Cap. 6 Sezioni, intersezioni e sviluppi di solidi elementari

1. Cap. 6 Sezioni, intersezioni e sviluppi di solidi elementari Sezioni di solidi elementari

2. Premessa Le regole di geometria descrittiva che sono state presentate nel corso della trattazione sulle proiezioni ortografiche trovano applicazione anche nella rappresentazione di solidi geometrici tagliati da piani di sezione. Nei casi più semplici il piano di sezione è parallelo ad uno dei tre piani principali (ed è quindi perpendicolare agli altri due). In questo caso la vera forma della sezione è quella fornita dalla proiezione sul piano di proiezione parallelo al piano di sezione. Nel caso più generale, invece, il piano di sezione risulta perpendicolare ad un piano principale ed inclinato rispetto agli altri due oppure (caso ancor più generale) inclinato rispetto a tutti i tre piani principali di proiezione. Bisogna allora ricorrere a proiezioni ausiliarie per ottenere la vera forma della sezione, come è già stato illustrato nel Cap. 3.

3. Solidi non assialsimmetrici Se il solido considerato è di tipo prismatico (ossia è un cilindro con sezione retta non circolare) oppure è una piramide, ricorrendo ai concetti illustrati nei capitoli precedenti si possono ottenere le viste del solido sezionato, partendo dalle intersezioni del piano di sezione con le superfici del solido. In particolare la sezione del solido sarà un poligono i cui vertici si ottengono determinando le intersezioni del piano sezionante con gli spigoli del solido. L’operazione di costruzione della sezione è però molto semplice se il piano sezionante è ortogonale ad almeno uno dei tre piani principali.

4. Ad esempio, nel caso del prisma difigura 1, una volta fissato ilpiano di sezione M‑M (individuato dalle sue due tracce sul p.o. e sul p.l.), si possono disegnare, nella vista frontale, le linee di intersezione del piano con le superfici del prisma. Queste linee di intersezione costituiranno le linee di contorno della sezione (che vengono chiamate anche linee d’ambito di sezione). L’area della sezione viene poi evidenziata con il tipico tratteggio (campitura) . Figura 1 – Sezione di un prisma cavo avente l’asse perpendicolare al p.o., mediante un piano M-M perpendicolare al p.o.

5. Nel caso dellafigura 2, il piano di sezione è inclinato rispetto ai piani p.o. e p.l. mentre è perpendicolare rispetto al p.v. . La determinazione delle linee di contorno delle sezioni, sia nella pianta, sia nella vista laterale, è abbastanza semplice. Si tenga però presente che nessuna di queste rappresentazioni dà la vera forma della sezione stessa, e quindi converrebbe fare riferimento ad una vista ausiliaria sulla quale costruire la vera forma sezione. Essa può essere determinata con la stessa costruzione delle figg. 25b e 26 (quest’ultime relative ad un esagono) presentata nel Cap. 3 sulle proiezioni ortografiche. Figura 2 – Sezione di un solido perpendicolare al p.o., con la base a forma di T, mediante un piano t2 perpendicolare al p.v. e inclinato di α rispetto al p.o.

6. Solidi assialsimmetrici Particolare interesse pratico hanno le sezioni piane di solidi assialsimmetrici, come il cono o il cilindro. Nel caso del cilindro, si possono avere tre casi (fig. 3): • se il piano di sezione è parallelo all’asse del cilindro, si ottiene una sezione rettangolare; • se il piano di sezione è normale all’asse del cilindro, si ottiene una sezione circolare; • se il piano di sezione è inclinato rispetto all’asse del cilindro, si ottiene una sezione ellittica. Figura 3 – Sezioni di un cilindro con un piano: • piano parallelo all’asse : sezione rettangolare; • piano perpendicolare all’asse : sezione circolare; • piano inclinato rispetto all’asse: sezione ellittica

7. Proiezioni ortografiche di un’ellisse • L’ellisse gode delle seguenti due proprietà • 1) se i due assi dell’ellisse hanno la stessa lunghezza, l’ellisse si particolarizza in una circonferenza (cerchio) • 2) le proiezioni ortogonali di un’ellisse (cerchio) eseguite su un piano di proiezione che non sia normale al piano contenente l’ellisse (cerchio), hanno sempre la forma di ellissi (qualunque sia l’angolo compreso tra i due piani)

