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Quelques algorithmes sur calculatrices. Dichotomie en seconde.
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Le problème.Il s’agit de résoudre numériquement x3 = 2 par dichotomie à l’aide de la calculatrice.Après avoir constaté que x x3 est strictement croissante sur [1;1,5] et que la solution a de l’équation est dans l’intervalle [1;1,5], il s’agit de trouver un intervalle de longueur 10-6 contenant a. Dichotomie en seconde Algorithme.Variables: a, b: bornes des intervalles successifs c: centre de [a;b] e: longueur de l’encadrement demandé Début algorithme 1 a ; 1.5 b ; 10-6 e ; Répéter tant que b – a > e (a+b)/2 c si c3 > 2 Alors c b Sinon c a Fin de répéter Afficher a et bFin algorithme
1) Choisir le menu Programme (PRGM), créer un nouveau programme par NEW et donner un nom DICHO (et valider) • 1 a ; 1.5 b ; 10-6 e ; Répéter tant que b – a > e (a+b)/2 c si c3 > 2 • Alors c b Sinon c a Fin de répéter Afficher a et b Dichotomie en seconde sur calculatrice Casio 2) Taper le programme ci-contre.On trouve les commandes:While, If, Then, Else, IfEnd, WhileEnd dans shift-PRGM/COM dans shift-PRGM. >, = dans shift-PRGM/REL 3) Lancer le programme :Exit/DICHO/EXE
1) Choisir PRGM, créer un nouveau programme par NEW et donner un nom DICHO (et valider) • 1 a ; 1.5 b ; 10-6 e ; Répéter tant que b – a > e (a+b)/2 c si c3 > 2 • Alors c b Sinon c a Fin de répéter Afficher a et b Dichotomie en seconde sur calculatrice Texas 2) Taper le programme ci-contre.On trouve les commandes:While, If, Then, Else, End dans PRGM/CTL<, >, = dans shift-TESTDISP dans PRGM / I/O 3) Lancer le programme: Quit/PRGM/DICHO/EXE
Le problème.Il s’agit d’évaluer l’aire « sous la courbe » de la fonction x x2 par la méthode de Monte-Carlo: On prend N points au hasard dans ]0;1[²; P est le nombre de points qui se situent sous la courbe. P/N est une valeur approchée de l’aire sous la courbe à 1/N près (risque d’erreur de 5%). Algorithme. Variables: K : compteur de boucleN: Nombre total de points P: Nombre de points sous la courbeX,Y: coordonnées du point courantDébut Lire N 0P K variant de 1 à N (par pas de 1) nb aléatoire dans ]0;1[ X nb aléatoire dans ]0;1[ Y Si Y < X² alors P+1 P Fin de boucle afficher P/NFin algorithme Monte-Carlo en seconde
Calcul d’une approximation de « l’aire sous la courbe » {M(x,y)/0<x<1, 0<y<x²} par Monte-Carlo. • Lire N 0P • K variant de 1 à N (par pas de 1) nb aléatoire dans ]0;1[ X nb aléatoire dans ]0;1[ Y Si Y < X² alors P+1 P Fin de boucle afficher P/N Monte-Carlo en seconde
ASPECT GRAPHIQUE XMIN, XMAX … dans VARS/WINDOWY1 dans Y-VARS/FonctionPt-on, Line … dans DRAW/POINT et DRAW/DRAWPour effacer l’écran graphique: CLEARDRAW dans DRAWDISPGRAPH dans PRGM/ IO Monte-Carlo en seconde
Problème:La vitesse de croissance des plantes suit souvent le modèle de Verhulst : Si on pose f(t) = hauteur de la plante en mètre et t en jours, la vitesse de croissance le jour a est f ’ (a). Dans ces conditions, on a f ’(a) = k*f(a)*(M-f(a)) où k est un coefficient lié à la plante et M est la taille maximum de la plante.On suppose ici que f(0) = 0,1 (10 cm), M=1 et k=0,6.Il s’agit donc de trouver la fonction f sur [1;10] qui vérifie f ’(a)=0,6*f(a)*(1-f(a)) avec f(0) = 0,1. Euler en 1ère S La méthode d’Euler: Méthode d’Euler avec un pas de 1.On construit une suite de points Ai, i variant de 0 à 10, de la façon suivante: xi = i/10 et yi+1 = yi + pas* y’i avec y’i =k* yi *(M- yi) , k=0,6 et M=1 et y0 = 0,1.
xi = i/10 et yi+1 = yi + pas* y’i avec y’i =k* yi *(M- yi) , k=0,6 et M=1 et y0 = 0,1. Algorithme. Variables: D: pas de la méthodeK, M: les constantesX,Y: coordonnées du point courantZ: nb dérivéDébut 0X, 0.1 Y, 1 D, 0.6 K, 1 M Répéter tant que X < 10 K*Y*(M-Y) Z Y+D*Z Y , X+DX afficher X,Y Fin de RépeterFin algorithme Euler en 1ère S
ASPECTS GRAPHIQUES XMIN, XMAX … dans VARS/WINDOWPt-on, Line … dans DRAW/POINT et DRAW/DRAWPour effacer l’écran graphique: CLEARDRAW dans DRAW Euler en 1ère S
