STRUKTUR ALJABAR II

1. STRUKTUR ALJABAR II Presented by : Endah Nova Astuti A 410 080 015 Mata Kuliah SA II Dosen Pengampu : Dra. Sri Sutarni, M.Pd.

2. Ring Definisi : Suatu Ring (R; +; x) adalah himpunan tidak kosong yang pada tiap elemennya berlaku dua operasi biner, yaitu penjumlahan dan perkalian yang memenuhi axioma-axioma 1 s.d. D berikut : 1. Tertutup terhadap operasi penjumlahan (+) 2. Assosiatif terhadap operasi penjumlahan (+)

3. Lanjutan Axioma Ring 3. Ada elemen identitas terhadap operasi penjumlahan (+) • Tiap elemen terdapat invers terhadap operasi penjumlahan (+) 5. Komutatif terhadap operasi penjumlahan (+) 1’. Tertutup terhadap operasi perkalian (x)

4. Lanjutan Axioma Ring 2’. Assosiatif terhadap operasi perkalian (x) D. Distributif perkalian kiri dan perkalian kanan terhadap penjumlahan ♣ Distributif kiri ♣ Distributif kanan

5. Tipe-tipe Ring Ring komutatif Definisi : Ring (R; +; x) yang memenuhi sifat komutatif terhadap operasi perkalian disebut ring komutatif (axioma 1 s.d. D + 5’) 5’. Komutatif terhadap operasi perkalian (x)

6. Lanjutan Tipe-tipe Ring Ring dengan elemen satuan perkalian Definisi : Ring (R; +; x) yang mempunyai elemen satuan terhadap operasi perkalian (x) disebut ring dengan elemen satuan terhadap perkalian (axioma 1 s.d. D + 3’) 3’. Terdapat elemen satuan terhadap operasi perkalian (x)

7. Karakteristik Ring Definisi : R suatu Ring dengan elemen nol. Jika untuk setiap ada bilangan bulat positif terkecil sedemikian hingga , maka dikatakan bahwa R mempunyai karakteristik . Jika tidak ada bilangan bulat positif demikian maka dikatakan bahwa ring R mempunyai karakteristik nol atau tidak berhingga.

8. Homomorphisme Ring Definisi : Jika (R; +; x) dan (R’; ⊕ , ⊗) masing-masing adalah ring dan pemetaan R ke R’ didefinisikan suatu fungsi F dari R ke R’. Pemetaan f disebut homomorphisme dari R ke R’ apabila memenuhi sifat-sifat : Untuk setiap a, b ε R berlaku : f(a+b) = f(a) ⊕ f(b) f(axb) = f(a) ⊗ f(b) Jika f bijektif, maka f disebut isomorphisme

9. Sub Ring Definisi : Himpunan R’ yang himpunan kosong dan merupakan himpunan bagian dari R dikatakan sebagai sub ring dari R bila dan hanya bila memenuhi sifat berikut :

10. Pembagi Nol (PN) Suatu Ring (R; +; x) disebut memuat pembagi nol (PN), bila terdapat sehingga dan

11. Daerah Integral (Integral Domain) Definisi : Suatu Ring (R; +; x) yang bersifat komutatif, mempunyai elemen identitas terhadap operasi perkalian (x) dan tidak memuat pembagi nol.

12. IDEAL Ideal Kiri Definisi : Suatu himpunan bagian tidak kosong I dan ring R disebut ideal kiri bila dan hanya bila memenuhi sifat berikut : (1) (2)

13. Lanjutan Ideal Ideal Kanan Definisi : Suatu himpunan bagian tidak kosong I dan ring R disebut ideal kanan bila dan hanya bila memenuhi sifat berikut : (1) (2)

14. Lanjutan Ideal Ideal Dua Sisi Definisi : Suatu himpunan bagian tidak kosong I dan ring R disebut ideal dua sisi (ideal) bila dan hanya bila memenuhi sifat berikut : (1) (2)

15. Ring Euclidean Misal R ring komutatif tanpa pembagi nol dan C adalah himpunan bilangan cacah R disebut ring euclidean bila dan hanya bila ada suatu pemetaan yang memenuhi : • Jika z elemen nol dari R, maka f(z) = 0 • Untuk setiap maka • Untuk setiap • Maka ada sehingga dengan

16. Field atau Medan Definisi : Suatu ring komutatif dengan elemen satuan yang tiap elemennya tidak nol mempunyai elemen invers.

17. Skew Filed / Medang Ring Definisi : Struktur aljabar yang memenuhi suatu field dengan tidak mensyaratkan berlakunya sifat komutatif pergandaan.

18. Ring Pembagian / Division Ring Definisi : Struktur aljabar yang memenuhi suatu field dengan tidak mensyaratkan berlakunya sifat komutatif pergandaan, adanya elemen satuan, dan tiap elemen yang bukan elemen nol mempunyai elemen invers, tetapi mensyaratkan berlakunya persamaan mempunyai jawaban