8. La figura 4 mostra la proiezione di un cilindro cavo che viene sezionato con un piano parallelo all’asse (e parallelo al p.l.) Figura 4 – Sezione di un cilindro cavo con un piano t2 parallelo all’asse

9. Nella figura 5 il piano di sezione è ortogonale al p.v. ed è inclinato rispetto all’asse del cilindro. Nota la proiezione della sezione sul p.l. (un cerchio privato di una lunetta) e sapendo che sul p.v. la sezione degenera in un’unica linea, è immediato ottenere, con tanti punti discreti, la sezione proiettata sul p.o. Per ottenere la reale forma della sezione si è fatto ricorso ad una vista ausiliaria Figura 5 – Sezione di un cilindro con un piano inclinato di 45° rispetto all’asse. Per ottenere la vera forma della sezione occorre una vista ausiliaria

10. Sezionando un cono con un piano, si ottiene una sezione il cui contorno curvo ha una forma dipendente dalla posizione del piano sezionatore rispetto all’asse del cono (fig. 6A) e si hanno 4 casi : • se il piano di sezione è perpendicolare all’asse del cono, si ottiene come contorno una circonferenza (fig. 6B); • se il piano forma con l’asse del cono un angolo minore di 90°, ma maggiore dell’angolo di semiapertura del cono, si ottiene una ellisse (fig. 6C); • se l’angolo è esattamente uguale a quello di semiapertura del cono (cioè il piano è parallelo ad una generatrice), si ottiene una parabola (fig. 6D); • infine, se il piano forma con l’asse del cono un angolo minore dell’angolo di semiapertura, si otterrà un ramo di iperbole (fig. 6E). Figura 6 – Sezioni di un cono con un piano

11. Nella figura 7 viene illustrato uno dei procedimenti che si possono adottare per costruire la proiezione in pianta di una ellisse ottenuta sezionando un cono con un piano ortogonale al p.v. ed inclinato dell’angolo b rispetto al p.o. Si sa che la forma di una tale proiezione è sempre un’ellisse; questa ha un suo asse principale A’C’ passante per il centro del cono e parallelo alla l.t. E’ allora sufficiente trovare la posizione di almeno un altro punto B dell’ellisse, posto, ad esempio, sull’intersezione tra l’ellisse ed un piano ausiliariodiametrale ruotato dell’angolo a (qualunque) rispetto al p.v. Figura 7 - Sezione ellittica di un cono tramite primitiva

12. Le figure 8 e 9 riportano le costruzioni per ottenere le sezioni di un cono con un piano parallelo ad una sue generatrice oppure all’asse del cono, ottenendo, rispettivamente, una parabola e una iperbole. In questo caso non si ricorre ad una “primitiva” (come nel caso della sezione ellittica di figura 7) ma si esegue una costruzione approssimata (per punti discreti) attraverso una curva B-spline passante per i 2n punti di intersezione ottenuti impiegando n piani ausiliari ortogonali all’asse del cono. Vale solo la pena ricordare che la sezione di un cono ottenuta con un piano ortogonale all’asse del cono ha la forma forma circolare.

13. Figura 8 – Sezione parabolica di un cono retto con un piano parallelo alla generatrice

14. Figura 9 – Sezione iperbolica di un cono retto con un piano parallelo all’asse

15. Sezionando una sferacon un piano normale al p.v. e parallelo al p.o. (fig. 10) si ottiene un cerchio, che si vede in vera forma nella vista in pianta. Figura 10– Sezione di sfera con un piano orizzontale : si ottiene un cerchio

16. Se invece il piano di intersezione ha una giacitura ortogonale al p.v. ma non parallela al p.o. (fig. 11), si otterrà sul p.o. (e anche sul p.l.) un’ellisse, la cui costruzione può essere effettuata in base a considerazioni simili a quelle già ricordate per determinare la sezione ellittica di un cono retto con un piano inclinato rispetto all’asse (fig. 7). La vera forma della sezione (visibile sul piano di sezione ribaltato) è quella di un cerchio. Figura 11 – Sezione di sfera con un piano inclinato: la vera forma della sezione è quella di un cerchio, che proiettata sui piani principali diventa una ellisse

