Cálculo de Predicados

1. Cálculo de Predicados Fundamentos Inteligencia Artificial Luis Villaseñor Pineda

2. Algunas características deseables • Verificabilidad • La representación debe permitirnos determinar el valor de verdad de lo representado • Evitar la ambigüedad • No hay manera de encontrar una interpretación alterna • Cuidado: la vaguedad no es ambigüedad • Quiero comer comida china • Forma canónica • Nos ayude a evitar expresar el mismo contenido de diferentes maneras

3. Representando el conocimiento • El lenguaje es el instrumento ideal pero su uso es imposible (?) por medios automáticos • Estudiaremos otra representación y buscaremos los medios para ir del conocimiento “real” a esta nueva representación • Dado que el conocimiento “real” es fácilmente expresado por el lenguaje ¿porqué no retomar las nociones de su estructura ? • Así que esta transformación la veremos como una traducción del contenido del lenguaje (su contenido semántico) a otra representación

4. Llevando del lenguaje a CP • Básicamente nos apoyaremos en la estructura Predicado-Argumento • Capturan las relaciones de los conceptos subyacentes de los constituyentes de una oración • Se dice algo de alguien • Ejemplos de esta estructura • Oración declarativa • Determinadores • Preposiciones

5. Ejercicio • restringe verbo sus un argumentos

6. Ejercicio • restringe verbo sus un argumentos • ¿Cuáles son los argumentos? • ¿Cuál es la relación existente entre ellos?

7. Ejercicio • restringe verbo sus un argumentos • ¿Cuáles son los argumentos? • ¿Cuál es la relación existente entre ellos? • Sin embargo, no se trata de una transferencia directa es sólo una sugerencia • depende de nuestro objetivo final

8. Cálculo de Predicados • Cálculo de predicados de primer orden • Flexible • Bien entendido • Computacionalmente tratable • Satisface muchos de los requerimientos que vimos • Su principal atractivo: facilidad de representar el mundo • El mundo consiste de objetos, propiedades de los objetos y relaciones entre objetos

9. Fundamentos • Término: el elemento más básico • Constantes – los objetos de nuestro dominio • Cachivache • Predicados – las relaciones o propiedades de los objetos • quiere(Luis, Cachivache) • Funciones – mapean de objetos a objetos • casa-de(Luis) • Variables • Predicados • Fórmula Atómica: predicados simples • Fórmula: predicados o predicados complejos

10. Términos • Constantes: objetos específicos del mundo (letras mayúsculas o palabras en mayúsculas) • El mismo concepto que en un lenguaje de programación • Pedro - Puebla • Funciones: conceptos expresados por su descripción • Convenientes para cuando tenemos muchos objetos nombrados y todos ellos con un concepto asociado común • La casa de Pedro - LaCasaDe(Pedro) • CUIDADO: tienen la apariencia de predicados pero son Términos se refieren a objetos únicos

11. Términos • Variables: mecanismo para referirse a objetos del mundo (usaremos las letras minúsculas) • Con ellas podemos realizar afirmaciones y realizar inferencias sobre objetos sin tener una referencia a un objeto en particular

12. Predicados • Es el mecanismo para establecer relaciones entre objetos • Son símbolos que se refieren a relaciones que se presentan sobre un número fijo de objetos en un dominio dado. • Tengo cinco pesos • O propiedades de un objeto • La luna es un satélite

13. Antes de seguir recordemos • Un predicado siempre tiene un valor de verdad • ¿Estas expresiones tienen un valor de verdad? • La casa de Manuel • La casa de Manuel está hasta el quito infierno • El perro de mi amigo • La Zanahoria es un restaurante vegetariano • La Zanahoria es un buen restaurante vegetariano

14. Más ejemplos • Este lugar es un paraíso • Todos los perros me muerden • Está lloviendo a cántaros en Puebla • Mañana lloverá a cántaros en Puebla

15. Ejemplos ¿? • quiere(Luis, mascota-de(Luis)) • quiere(Luis, mascota-de(Luis)) Y quiere(Luis, auto-de(Pedro)) quiere((Luis, mascota-de(Luis) Y auto-de(Aurelio))

16. Regresando • Los predicados se pueden asociar a través de conectores lógicos y calificar sus términos a través de cuantificadores • Un predicado sin conectores ni cuantificadores es llamado fórmula atómica

17. Semántica de FOPC • ¿Cómo determinamos el valor de verdad de una fórmula lógica? • Consideremos un enfoque de “base de datos” para determinar el valor de verdad • Las fórmulas atómicas serán consideradas verdaderas si éstas están presentes en la base de conocimiento o pueden inferirse de otras fórmulas que están presentes en la base de conocimientos • Las interpretaciones de las fórmulas con conectores se basan en el significado de sus componentes y el significado de los conectores.

18. Variables y cuantificadores • Variables nos sirven para: • Referirse particularmente a un objeto anónimo • Referirse genéricamente a todos los objetos en la colección • Cuantificadores • Existencial – debe haber al menos una substitución que resulte en una interpretación verdadera • Universal – debe ser verdadera bajo cualquier substitución posible

19. Ejemplos • Todo restaurante vegetariano sirve comida vegetariana • x RestauranteVegetariano(x)  Sirve(x,ComidaVegetariana) • La Zanahoria es un restaurante vegetariano • RestauranteVegetariano(Zanahoria)

20. Ejemplos ¿? • En que difieren estos dos ejemplos: • x Restaurante(x)  Sirve(x,ComidaVegetariana) • x Restaurante(x)  Sirve(x,ComidaVegetariana) f. (gato(f)  gusta(Luis, f) ) • Cuidado: • gusta( Luis, f.gato(f) )

