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Lógica de Predicados

INTELIGENCIA ARTIFICIAL. Lógica de Predicados. Ing. Samuel Oporto Díaz (Msc). Mapa Conceptual del Curso. Tabla de Contenido. Lógica de Predicados . Sintaxis Fórmulas Bien Configuradas Semántica . Bibliografía. Objetivos. Presentar los conceptos básicos de la lógica de predicados.

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Lógica de Predicados

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Presentation Transcript

  1. INTELIGENCIA ARTIFICIAL Lógica de Predicados Ing. Samuel Oporto Díaz (Msc)

  2. Mapa Conceptual del Curso

  3. Tabla de Contenido • Lógica de Predicados. • Sintaxis • Fórmulas Bien Configuradas • Semántica. • Bibliografía

  4. Objetivos • Presentar los conceptos básicos de la lógica de predicados. • Presentar una lógica suficiente para construir agentes basados en el conocimiento.

  5. LOGICA DE PREDICADOSLógica de Primer Orden

  6. Lógica de Predicados • Lógica de primer orden. • Es una lógica con suficiente expresividad para representar nuestro sentido común. • La lógica de predicados tiene alcances ontológicos más amplios. • Considera el mundo constituido por objetos y propiedades que los distingan, a diferencia de la lógica proposicional que sólo permite representar hechos.

  7. Lógica de Predicados • Está basada en la idea de que las sentencias realmente expresan relaciones entre objetos, así como también cualidades y atributos de tales objetos. • Los objetos pueden ser personas, objetos físicos, o conceptos. • Las cualidades, relaciones o atributos, se denominan predicados. Los objetos se conocen como argumentos o términos del predicado. • Al igual que las proposiciones, los predicados tienen un valor de veracidad, pero a diferencia de las preposiciones, su valor de veracidad, depende de sus términos. Un predicado puede ser verdadero para un conjunto de términos, pero falso para otro.

  8. Ejercicio 1 Para las siguientes oraciones indique donde existe una relación y donde un atributo. • Aijo vive en la misma casa que Chucho. • Tuka y Pika vuelvan. • Yaku y Amarú vuelan juntos. • A + B • A + B = C • f(A) • f(A) = φ, f(B) = Φ y f(C) = Ω • Ana 17 años, Erika 19 años, Julia 18 años • Ana, Erika y Julia van a la universidad • Edo administra la empresa donde Rai trabaja.

  9. predicado sujeto objeto sentencia Predicado Un predicado es lo que seafirmadel sujeto. • Predicado. • Propiedades • Cualidades • Relaciones • Atributos. • Funciones • Sujeto. • Argumentos • Términos • Objetos, Personas, Conceptos

  10. Proposiciones y Predicados • Un proposición es una oración completa donde se afirma algo acerca de un sujeto identificado. • Una sentencia en lógica de predicados es una oración completa donde se afirma algo acerca de un sujeto. El sujeto puede ser una constante o una variable. sentencia = oración = enunciado

  11. Ejemplos • Objetos: • personas, casas, números, la SUNAT, UNI, colores, guerras, siglos, . . . . • Relaciones: • diferente_que, hermano-de, cerca_de, amigo_de, de_color, hijo_de_y_padre_de, vive_en, es_el_dueño. • Propiedades: • Rojo, redondo, pisos, • Funciones: • el_siguiente, mayor_que, sumatoria,

  12. Ejercicio 2 Identifique para las siguientes expresiones el sujeto y el predicado. Indique el tipo de predicado: • Uno más dos es igual a tres. • R = S + Y2 • Todos los alumnos de IA llevarán su LT a la capacitación del sábado a las 2:30 PM • Los cuadros cercanos al wumpus apestan • Wayra vive en la provincia de condorcanqui y chaccha coca. • Todos los gatos comen ratones y los ratones comen quesos. • Ayer, hoy y mañana son días festivos.

  13. Aplicaciones • Especificación formal de programas, la cual permite describir lo que el usuario desea que un programa realice, mediante piezas de código. • Verificación formal de programas, las piezas de código son acompañadas por pre y post condiciones, las cuales se escriben como fórmulas del Cálculo de Predicados.

  14. SINTAXIS       

  15. Sintaxis (1) El alfabeto está formado por: • Sentencia atómica: predicado (término, ....) termino = término • Sentencias:  sentencia sentencias_atómicas. (sentencia conectiva sentencia) cuantificador variable, ...., sentencia • Término: función término constante variable • Símbolos de conectivas: (, , , , y  ) • Cuantificador universal:  (para todos) • Cuantificador existencial:  (existe al menos uno)

  16. Sintaxis • constantes lógicas: Verdadero, Falso • símbolos de constantes A, D (letras mayúsculas). • símbolos de variables x, z (x, y, z) • símbolos de predicados y funciones (letras minúsculas).

