Entwicklung verständnisorientierter Mathematikaufgaben für die Kursstufe auf der Grundlage

1. Entwicklung verständnisorientierter Mathematikaufgaben für die Kursstufe auf der Grundlage des Bildungsplans BW H. Buck, 2012

2. Programm Orientierungsrahmen und Folgerung Ideen aus dem Bildungsplan:Kompetenzen - Schülertätigkeiten - Aufgaben Beispiele .

3. Ziele Aufgaben • … kritisch sichten und bewerten • … sorgfältig auswählenim Hinblick auf:Entwicklung von math. Verständnis • ... selbst entwickeln

4. Schwerpunkte Beschreibung der Aufgaben • Umfang: Bewusst kleine Aufgabenstellungen • Gestaltung: Schülertätigkeiten stehen im VordergrundWerden aus den zentralen Kompetenzen des Bildungsplans ableitet  Analyse der Aufgaben • Schülertätigkeit – Erwartete Kompetenzen • Darstellung der Aufgabe – Erwartete Darstellung der Lösung

5. Orientierungsrahmen Bildungsplan • legt die Ziele des MU fest • beschreibt die Ziele durch Kompetenzen • besteht aus inhaltsbezogenen Kompetenzen und aus prozessbezogenen Kompetenzen Kompetenzen bestehen aus Fähigkeiten, Fertigkeiten, Kenntnissen und Einstellungen

6. Schülerinnen und Schüler Kenntnisse und Fertigkeiten • kann man abfragen • bestehen aus Wissen und Verfahren Fähigkeiten und Einstellungen • kann man nicht abfragen • entwickeln / zeigen sich im Umgang mit Inhalten Folgerung Um Fähigkeiten und Einstellungen zur fördern, muss man zum Handeln anregen / auffordern!

7. Ideen aus dem Bildungsplan • „Begründen“ • Strukturen erkennen, ... • Vermutungen entwickeln, .... • Begründungstypen kennen, ... • „Kommunizieren“ • Überlegungen darstellen • Mathematikspezifische Beschreibungen verwenden • Auf Einwände dialogisch eingehen, argumentieren... „Problemlösen“ • Lösungen reflektieren, bewerten, • Hilfsmittel nutzen • Probleme beschreiben • Problemlösetechniken, Heurismen kennen, anwenden, … Sprache, Bilder, Symbole, Fachsprache verwenden

8. Mögliche Schülertätigkeiten 1.Begriffe erläutern 2. Situationen und Verfahrenbeschreiben, auch darstellen 3. Systematisieren (Struktur beschr., verallg., spezialisieren) 4. Begründen/argumentieren/widerlegen 5. Lösungen reflektieren/bewerten 6. Hilfsmittel nutzen 7. Heuristisch arbeiten Kommunizieren Begründen Problemlösen

9. Begriffe erläutern Wesentliche Begriffe der Kursstufe a) AnalysisDifferenzenquotient, Änderungsrate, Gesamtänderung einer Größe, rekonstruierter Bestand, 1. Ableitung, 2. Ableitung, Ableitungsfunktion, Integral, Stammfunktion, Integralfunktion, Mittelwert, Rauminhalt, Amplitude, Periode, Grenzwert, Monotonie, Verkettung, Krümmungsverhalten, … b) Analytische GeometrieVektor, Skalarprodukt, Parametergleichung der Geraden, Parametergleichung/Normalengleichung der Ebene, Winkel, Linearkombination, ... c) StochastikWahrscheinlichkeitsverteilung, Wahrscheinlichkeitsdichte, stetige Verteilung, Erwartungswert, Ablehnungsbereich, Annahmebereich, normalverteilte Zufallsvariable, Fehler 1. Art, ...

10. Beispiel „Integral“ Beispiel „Integral“ Situation: Die Definition des Integral wurde exemplarisch erarbeitet, z. B. Quelle: Buck, H. et. al. LS Analysis, Grundkurs, Gesamtband, Ausgabe A. Seite 130. Ernst Klett Verlag GmbH. Stuttgart 2001

11. Kenntnis Wie ist das Integral definiert?

12. Verständnis Definition wird vorgelegt:Erläutern Sie denSummanden h∙f(x1) geometrischanhand des Graphen. Vergleichen Sie verschiedene Summanden und ihren Beitrag zur Zerlegungssumme in Worten.Welche Bedeutung hat die Grenzwertbildung? Geschlossen Oder: Erläutern Sie die Zerlegungssumme anhand des Graphen. Welche Bedeutung hat die Grenzwertbildung? Offen Darstellungswechsel: Geometrisch - In eigenen Worten

13. Verständnis Geschlossen Oder: Erläutern Sie den Integralbegriff anhand eines selbstgewählten Anwendungsbeispiels. Offen Deutung im Anwendungsbezug

14. Verständnis Abgrenzen

15. Verständnis „Mit dem Integral berechnet man die Fläche unter der Kurve.“ Nehmen Sie Stellung zu dieser Aussage. Fehlvorstellungen aufgreifen