17. Compenetrazione di solidi

18. Un problema grafico che si presenta molte volte nella rappresentazione di componenti meccanici consiste nella determinazione delle linee di intersezione di parti solide o di cavità. Il problema non ha solo interesse geometrico, ma trova applicazione pratica in diversi rami dell’ingegneria: basti pensare, nel campo impiantistico, alle ramificazioni delle condotte, oppure al caso di pezzi attraversati da scanalature o da fori che possono essere appunto considerati come solidi cavi. Ai fini della determinazione delle line di intersezione, è opportuno distinguere i tre seguenti casi di compenetrazione : • compenetrazioni tra solidi prismatici (in questo caso tutte le intersezioni tra facce piane sono linee rette), • compenetrazioni tra solidi prismatici e solidi di rivoluzione, • compenetrazioni tra solidi di rivoluzione (che ricorre di frequente in connessioni di tubature o innesti di condotte in contenitori cilindrici o prismatici).

19. Per il tracciamento delle linee di intersezione di solidi compenetrati esistono diverse metodologie. Solitamente, comunque, le curve di intersezione si tracciano per punti : si determina cioè un numero sufficiente di punti appartenenti contemporaneamente a entrambe le superfici dei solidi compenetrati; i punti vengono poi uniti, in sequenza, con curve di tipo B-spline La curva risultante dall’intersezione di due solidi, chiamata figura di intersezione, osemplicemente intersezione, risulterà tanto meglio approssimata quanti più punti di passaggio della B-spline sono stati ricavati.

20. Compenetrazione tra solidi prismatici L’intersezione fra due piani è un segmento di retta: quindi, se un solido delimitato da facce piane viene compenetrato da un altro solido dello stesso tipo, la figura di intersezione sarà formata da segmenti di retta. La figura 12 mostra le proiezioni ortogonali di un prisma retto a base quadrata con un foro quadrato, ottenuto tramite operazione di sottrazionedi volumi. La costruzione geometrica delle linee di intersezione può avvenire a partire dal prospetto e dalla pianta; i punti B3= A3 , B’3 = A’3della vista laterale si ottengono come proiezioni di punti gia definiti nel primo e secondo piano di proiezione. Nelle figure 13 e 14 si hanno costruzioni analoghe con diverse posizioni dei prismi. Figura 12 – “Intersezione” di un prisma retto con un foro prismatico

21. Figura 14 – Intersezione di prismi retti ad assi sghembi Figura 13 – Intersezione di due prismi retti ortogonali

22. Compenetrazione tra solidi prismatici e solidi di rivoluzione Nella figura 15 è illustrato il disegno della compenetrazione (unione) tra un cilindro ad asse verticale ed un prisma retto a sezione quadrata, ad asse orizzontale. In questo caso la linea di intersezione in pianta è definita da due archi di circonferenza. Le intersezioni tra le facce a ed a’ del prisma col cilindro sono i segmenti A2B2 e C2D2, che si ottengono mandando le linee di richiamo da A1≡B1 e C1 ≡D1 sino ad intersecare le tracce dei piani b e b’. Sul p.l. si tracciano i segmenti A3B3 e C3D3. Figura 15 – Intersezione fra un cilindro e un prisma retti ad assi ortogonali

23. Se il cilindro è ad asse orizzontale ed interseca il prisma ad asse verticale come in figura 16, le intersezioni sono dei tratti di ellisse. La figura illustra il procedimento per tracciare le intersezioni sul prospetto avendo già tracciato il profilo e la pianta. In questo caso si possono prendere dei punti qualsiasi sul cilindro nel p.l., come A3, B3, C3 e D3, e disegnare le linee di richiamo nel p.o., determinando i punti corrispondenti A2, B2, C2 e D2 ; le intersezioni corrispondenti delle linee di richiamo sul p.v. consentiranno la costruzione per punti delle due curve di compenetrazione sul prospetto. Figura 16 – Intersezione fra un prisma verticale e un cilindro orizzontale