  17. Sintaxis • Oraciones atómicas • Los términos y signos de predicado se combinan para formar oraciones atómicas, mediante las que se afirman hechos. • Una oración atómica está formada por un signo de predicado y por una lista de términos entre paréntesis, ejemplo Hermano (Ricardo, Juan) Casado (PadreDe (Ricardo), MadreDe (Juan)) • Se dice que una oración atómica es verdadera si la relación a la que alude el signo de predicado es válida para los objetos a los que aluden los argumentos.

  18. Sintaxis • Oraciones • Mediante los conectores lógicos se pueden construir oraciones más complicadas, ejemplo: Hermano (Ricardo, Juan)  Hermano (Juan, Ricardo) Mayor (Juan, 30)  Menor (Juan, 30) Mayor (Juan, 30)  Menor (Juan, 30) Hermano (Robin, Juan)

  19. Sintaxis • Términos. • Es una expresión lógica que se refiere a un objeto. • Es el argumento del predicado. • Cuando un término no tiene variables se le conoce como término de base.

  20. Cuantificadores • Cuantificadores • Los cuantificadores permiten expresar propiedades de grupos completos de objetos en vez de enumerarlos por sus nombres. • La lógica de primer orden contiene dos cuantificadores estándar, denominados universales y existenciales.  

  21. Cuantificación universal () • Cuantificación universal () • Facilita la expresión de reglas generales, ejemplo: en vez de decir “Mancha es un gato” y “Mancha es un mamífero” se usa: • xGato (x)  Mamífero (x) • Lo cual equivale a • Gato (Mancha)  Mamífero (Mancha)  Gato (Rebeca)  Mamífero (Rebeca)  Gato (Félix)  Mamífero (Félix)  Gato (Juan)  Mamífero (Juan)  … • Por lo tanto la primera expresión será valida si y sólo si todas estas últimas son también verdaderas, es decir, si P es verdadera para todos los objetos x del universo. Por lo tanto, a  se le conoce como cuantificador universal.

  22. Ejercicio 3 Representa en LP1 las siguientes expresiones: • Todos los alumnos deben matricularse para llevar el curso de IA. • Todos los perros del barrio fueron vacunados en el VANCAN2005. • Todos los congresistas fueron elegidos para ocupar el cargo. • Todos los alumnos del curso de IA serán aprobados.

  23. Cuantificación existencial () • Cuantificación existencial () • Con ella podemos hacer afirmaciones sobre cualquier objeto del universo sin tener que nombrarlo, ejemplo, si queremos decir que Mancha tiene un hermano que es un gato: • xHermano (x, Mancha)  Gato (x) • En general, xP es verdadero si P es verdadero para cierto objeto del universo. • xHermano (x, Mancha)  Gato (x) equivale a las oraciones: • (Hermano (Mancha, Mancha)  Gato (Mancha))  (Hermano (Rebeca, Mancha)  Gato (Rebeca))  (Hermano (Félix, Mancha)  Gato (Félix))  (Hermano (Ricardo, Mancha)  Gato (Ricardo)) … • Así como  es el conector natural para  •  es el conector natural para .

  24. Ejercicio 4 Representa en LP1 las siguientes expresiones: • El hermano de Alejandro molesto al intocable periodista. • Dos hijos de María salieron a pasear. • Juan hijo de María salio a pasear. • Algunos estudiantes no entregaron su trabajo. • El congresista dijo por dios y por la plata

  25. Cuantificadores anidados • Para toda x y toda y, si x es el padre de y, entonces y es el hijo de x • x,yPadre (x,y)  Hijo (y,x) • Para toda x y toda y, si x es hermano de y, entonces y es hermano de x • x,yHermano (x,y)  Hermano (y,x) • Todas las personas aman a alguien • x y Aman (x,y) • Siempre hay alguien a quien todos aman • y x Aman (x,y)

  26. Ejercicio 5 Representa en LP1 las siguientes expresiones: • Todas ciudades tienen un policía que ha sido mordido por todos los perros de la Ciudad. • Para cada conjunto x, hay un conjunto y tal que el cardinal de y es mayor que el cardinal de x. • Todos los bloques que están encima de bloques que han sido movidos o que están unidos a bloques que han sido movidos, también han sido movidos.

