Universidad Autónoma de Yucatán Facultad de Economía Finanzas Corporativas

1. Universidad Autónoma de Yucatán Facultad de Economía Finanzas Corporativas Valuación de efectivo descontado LE Miguel Ángel Viana Dzul

2. Valor futuro con flujo de efectivo múltiples • Suponga que usted deposita hoy 100 dólares en una cuenta que paga 8%. En un año, depositará otros 100 dólares. ¿Qué cantidad tendrá dentro de dos años? Este problema en particular es relativamente sencillo de resolver. Al final del primer año, tendrá 108 dólares más los segundos 100 que usted deposite, lo cual hará un total de 208 dólares. Supongamos que toma la decisión de dejar esta cantidad en depósito a una tasa de 8% durante otro año. Al final de este segundo año, su inversión tendrá un valor de: $208 X 1.08 = $224.64

3. En la primera parte de la figura 6.1, mostramos los flujos de efectivo sobre la línea de tiempo. La consideración más importante a este respecto es que los escribamos justo en el punto en que ocurran. En este caso, el primer flujo de efectivo ocurre hoy, el cual denominamos como Tiempo 0. Por consiguiente, ponemos 100 dólares en el Tiempo O sobre la línea de tiempo. El segundo flujo de efectivo de 100 dólares ocurre después de un año y lo escribimos en el punto denominado como Tiempo 1. En la segunda parte de la figura 6.1, calculamos los valores futuros sobre la base de un periodo a la vez para llegar así a la cifra final de 224.64 dólares.

4. Cuando calculamos el valor futuro de los dos depósitos de 100 dólares, simplemente calculamos el saldo al inicio de cada año y posteriormente rotamos esa cantidad hacia el futuro para el año siguiente. Podríamos haber hecho esto de manera mucho más rápida. • Los primeros 100 dólares están en depósito durante dos años a una tasa de 8% y, por lo tanto, su valor futuro será de: $100 X 1.082 = $100 X 1.1664 = $116.64 • Los segundos 100 dólares permanecen en depósito sólo un año a la misma tasa y su valor futuro será, entonces, de: $100 X 1.08 = $108 • El valor futuro total, como lo calculamos anteriormente, es igual a la suma de estos dos valores futuros: $116.64 + 108 = $224.64

5. Para ilustrar estas dos formas de cálculo, considere el valor futuro de 2 000 dólares invertidos al final de cada uno de los cinco años siguientes. El saldo actual es de cero, y la tasa es de 10 por ciento. • Primero dibujamos una línea de tiempo, como se muestra en la figura 6.2; observe que no sucede nada hasta el final del primer año, cuando hacemos la primera inversión de 2 000 dólares. Éstos ganan intereses durante los cuatro (y no los cinco) años siguientes. Además, los últimos 2 000 dólares se invierten al final del quinto año y por lo tanto, no generan intereses. 0 1 2 3 4 5 Tiempo (años) 2000 2000 2000 2000 2000

6. 0 1 2 3 4 5 Tiempo ( años) $ 0 $0 $2200 $4620 $7282 $10210.2 0 x1.1 2000 x1.1 2000 x 1.1 2000 x 1.1 2000 x 1.1 2000 0 2000 4200 6620 9282 12210.2

7. 0 1 2 3 4 5 Tiempo ( años) $2000 $2000 $2000 $2000 $2000 X 1.1 2200 2420 2662 2928.2 12210.2 X 1.12 X 1.13 X1.14 Valor Futuro Total

8. Si deposita 100 dólares en un año, 200 en dos, y 300 en tres, ¿qué suma habrá acumulado en tres años? ¿ Qué parte de esta cantidad será de intereses? ¿ Cuánto tendrá dentro de cinco años si no añade cantidades adicionales? Suponga una tasa de interés de 7% a lo largo de todo el horizonte de la inversión. • Calcularemos el valor futuro de cada monto dentro de tres años. Observe que los 100 dólares ganan intereses durante dos años; que los 200, durante un año; y que los 300 finales no obtienen intereses. De este modo, los valores futuros serán de: $100 X 1.072 = $114.49 $200 x 1.07 = 214.00 + $300 = 300 Valor futuro total = $628.49 • El valor futuro total será, por tanto, de 628.49 dólares, y el interés total es de: $628.49 - (100 + 200 + 300) = $28.49 • Qué cantidad tendrá dentro de cinco años? Sabemos que tendrá $628.49 en tres años. Si deja depositada esa cantidad durante dos años más, crecerá hasta: $628.49 x 1.072 = $628.49 x 1.1449 = $719.56