24. Le figure 17 e 18 chiariscono altri procedimenti per ottenere le linee di compenetrazione tra solidi prismatici e di rivoluzione. Figura 17 – Il taglio trasversale può essere considerato come una cavità prismatica che interseca il cilindro Figura 18 – Il pezzo rappresentato può essere considerato come unione tra il cilindro inferiore e la parte superiore ottenuta tramite intersezione fra cilindro e prisma

25. Un esempio tipico di intersezione tra un tronco di cono ed un elemento prismatico è costituito dalla scanalatura della testa di una vite (fig. 18a). Figura 18a – La scanalatura della testa di una vite rappresenta un esempio tipico di intersezione tra un tronco di cono e un elemento prismatico. Dopo aver costruito il prospetto e la pianta, le intersezioni corrispondenti nel p.l. consentiranno la costruzione della linea A3B3

26. Un altro semplice esempio di compenetrazione cono -prisma è rappresentato dalla punta della matita prismatica (fig. 18 b)sulla quale risulta ben visibile una curva di compenetrazione ottenuta dall’intersezione fra un cono e un prisma esagonale (ramo di iperbole). Figura 18 b – Nell’estremità di una matita si ha l’intersezione di un prisma esagonale con un cono. Per determinare le curve di intersezione, dal vertice V del cono si conducono alcune generatrici, quali a, b, c, d, fino ad incontrare la linea di intersezione dei due solidi nei punti 1, 2, 3, 4. Da questi punti si conducono delle linee verticali fino ad incontrare la proiezione circolare della base del cono nei punti 1’, 2’, 3’, 4’. Congiungendo questi punti col centro della circonferenza, si intercettano sull’esagono inscritto nella circonferenza i punti 1”, 2”, 3”, 4”, da cui si fanno partire delle linee verticali, le cui intersezioni con le generatrici di partenza danno i punti 1’’’, 2’’’, 3’’’, 4’’’ cercati

27. Una intersezione simile, fra un prisma retto ed un tronco dicono di grande apertura, si ritrova nei dadi esagonali della comune bulloneria (fig. 18c). Figura 18 c – Anche in un dado si trova l’intersezione fra prisma esagonale e cono. La costruzione delle curve di intersezione è analoga al caso precedente. A partire dal vertice del cono si conducono alcune generatrici a piacere fino ad incontrare la linea orizzontale a, considerata come proiezione della base del cono. Dai punti di intersezione, si conducono delle linee verticali, fino ad incontrare la proiezione circolare della base del cono nei punti A1’ e B1’. I punti della curva di intersezione si determinano come nel caso precedente

28. Compenetrazione tra solidi di rivoluzione La figura 19 mostra casi di intersezioni frequenti tra cilindri. Nei cilindri che si intersecano ortogonalmente, quando i raggi dei due solidi sono molto differenti, si preferisce l’approssimazione con un segmento (a); se la differenza è minore, la curva di intersezione è approssimata da un arco di raggio r uguale al raggio del cilindro maggiore (b); nel caso di cilindri di eguale diametro, le linee di intersezione degenerano in segmenti di retta (d, f). In tutti gli altri casi, si preferisce far uso di semplici costruzioni per punti ottenendo la curva dall’approssimazione tramite B-spline A questo proposito è possibile usare il metodo delle generatrici (altri metodi sono il metodo dei piani ausiliari e il metodo delle sfere ausiliarie). Figura 19 – Intersezioni fra cilindri: alcune rappresentazioni vengono semplificate

29. Metodo delle generatrici Le linee di intersezione si tracciano per punti, individuando le generatrici del cilindro di diametro minore e determinando i punti di intersezione tra i due cilindri nelle diverse viste. Tipico è il caso di un cilindro attraversato da un foro (fig. 20). I punti delle linee di intersezione nella terza vista sul p.l. vengono determinati scegliendo a piacere, sul p.o. e sul p.v.,alcuni punti A, B, C appartenenti alle generatrici del cilindro di diametro minore (foro). Proiettando tali punti sul p.l., si ottengono le linee di intersezioni dei due solidi. Figura 20 – Ricerca della intersezione tra due cilindri con il metodo delle generatrici