  27. Ejercicio 6 • Algunos estudiantes llevaron Chino en el verano • Todos los estudiantes que llevaron Chino, pasaron • Únicamente un estudiante llevó Inglés en el verano • La mejor nota en Inglés es siempre mayor que la mejor nota en Chino. • Toda persona que compra un político es inteligente. • Ninguna persona compra un político caro. • Este es un agente quién vende políticos únicamente a personas que no son seguras. • Hay un barbero en la ciudad, quien afeita a todos los hombres quienes no se pueden afeitar por si mismos.

  28. Solución •  x [estudiante(x)  llevo_curso (x, Chino, Verano)] •  x [[estudiante(x) Λ llevo_curso(x, Chino)]  paso(x, Chino)] • ! x estudiante(x) Λ llevo_curso(x, Ingles, Verano) alternativamente  x [estudiante(x) Λ llevo_curso(x, Ingles, Verano)] Λ  y [estudiante (y) Λ llevo_curso (y, Ingles, Verano) Λ (x = y))] •  x, y [ [mejor_nota(x, Ingles) Λmejor_nota (y, Chino)]  mayor(x,y) ] •  x,y [ [persona(x) Λ politico(y) Λ compra(x, y)]  inteligente(x) ] alternativamente  x compra(x, Politico)  inteligente(x) • ¬[ x persona(x) Λ compra (x, Politico) Λ caro(Politico)] • x y [ vende_politicos(x, y)  persona_insegura(y) ] •  x barbero(x) Λ  y [ hombre(y) Λ¬ afeita_a(y, y)  afeita_a(x, y)]

  29. FORMULAS BIEN CONFIGURADAS

  30. Fórmula bien configurada • Una oración como xP (y), en la que y carece de cuantificador, es incorrecta. • El término fórmula bien configurada o fbc se emplea para calificar oraciones en las que todas sus variables se han introducido adecuadamente. • ~ f (A) • f (P(A)) • Q{ f (A), [P (B)  Q (C) ] } • A V ( ~) fbc

  31. Relaciones entre  y  • Relaciones entre  y  • Ambos cuantificadores están estrechamente relacionados entre sí mediante la negación. • A todos les desagradan las espinacas  No hay alguien a quien le gusten las espinacas x LeGustan(x, espinacas)  xLeGustan (x, espinacas) • A todos les gusta el helado  No hay alguien a quien no le guste el helado xLeGusta(x, helado)  x LeGusta (x, helado)

  32. Relaciones entre  y  • Relaciones entre  y  • Puesto que  es una conjunción (Λ) de objetos del universo y  es su disyunción (V), es natural que obedezcan las leyes de De Morgan:

  33. Igualdad • Igualdad • Para formular aseveraciones en las que los dos términos se refieren a un mismo objeto se utiliza el símbolo de igualdad: Padre(Juan) = Enrique • El signo de igualdad sirve para describir las propiedades de una función determinada o se puede emplear en la negación para insistir en que dos términos no son el mismo objeto: x,yHermano(Mancha, x)  Hermano(Mancha, y)  (x=y)

  34. SEMÁNTICA

  35. Semántica • En lógica de proposiciones para definir la semántica nos apoyamos en los conceptos de interpretación y satisfacción. • En lógica de predicados se debe de añadir el de asignación, que consiste en «dar valores» a las variables y, en general, a los términos. EstructuraUna estructura está constituida por un conjunto que se designa como universo U y la interpretaciónI de las relaciones que actúan sobre los elementos de dicho universo, su notación es: < U, I>

  36. Interpretación • Interpretación Lógica Proposicional. • Una fórmula tiene una interpretación cuando al asignar valores de verdad a sus átomos se obtiene un valor de verdad (cierto o falso) para la fórmula completa. • Interpretación Lógica de Predicados. • Una interpretación está asociada a un dominio, que es un conjunto de valores que las variables pueden tomar. • Para cualquier interpretación de una fórmula sobre un dominio, la fórmula puede ser evaluada como cierta o falsa.

  37. Asignación • Asignación de variable:Una asignación es una función que va desde el conjunto de las variables a un determinado universo. A: V → U

  38. Satisfacción • Satisfacción en Lógica Proposicional. • La satisfacción de una sentencia es relativa a la interpretación. • Satisfacción en Lógica de Predicados. • Las satisfacción es relativa a la asignación de términos. • En lugar de variables proposicionales hay átomos formados con predicados, y un predicado representa a una relación de la conceptuación. • Diremos que un átomo se satisface («es verdadero» ) para una determinada interpretación y una determinada asignación si asignando los valores a sus términos e interpretándolo, el resultado es una tupla de la relación representada.

  39. Bibliografía • AIMA. Capítulo 7, primera edición. • AIMA. Chapter 8, second edition. • http://www.earlham.edu/~peters/courses/logsys/glossary.htm

  40. PREGUNTAS

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