21. Inferencia • Conjunto de reglas que nos permiten llegar a concluir el valor de verdad de un predicado en función de otros • Regla modus ponens

22. Ejemplo • Dado estos axiomas • Concluir:

23. Ejemplo

24. Forward chaining • Cada vez que agregamos un predicado a nuestra base de conocimientos, usamos modus ponens para disparar todas las reglas asociadas. • Al disparar las reglas el nuevo conocimiento generado es añadido a nuestra base de conocimientos • Este proceso continua de forma exhaustiva • Siempre contamos con todo el conocimiento derivado

25. Backward chaining • Funciona a la inversa, en este caso tenemos un query que deseamos probar • Primero revisamos si se encuentra en la base de conocimientos • Si no es el caso, buscamos por reglas de implicación presentes en la base de conocimientos que involucren el query como consecuente • Probaremos el consecuente si podemos probar el antecedente

26. Demostración • Lo que acabamos de hacer es una demostración • A partir de un conjunto de premisas concluimos un nuevo predicado con ayuda de una regla de inferencia

27. Fórmula bien formadas Objetos (A) Variables (x) Términos Predicados (Vuela) Formulas atómicas (Vuela (x)) Formulas atómicas Negación () Literales Conectivos (,,,) Cuantificadores (,) Formulas bien formadas x(Vuela(x)  Pájaro(x))

28. Demostración • Una secuencia de FBFs {w1,w2,…,wn} se denomina demostración de wn a partir de un conjunto de premisas (FBFs) sii cada wi de la secuencia pertenece a las premisas, o puede ser inferida utilizando las reglas de inferencia.

29. Reglas de inferencia

30. Reglas de inferencia (de remplazo)

31. Resolución • En particular es de interés para IA una regla de inferencia llamada Resolución Dado que B no puede ser tanto verdadera como falsa, el valor de verdad recae sobre las otras premisas • o podemos verla como la transitividad de la implicación

32. La regla de Resolución • De forma más general tenemos • Donde dj = ai

33. Usando resolución

34. Para utilizar resolución • Es necesario dejar las formulas en una forma normal • O en un forma más estricta, una cláusula de Horn

35. Ejemplo Si la casa de Juan es grande entonces es mucho trabajo mantenerla, a menos que tenga servicio de limpieza y no tenga jardín. grande(H) y casa(H,J)  muchotrabajo(H) o ( servico(H,A) y no( jardín(H)) ) no( grande(H) y casa (H,J)) o muchostrabajo(H) o (servicio(H,A) y no( jardín(H)) no (grande(H)) o no(casa(H,J)) o muchostrabajo(H) o (servicio(H,A) y no( jardín(H)) [no (grande(H)) o no(casa(H,J)) o muchostrabajo(H) o (servicio(H,A) ] y [no (grande(H)) o no(casa(H,J)) o muchostrabajo(H) o no( jardín(H)) ] [no (grande(H)) o no(casa(H,J)) o muchostrabajo(H) o (servicio(H,A) ] [no (grande(H)) o no(casa(H,J)) o muchostrabajo(H) o no( jardín(H)) ] no ( grande(H) y casa(H,J) ) o muchostrabajo(H) o (servicio(H,A) no( (grande(H) y casa(H,J) y jardín(H) ) o muchostrabajo(H) grande(H) y casa(H,J)  (muchostrabajo(H) o servicio(H,A)) grande(H) y casa(H,J) y jardín(H)  muchostrabajo(H)

36. Unificación • ¿Qué hacer con las variables? • Necesitamos un mecanismo de substitución, • si tenemos variables debemos tener un modo de asociarlas a individuos • Para ello tendremos una lista de ataduras • Una lista de ataduras es un conjunto de entradas s de la forma v=e donde v es una variable y e es un objeto en nuestro dominio. • Mascota(X, luis) | s == Mascota(barril, luis) donde s ={X=barril}

37. Unificación • Dadas dos expresiones p y q, un unificador de p y q es una lista de ataduras s tal que p|s = q|s • P(X,c) - Q(z,V) ¿Cuál es su unificador? • Si s1 y s2 son dos listas de ataduras, s1 es más general que s2 si para cada expresión p, p|s2 es una instancia de p|s1 • f(X) s2={X=2} s1={X=Y} • f(X) s1={X=f(G)} s2={X=f(2)} • c(H,X) s1={H=3, X=f(G)} s2={X=f(2)} • La unificación es el proceso de búsqueda del unificador más general para p y q.

38. Para calcular el mgu “most general unifier” para dos expresiones p y q: • Si p o q son ya sea un objeto constante o una variable, entonces: • Si p=q, p y qunifican y podemos regresar {}. • Si alguna de las dos, p o q es una variable, regresamos el resultado de atar esa variable a la otra expresión. • Si p es diferente de q, p y q no unifican, regresamos fracaso. • Si ni p ni q son objetos constantes o variables, entonces deben estar compuestos de expresiones de algún tipo –conjunciones, disyunciones, expresiones relacionales o funcionales. En ese caso, el tipo de la expresión debe ser el mismo y deben ser de la misma aridad, en caso contrario regresar fracaso. Para cada argumento p1...pn y q1...qn, • Sea s={} • Invoque el algoritmo recursivamente para encontrar el mgu de pi|s y qi|s. Añada las nuevas ataduras a s añadiendo el nuevo mgu calculado a s, repita para cada argumento i. Si fallamos al unificar pi|s y qi|s fracaso.

39. Ejemplos • Dé el mgu para p y q • p == X q == juan • p ==X q == casa_de(Juan) • p == gusta(X,chocolate) q == gusta(pepe, Y) • p == f(x,y) q == f(y,a)

40. Resolución c/unificación • Donde ai y dj unifican con el mgu

41. Resolución con Unificación

42. Para la forma normal con variables