30. Sviluppi di solidi

31. Generalità Una superficie si dice sviluppabile se può essere distesa su un piano senza distorsioni. Lo sviluppo di un solido consiste nell’aprire la sua superficie con il minimo numero di tagli e nel distenderla su un piano. La superficie piana risultante si chiama sviluppo della superficie. Tutti i solidi delimitati da facce piane sono sviluppabili (figg. 21A e 21B). Lo sviluppo esatto delle superfici curve è limitato a solidi contornati da facce piane e da altre superfici a semplice curvatura come il cono o il cilindro (fig. 21C). Figura 21 – Alcuni sviluppi di solidi elementari

32. Sviluppi approssimati, ma sufficientemente precisi, per certe applicazioni pratiche possono essere ottenuti per alcune superfici teoricamente non sviluppabili come quelle a doppia curvatura (ad esempio la sfera o un iperboloide). L’operazione di sviluppo è di fondamentale importanza per il progetto di tutte le opere di carpenteria metallica realizzate in lamiera, quali tubi, serbatoi o elementi di scafo. Altri esempi usuali di applicazioni dello sviluppo di superfici si hanno nelle fabbricazioni di scatole, di contenitori conici o cilindrici, nonché nello studio di pezzi imbutiti. Per la costruzione di tali elementi si parte infatti da una lamiera piana che, in seguito ad opportune lavorazioni, dovrà realizzare la forma desiderata. E’ evidente quindi la necessità di conoscere lo sviluppo per il tracciamento sulla lamiera del contorno esatto della superficie da ritagliare.

33. Sviluppo di poliedri Tutti gli sviluppi sono effettuati tenendo presente la regola generale che i lati della figura sviluppata e quelli corrispondenti del solido di origine devono avere la stessa lunghezza. Lo sviluppo di poliedri richiede il taglio lungo spigoli appropriati e la distensione sul piano; questo significa determinare la vera forma di tutte le facce che delimitano il poliedro e unire queste in sequenza lungo gli spigoli comuni. La figura 22 indica la costruzione da seguire per la rappresentazione dello sviluppo di un parallelepipedoretto. Figura 22 – Sviluppo della superficie di un parallelepipedo a base rettangolare eseguita col taglio lungo gli spigoli AD, DC, CB, DH, EH, HG, FG

34. Nella figura 23 il parallelepipedo è sezionato da un piano inclinato rispetto al p.o. e perpendicolare al p.v.. Poiché nella costruzione dello sviluppo gli spigoli dei solidi prismatici devono essere considerati nella loro grandezza reale, è opportuno far uso di una vista ausiliaria in modo che sia possibile misurare la vera grandezza di tutti gli spigoli. Figura 23 - Sviluppo di un tronco obliquo di prisma retto a base rettangolare; una volta ottenuta la vista ausiliaria, si riportano sulla linea di terra i punti 4, 1, 2, 3 e 4 che individuano consecutivamente i lati della base rettangolare; per tali punti si innalzano le verticali, che verranno intersecate dalle linee orizzontali condotte per i punti D”≡A” e B”≡C”, in modo da individuare tutti i punti del contorno superiore del solido. Perpendicolarmente al lato obliquo CD si riportano infine i lati CB=C1B1 e DA=D1A1

35. Una piramideconsta di facce triangolari, tutte concorrenti nel vertice. Determinata quindi la vera forma delle facce laterali, si ottiene facilmente lo sviluppo della piramide, come in figura 24. Figura 24 - Sviluppo di una piramide retta a base quadrata; la superficie della piramide è composta da un quadrato e da quattro triangoli isosceli inclinati e col vertice in comune; per determinare la vera lunghezza dello spigolo della piramide è sufficiente ribaltare lo spigolo nel piano del disegno, centrando in V1, con raggio V1P1, fino a determinare il punto P1’. Questo punto, proiettato sul p.v., darà origine al punto P2’, e il segmento V2P2’ determinerà cosi la reale lunghezza dello spigolo V2P2. Con raggio R corrispondente a tale lunghezza si descrive un arco di circonferenza e su di esso si riporta per 4 volte la corda corrispondente allo spigolo di base del solido

