questa sequenza sia presente in diverse forme naturali (per esempio, negli sviluppi delle spirali delle conchiglie, ecc.).Una particolarità di questa sequenza è che il rapporto tra due termini successivi diminuisce progressivamente per poi tendere molto rapidamente al numero 1,61803..., noto col nome di rapporto aureo o sezione aurea.

16. La particolarità tra questi numeri è che il rapporto tra due termini successivi si avvicina molto rapidamente al numero decimale 0,618:1:2=0,5002:3=0,6673:5=0,65:8=0,6258:13 = 0,615...34:55=0,618

17. Dato un segmento (AC), si ottiene una sezione aurea quando il tratto più corto (BC) sta al tratto più lungo (AB) come il tratto più lungo (AB) sta al segmento intero (AC). In sintesi la proporzione è così espressa:  BC: AB=AB: AC Il numero irrazionale, numero aureo  , di cui 0,618 è una approssimazione, è noto con il nome di numero Aureo, e viene definito come il rapporto della sezione aurea SEGMENTO AUREO La sezione aurea è la divisione di un segmento in modo che l’elemento più corto sta al più lungo come il più lungo sta all’intero segmento; tale ragionamento produce il numero irrazionale 0,618 detto rapporto aureo, il cui inverso è 1.61803

18. Costruzione della sezione aurea di un segmento. Dato il segmento AB, si conduca per l’estremo B la perpendicolare ad AB, si stacchi sulla perpendicolare un segmento OB = (AB/2). Centro in O e raggio OB si descriva una circonferenza , si tracci da A una secante che passi per il centro O e intersechi la circonferenza nei punti C e D. Centro in A e raggio AC si descriva un arco che intersechi AB in E. Il segmento AE è la sezione aurea del segmento AB .

19. Lo stesso procedimento è possibile farlo per il triangolo aureo “se si sottrae da un triangolo aureo uno gnomone aureo, cioè un triangolo isoscele coi lati uguali alla sezione aurea del lato maggiore del triangolo si partenza, si ottiene un triangolo aureo” .

20. Rettangolo aureo • Per costruire il rettangolo aureo si disegna un quadrato di lato i cui vertici chiameremo, a partire dal vertice in alto a sinistra e procedendo in senso orario, AEFD. Quindi dividere il segmento AE/DF in due chiamando il punto medio A'. Utilizzando il compasso e puntando in A' disegnare un arco che da E intersechi il prolungamento del segmento DF che chiameremo C. Con una squadra disegnare il segmento CB perpendicolare a DF, ed il segmento EB, perpendicolare a EF. • Il rettangolo ABCD è un rettangolo aureo nel quale il lato AB è diviso dal punto E esattamente nella sezione aurea: AE:EB=AB:AE

21. La proporzione aurea fu molto utilizzata dagli antichi Greci come rapporto armonico nelle costruzioni architettoniche, le ritroviamo nelle piramide egizie e nel Partenone nell'Acropoli Ateniese, e nelle rappresentazioni scultoree. Il rapporto aureo fu largamente ripreso anche nel Rinascimento: le dimensioni della Monnalisa, di Leonardo da Vinci, sono in rapporto aureo. E ancora fino ai giorni nostri, nell'architettura moderna: il Palazzo di Vetro delle Nazione Unite ha proporzioni auree. La sequenza di Fibonacci è abbondantemente rappresentata anche in musica, ad esempio nelle sonate di Mozart, nella Quinta Sinfonia di Beethoven, nella Sonata in la D 959 di Schubert;

22. Il palazzo dell’ ONU • L'edificio più noto del complesso è il cosiddetto Palazzo di Vetro in cui ha sede il Segretariato delle Nazioni Unite. Quanto alla facciata del Palazzo di Vetro, ovvero la sede centrale delle Nazioni Unite, che diverse fonti portano come ulteriore esempio, questa volta moderno, di applicazione della sezione aurea in architettura, è facile arrivare ad una conclusione negativa. Il palazzo è infatti alto 154 m. e largo 87,5m[6], quindi il rapporto fra le due dimensioni della facciata è 1,76: un rapporto che solo molto grossolanamente può essere considerato vicino a phi e certo non permettere di annoverare tale edificio fra quelli basati sul rettangolo aureo.

23. Partenone

24. Il rapporto aureo fu largamente ripreso anche nel Rinascimento: le dimensioni della Monnalisa, di Leonardo da Vinci, sono in rapporto aureo.