9. Valor presente con flujo de efectivo múltiples • Suponga que usted necesitará 1 000 dólares dentro de un año y 2 000 más dentro de dos. Si puede ganar 9% sobre su dinero, ¿cuánto tendrá que aportar hoy para cubrir en forma exacta estas cantidades en el futuro? En otras palabras, ¿cuál será el valor presente de los dos flujos de efectivo a una tasa de 9 por ciento? • El valor presente de 2 000 dólares dentro de dos años al 9% será de: $2000/1.092 = $1 683.36 • El valor presente de 1 000 dólares en un año es de: $1000/1.09 = $917.43 • Entonces, el valor presente total será de: $1683.36 + 917.43 = $2600.79 • Para ver por qué la respuesta correcta es de 2 600.79 dólares, podemos hacer las verificaciones necesarias, observando que después de pagados los 2 000 dentro de dos años, no queda nada de dinero. Si invertimos 2 600.79 dólares por un año al 9%, tendremos: • $2600.79 X 1.09 = $2834.86 • Retiramos 1 000 dólares dejando 1 834.86. Esta cantidad ganará 9% en otro año, lo cual nos dejará con: $1834.86 X 1.09 = $2000

10. Una forma alternativa de calcular los valores presentes en el caso de flujos futuros de efectivo múltiple consiste en hacer un descuento hacia el presente, tomando un periodo a la vez. Para ilustrar esta idea, suponga que tuviéramos una inversión que fuera a pagar 1 000 dólares al final de cada año durante los cinco siguientes. Para encontrar el valor presente, podríamos descontar cada 1 000 dólares hacia el presente en forma separada y, posteriormente, añadir las cifras resultantes entre sí. En la figura 6.5 vemos aplicado este enfoque a una tasa de descuento de 6%; como ahí mostramos, la respuesta es de 4 212.37 dólares (con un pequeño error de redondeo 0 1 2 3 4 5 Tiempo ( años) $1000 $1000 $1000 $1000 $1000 X 1./1.06 $943.40 890.00 839.62 792.09 747.26 $4212.37 X 1./1.062 X 1./1.063 X 1./1.064 X 1./1.065

11. 0 1 2 3 4 5 Tiempo ( años) $4212.73 3465.11 2673.01 1833.40 943.40 0.00 0.00 1000.00 1000.00 1000.00 1000.00 1000.00 $4212.73 4465.11 3673.01 2833.40 1943.40 1000.00 Valor presente total = $ 4212.73 r = 6%

12. Suponga que le ofrecen una inversión que le pagara 200 dólares dentro de un año, 400 en el siguiente, 600 en tercero y 800 al final de cuarto año. Usted puede ganar el 12% sobre inversiones muy similares. ¿Cuánto es lo máximo que debería pagar por esta inversión? • Necesitamos calcular el valor presente de estos flujos de efectivo a una tasa de 12% y el cual obtenemos: $200 x 1/1.121 = 200 x 1.1200 = $178.57 400 x 1/1.122 = 400 x 1.1254 = 318.88 600 x 1/1.123 = 600 x 1.4049 = 427.07 + 800 x 1/1.124 = 800 x 1.5735 = 508.41 Valor presente total = $1432.93 Si usted puede ganar 12% sobre su dinero, entonces puede duplicar los flujos de efectivo de esta inversión de $1432.930dolares y por lo tanto esta es la máxima cantidad que debería pagar por esta inversión

13. Valuación de flujos de efectivo uniformes: anualidades y perpetuidades • Valor Presente de una anualidad Valor presente de una = A x 1 - [ 1/ (1+r )t ] anualidad r

