ALJABAR ABSTRAK

1. SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN BINA INSAN MANDIRI STKIP BIM ALJABAR ABSTRAK DosenPembimbing GisoesiloAbudi

2. MateriPokok ALJABAR ABSTRAK OPERASI BINER G R U P SIFAT-SIFAT SEDERHANA DARI GRUP SUB GRUP GRUP SIKLIK

3. TujuanInstruksionalUmum Setelahmempelajarimateriini, Andadapatmemahamitentangoperasibiner, grupdansifat-sifatsederhanadarigrup, subgrupsertatentanggrupsiklik

4. PertemuanKedua G r u p 3. Contoh Soal 4. Latihan / Tugas 2. Teorema 1. Definisi KeMateriKetiga

5. Teorema MisalkanG suatugrup, maka ∀a,b∈ G berlaku (i) (a-1)-1 = a dan (ii) (ab)-1= b-1 a-1. Contoh: GrupP(9) = {1, 2, 4, 5, 7, 8} dengan × mod 9. 1-1 = 1 ; 2-1= 5 ; 4-1= 7 5-1 = 2 ; 7-1= 4 ; 8-1= 8 (7-1)-1 = 7 ; (5-1)-1 = 5 ; (8-1)-1 = 8

6. Teorema ApabilaG suatugrup, maka ∀ a,b,c∈ G berlaku : (i) Jikaab = ac, makab = c (sifatkanselasikiri) (ii) Jikaac = bc, makaa = b (sifatkanselasikanan).

7. Teorema JikaG suatugrup, maka ∀ a,b∈ G, persamaan-persamaanxa= b (persamaankiri) danay = b (persamaankanan), masing-masingmempunyaipenyelesaiantunggal. Contoh: DiketahuiP(9) = {1, 2, 4, 5, 7, 8} dengan × mod 9 adalahsuatugrup. 2x = 1 7x = 8 5 . 2x = 5 .1 (?) 4.7x = 4.8 (?) x = 5 x = 5

8. Defenisi • MisalkanG suatugrup, a ∈ G danm suatubilanganbulatpositif, maka • am = a aa ..... a sebanyakm faktor • a-m= (a-1)mdengana-1adalahinversdaria. • a0 = e (elemenidentitas).

9. Teorema MisalkanG suatugrup, m dann sembarangbilanganbulat, maka ∀ a ∈ G berlaku : (i) am an = am+n (ii) (am)n = amn ambm = (ab)m Contoh: DiketahuiP(15) = {1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14} dengan × mod 15 adalahsuatugrup. 28 = 1 ; 2-18 = 4 ; 48 = 1 ; 7-48 = 1 11-25 = 11 ; 1342 = 4 ; 8802 = 4 ; 14-487 = 14

10. Definisi MisalkanG suatugrupdana ∈ G. • Periode (order) daria (diberi symbol o(a) atau p(a)atau |a|) adalahsuatubilanganbulatpositifterkecil, misalnyam, sedemikianhinggaam= e. Jikatakadabilanganbulat yang demikian, makadikatakanbahwa order daria adalahtakhingga.

11. Contoh DiketahuiP(9) = {1, 2, 4, 5, 7, 8} dengan × mod 9 adalahsuatugrup. o(1) = 1, o(2) = 6, o(4) = 3, o(5) = 6 , o(7) = 3 , o(8) = 2

12. ContohSoal Misalkana suatuelemendarisuatugrupdengan o(a) = 6. Tentukan o(a2), o(a3), o(a4) dan o(a5). Jawab: o(a) = 6  6 adalahbilanganbulatpositifdengana6 = e. (a2)3 = a6 = e, maka o(a2) =3 (a3)2 = a6 = e, maka o(a3) =2 (a4)3 = (a6 )2 = e, maka o(a4) =3 (a5)6 = (a6 )5 = e, maka o(a5) =6

13. ContohSoal MisalkanG suatugrupberhinggadana ∈ G, buktikanbahwaadabilanganbulatpositifn sedemikianhinggaan = e. JAWAB: G suatugrupdana ∈ G  a2, a3, a4, ... ∈ G. Tetapi, karena G berhingga, makaadapengulanganpenulisandarielemen-elemensebagaiperpangkatandaria tersebut. Apaartinya? Yaituadabilangan-bilanganbulatm dank denganm > k, sedemikianhingga : am= ak am-k= e Jadin = m – k danan= e.

14. Latihan • JikaG suatugrupberhingga, tunjukkanbahwaadasuatubilanganbulatn sedemikianhinggaan= e untuksemuaa ∈ G. • JikaG suatugrupberhingga yang berordergenap, buktikanbahwabanyaknyaelemen yang inversnyadirinyasendiri , selainelemenidentitasadalahganjil.

15. Latihan • JikaG grupabelian yang berhinggadana1, a2, . . . , anadalahelemen-elemennya, tunjukkanbahwa (a1a2 . . . an)2 = e. • JikaG grupabelianberorderganjil, apakahhasilkalidarisemuaelemennya?

16. Latihan • MisalkanG suatugrup yang memenuhi (ab)3 = a3b3dan (ab)5= a5b5, untuksemuaa,b∈ G. TunjukkanbahwaG suatugrupabelian!

17. Thank You ! SelamatBelajar