16. Begriffe erläutern-Mögliche Aufgabenstellungen- • Darstellungswechsel vornehmen: Deuten Sie geometrisch.Beschreiben Sie in eigenen Worten, mithilfe von Skizzen. • Deutung im Anwendungsbezug:Nennen Sie ein Anwendungsbeispiel im Zusammenhang mit … Umkehrung: Deuten Sie das „Anwendungsbeispiel“ als … . • Mit Beispielen arbeiten:Geben Sie jeweils ein Beispiel und ein Gegenbeispiel an. • Fehlvorstellungen aufgreifen:Vorgabe verschiedener Darstellungen: Welche Darstellung beschreibt den Begriff, welche nicht?Verbessern/ergänzen Sie so, dass der Begriff richtig beschrieben wird. • Abgrenzen zu anderen Begriffen

17. Analyse einer Aufgabe Im Blick Schülertätigkeiten Was soll der Schüler tun? Kompetenzen Welche Kompetenzen werden gefördert? Aufgabenstellung In welcher Form ist die Aufgabe formuliert? Darstellung der Lösung In welcher Form kann/soll der Schüler antworten?

18. Analyse: Beispiel Aufgabenstellung Bildlich, formal Darstellung der Lösung Bildlich, verbal • Kompetenzen • Begriffe verstehen • Sachverhalte beschreiben • Darstellungsform wechseln

19. Lösungen reflektieren/bewerten „Das ist doch keine anspruchsvolle Aufgabenstellung! Da steht ja schon die ganze Lösung da!“

20. Die ursprüngliche Aufgabe

21. 1. Variante: Vollständige Lösung vorgegeben • Kompetenzen • Lösungsidee erfassen und reflektieren • Formale Rechnung in Worten beschreiben und skizzieren • Im Kontext argumentieren

22. 2. Variante: Lösungsansatz vorgegeben • Kompetenzen • Lösungsidee erfassen • Geometrische Beschreibung formalisieren

23. 3. Variante: Verschiedene Lösungen vorgegeben • Kompetenzen • Lösungen erfassen, reflektieren und vergleichen • Lösungsideen bewerten

24. Lösungen reflektieren/bewertenVerständnis fördern • Zentrale Lösungsidee erfassen • Lösung strukturieren • Lösungsschritte begründen • Lösungsidee anhand einer Skizze veranschaulichen • Lösungsidee in Worten beschreiben • Verschiedene Lösungswege vergleichen • Vorgehen bewerten (z.B. im Hinblick auf Allgemeingültigkeit, Genauigkeit, Eleganz, Anschaulichkeit, …) • ...

25. Situationen und Vorgehensweisen beschreiben/darstellen „Beschreiben: Dazu muss man doch einfach alles auswendig lernen und aufschreiben!“ „Beschreiben: Das gehört in den Deutschunterricht.“

26. WachstumGegeben ist die Funktion g mit g(x) = S – c e(-kx).Beschreiben Sie die Bedeutung der auftretenden Parameter im Zusammenhang mit Wachstumsprozessen. Eine Tätigkeit - Viele Facetten Elfmeter Ein Fußballspieler schießt beim Elfmetertraining 10 Mal auf das Tor. Wie groß muss seine Trefferwahrscheinlichkeit p sein, damit er bei diesem Training mit einer Wahrscheinlichkeit von 80% mindestens 6 Mal trifft?Beschreiben Sie, wie man p ermitteln kann. Gerade-DreieckeDie Gerade g geht durch die Punkte P und Q. Beschreiben Sie: Wo liegen alle Punkte Y, für die das Dreieck PQY gleichschenklig ist mit der Basis PQ?

27. Mehr aus auswendig lernen! • Kenntnisse als Voraussetzung, • um Verständnis zu entwickeln / zeigen: • Situation im Gesamtzusammenhang sehen, beschreiben, abgrenzen • Graphisch oder verbal darstellen • Beispiele/ Gegenbeispiele nennen • Dynamisch denken • Parameter / Voraussetzungen variieren • Verfahren zielgerecht auswählen • ...

28. Hilfsmittel nutzen „GTR und Formelsammlung: Die Schüler verlernen doch das Denken!“

29. Ein Blick in die Formelsammlung Aufgabenstellung Formal Darstellung der Lösung Formal, verbal • Kompetenzen • Text erfassen und reflektieren • Formel sachgerecht anwenden • Im Kontext argumentieren Quelle: Dorn, H.-J. et. al. Formelsammlung Mathematik, Gymnasium. Seite 74. Ernst Klett Schulbuchverlage, Stuttgart . Leipzig. 2005

30. Was ich noch sagen wollte: Verständnisaufgaben sind hervorragend für Binnendifferenzierung geeignet!

31. Zu finden ... ...auf dem Lehrerinnen Fortbildungs Server der Landesakademie für Fortbildung und Personalentwicklung Stichwort: Kompetenzorientierter Unterricht http://lehrerfortbildung-bw.de/allgschulen/gy/kompsta/

32. DANKE! DANKE An dieser Stelle möchte ich mich ganz herzlich für die jahrelange, spannende und begeisterte Zusammenarbeit mit meinen Kollegen Prof. Dieter Koller, Karlsruhe Prof. Rolf Reimer, Karlsruhe, SD Michael Flaig, Karlsruhe, SD Wolfgang Staib, Rottweil, Prof. Bernd Hatz, Eßlingen, Prof. Rolf Dürr, Tübingen bedanken, denen ich eine Menge von Anregungen zu verdanken habe, die u.a. auch in diesen Beitrag mit eingeflossen sind!

33. Fazit Youcan‘tcommandthewinds, but youcansetthesails!