14. Después de revisar su presupuesto ha determinado que puede darse el gusto de gastarse 632 dólares en aras de la adquisición de un nuevo auto. Al llamar a su banco descubre que la tasa de interés es 1% mensual para un período de 48 meses • Para poder determinar la cantidad de dinero que solicitará, necesitamos calcular el valor presente de los 632 mensuales a lo largo de 48 meses una tasa de 1% por mes. Los pagos del préstamo son de forma anual y en consecuencia el factor de valor presente es de : Factor presente de una anualidad = ( 1 – Factor de valor presente)/r = [ 1 – ( 1/1.0148)]/.01 = [ 1- .6203]/.01 = 37.9740 Con este factor, podemos calcular el valor presente de los 48 pagos de 632 dólares cada uno como Valor presente = 632 x 37.9740 = $ 24000 Por consiguiente la cantidad que podrá pedir y rembolsar es de $ 24000 dólares

15. A) Forma de encontrar el pago A = Valor presente de un anualidad [ (1- Factor de valor presente)/r] Suponga que desea empezar un nuevo negocio, en el cual necesita 100000 dólares, como sospecha que el nuevo negocio tenga éxito por mucho tiempo, usted se propone devolver el préstamo en 5 años. Si la tasa de interés es de 18% , ¿de cuanto será la anualidad? Valor presente = 100000 = A x {[1- (1/1.185)]/.18} A = 100000 [ (1- .4371) /.18] A = 100000/ 3.1272 = $ 31977

16. B) Formas de encontrar el numero de pagos • Suponga que se ha percatado de que le hará falta dinero en sus próximas vacaciones, por lo que dispone de 1000 dólares en su tarjeta de crédito. De acuerdo con su posibilidades, solo puede hacer un pago mínimo de 20 dólares mensuales. La tasa de interés de la tarjeta de crédito es de 1.5% mensual .¿Que tiempo necesitará para pagar los 1000 dólares? • Lo que tenemos en este caso es una anualidad de 20 dólares a una tasa de interés mensual de 1.5% durante un plazo desconocido. El valor presente es de 1000 dólares, por lo cual sustituimos en la formula de valor presente de una anualidad $ 1000 = $20 x [(1-Factor de valor presente)/.015] (1000/20) x .015 = 1-Factor de valor presente 50 x 0.015 = 1 – Factor de valor presente Factor de valor presente = 1-.75 =.25 1 / (1+r)t = .25 1.015t = 1/25 = 4 t = ln 4/ ln 1.015 = 93 Esto se traduce a 93/12 = 7.75 años par liquidar los 1000 dólares

17. C) Formas de encontrar la tasas de interés • Suponga que un pariente le solicita un préstamo de 3000 dólares, el ofrece reembolsarle 1000c dólares anuales por cuatro años, ¿Qué tas de interés le esta ofreciendo • En este caso tenemos las anualidades de 1000 dólares, el valor presenten del préstamo de 3000 dólares y el tiempo de 4 años, por lo que este ejercicio se calcula por tanteo • Factor de valor presente de una anualidad = 1-[1/(1+r)t] r = {1- [ 1/(1.10)4]}/.10 = 3.1699 VP = 1000 x3.1699 = 3169.9 = {1- [ 1/(1.12)4]}/.10 = 3.03735 VP = 1000 x3.0375 = 3037.35 = {1- [ 1/(1.13)4]}/.10 = 2.97447 VP = 1000 x 2.97447 = 2974.47 La respuesta es de 12.59%

18. Valor futuro de una anualidad Valor futuro de una anualidad = A x ( Factor de valor futuro -1) r = A x (1+r)t - 1 r Factor de valor futuro de una anualidad

19. Suponga que desea aportar 2000 dólares anuales a su cuenta de pensiones laborales, el cual paga un tasa de interés de 8%. Si usted se jubila dentro de 30 años ¿Qué cantidad tendrá? • Calculamos primero el factor de valor futuro Facto de valor futuro de una anualidad = ( factor de valor futuro -1)/r = [(1.08)30 -1]/.08 = (10.0627-1)/.08 = 113.2832 El valor futuro de esta anualidad de 2000 dólares por 30 años será de: Valor futuro de la anualidad = 2000 x 113.2832 = $226566.40

20. Valor presente de una perpetuidad VP de una perpetuidad = P/r Suponga que una inversión ofrece un flujo de efectivo perpueto de 500 dólares cada año y sobre ella requiere un requerimiento de 8% ¿Cuál será el valor de esta inversión? VP de una perpetuidad = 500/.08 = $6250