36. La figura 25 mostra lo sviluppo del tronco di piramide. Figura 25 - Sviluppo di un tronco di piramide retta. Bisogna innanzi tutto ricavare le vere dimensioni di ogni elemento dello sviluppo: in questo caso l’operazione è resa più semplice dalla simmetria dell’oggetto. Con centro in F sul p.v. si ruota il segmento che rappresenta lo spigolo portando B in B’: ilsegmento FB’ nel p.o. rappresentala vera lunghezza dello spigolo FB; gli altri segmenti paralleli al p.o. o al p.v. appaiono già in vera grandezza. Per trovare la vera forma del trapezio BCGF si ricorre alla linea ausiliaria GI: portando il segmento GI sul p.v. parallelo alla lt, si individua il punto I’ che consente sul p.o. la costruzione della vera lunghezza di GI (data dal segmento HI’). In modo analogo si ricava la lunghezza effettiva del segmento HJ. Immaginando quindi di tagliare la superficie secondo gli spigoli AE, BF, CG, DH e posizionando sul piano di sviluppo il rettangolo EFHG, con centro nei suoi vertici si tracciano archi di raggio FB’, che vengono intersecati dalle parallele ai lati del rettangolo da essi distanti rispettivamente GI’ e HJ’, ricavando in tal modo i vertici A, B, C e D

37. Sviluppo di cilindri Lo sviluppo di un cilindro retto, a sezione circolare, è semplicemente un rettangolo avente la base eguale al perimetro di base ed altezza eguale all'altezza del cilindro (fig. 27). Figura 27 – Sviluppo di un cilindro retto 2π r

38. Se il cilindro è delimitato da una faccia piana che è obliqua (fig. 28), si può procedere ad una costruzione approssimata, dividendo la circonferenza di base del cilindro in n parti (ossia usando n piani ausiliari diametrali) L’approssimazione è tanto maggiore quanto più numerose sono le divisioni della base. Figura 28 - Prima di determinare lo sviluppo, si rappresenta la vera forma della faccia superiore; a tale scopo si divide la circonferenza di base del cilindro adesempio in 12 parti uguali e si riportano nella vista ausiliaria i segmenti BC, DE, ecc. uguali rispettivamente ai segmenti 2‑12, 3‑11, ecc., fino a costruire l’ellisse per punti. Il lato di base dello sviluppo della superficie, di lunghezza eguale a πd, viene diviso nello stesso numero di parti uguali e ad ogni divisione si innalza la generatrice corrispondente, che viene troncata con le corrispondenti proiezioni dal p.v.

39. Sviluppo di coni Un cono retto (o un tronco di cono retto a basi parallele) può essere sviluppato esattamente secondo un settore circolare avente raggio pari alla generatrice del cono (fig. 29). L'angolo al vertice dello sviluppo è: α = 360 r / l (gradi) o α = 2π r / l (radianti), dove r è il raggio del cerchio di base ed l la lunghezza della generatrice del cono. Figura 29 – Sviluppo di un cono di raggio r avente generatrice di lunghezza l

40. La figura 30 illustra il metodo per ricavare lo sviluppo di un cono retto, tagliato da un piano non parallelo alla base. Figura 30 - Sviluppo di un cono tagliato con un piano non parallelo alla base. Innanzitutto si determina la proiezione della sezione sul p.o.. Utilizzando linee radiali equamente spaziate, la vista in pianta viene divisa in parti eguali che vengono ritrovate sul prospetto sotto forma di generatrici del cono. …

41. (segue fig. 30) Utilizzando una serie di piani secanti orizzontali a, b, c, ... è possibile determinare sulla pianta i punti A, B, C, ... che le linee radiali intercettano a partire dai corrispondenti punti del prospetto, ottenendo la proiezione in pianta della figura ellittica di intersezione col piano. Lo sviluppo si ottiene riportando un arco di apertura 360 r / l (in gradi) e raggio l diviso nello stesso numero di parti del cono; su ogni linea radiale siriportano i segmenti 1A, 2B, ecc. in vera lunghezza (determinabile con il procedimento già ripetutamente visto), ottenendo lo sviluppo. E’ possibile infine costruire la vera forma della sezione, tenendo presente che è ellittica, con l’asse maggiore uguale ad AG del prospetto e l’asse minore uguale al corrispondente asse minore dell’ellisse KC già disegnato in pianta.

42. Norme di riferimento per il Cap. 6

43. Fine Cap. 6