Cap. 6 Sezioni, intersezioni e sviluppi di solidi elementari

1. Cap. 6 Sezioni, intersezioni e sviluppi di solidi elementari Sezioni di solidi elementari

2. Le regole di geometria descrittiva viste trattando delle proiezioni ortografiche trovano applicazione anche nella rappresentazione di solidi geometrici tagliati da piani di sezione. Nei casi più semplici il piano di sezione è parallelo ad uno dei piani fondamentali (e quindi perpendicolare agli altri due). In questo caso la vera forma della sezione è quella fornita dalla proiezione sul piano di proiezione parallelo al piano di sezione. Nel caso, invece, in cui il piano di sezione sia perpendicolare ad un piano fondamentale e inclinato rispetto agli altri due oppure inclinato rispetto ai tre piani fondamentali di proiezione, bisognerà ricorrere a proiezioni ausiliarie per ottenere la vera forma della sezione, come precedentemente illustrato (cfr. Cap. 3).

3. Solidi non assialsimmetrici Se il solido considerato è prismatico o è una piramide, ricorrendo ai concetti precedentemente illustrati le viste del solido sezionato si possono ottenere partendo semplicemente dalle intersezioni del piano di sezione con le superfici del solido. In particolare la sezione sarà un poligono i cui vertici si ottengono determinando le intersezioni del piano sezionante con gli spigoli del solido. L’operazione è molto semplice se il piano sezionante è ortogonale a uno dei piani principali.

4. Ad esempio, nel caso del prisma di figura 1, una volta tracciato nella vista in piantailpiano di sezione M‑M (individuato mediante le sue tracce sul p.o. e sul p.l.), si determinano le linee di intersezione del piano con le superfici del prisma nella vista principale; queste linee di intersezione costituiranno le linee di contorno della sezione (che vengono chiamate anche linee d’ambito di sezione). L’area della sezione viene evidenziata con il tratteggio. Figura 1 – Sezione di un prisma cavo avente l’asse perpendicolare al p.o., mediante un piano M-M perpendicolare al p.o.

5. Nel caso della figura 2 il piano di sezione è inclinato rispetto a due piani di proiezione, anche se è perpendicolare al piano principale. La determinazione delle linee di contorno delle sezioni sia nella pianta che nella vista laterale è abbastanza semplice, però si tenga presente che nessuna di queste rappresentazioni dà la vera forma della sezione stessa, e quindi converrebbe fare riferimento ad una vista ausiliaria sulla quale costruire la sezione. La vera forma della sezione può comunque essere determinata con la stessa costruzione delle figg. 25b e 26 del Cap. 3 sulle proiezioni ortografiche. Figura 2 – Sezione di un solido perpendicolare al p.o., con la base a forma di T, mediante un piano t2 perpendicolare al p.v. e inclinato di α rispetto al p.o.

6. Solidi assialsimmetrici • Particolare interesse pratico hanno le sezioni piane di solidi assialsimmetrici, • come il cono o il cilindro. • Nel caso del cilindro, possiamo avere tre casi (fig. 3): • se il piano di sezione è parallelo all’asse del cilindro, si ottiene una sezione rettangolare; • se il piano di sezione è normale all’asse del cilindro, si ottiene una sezione circolare; • se il piano di sezione è inclinato rispetto all’asse del cilindro, si ottiene una sezione ellittica. • Figura 3 – Sezioni di un cilindro • con un piano: • piano parallelo all’asse, sezione rettangolare; • piano perpendicolare all’asse, sezione circolare; • piano inclinato rispetto all’asse, sezione ellittica

7. La figura 4 mostra la proiezione di un cilindro cavo sezionato con un piano parallelo all’asse, ... Figura 4 – Sezione di un cilindro cavo con un piano t2 parallelo all’asse

8. ... mentre nella figura 5 il piano di sezione è inclinato rispetto all'asse, e quindi si è fatto ricorso ad una vista ausiliaria per ottenere la reale forma della sezione. Figura 5 – Sezione di un cilindro con un piano inclinato di 45° rispetto all’asse. Per la vera forma della sezione occorre una vista ausiliaria

9. Sezionando un cono con un piano si ottiene come intersezione una curva la cui • forma dipende dalla posizione del piano sezionatore rispetto all’asse del cono (fig. • 6A): • se il piano di sezione è perpendicolare all’asse del cono, si ottiene come contorno una circonferenza (fig. 6B); • se il piano forma con l’asse del cono un angolo minore di 90°, ma maggiore della semiapertura del cono, si ottiene una ellisse (fig. 6C); • se l’angolo è esattamente uguale alla semiapertura del cono (cioè parallelo ad una generatrice), si ottiene una parabola (fig. 6D); • infine, se il piano forma con l’asse del cono un angolo minore della semiapertura, si otterrà una iperbole (fig. 6E). Figura 6 – Sezione di un cono con un piano

10. Nella figura 7 è indicata, per un cono retto, la costruzione della sezione ellittica, ottenuta quindi con un piano α perpendicolare al piano verticale ed inclinato rispetto all’asse del cono di un angolo minore di 90°. Figura 7 – Sezione ellittica di un cono retto con un piano inclinato rispetto all’asse

11. A tal fine si assumono come piani ausiliari dei piani paralleli al p.o.. Uno di questi, quello la cui traccia sul p.v. è indicata con β, intersecherà, nel p.v., il piano di sezione in un punto B2 e la superficie conica nel punto B’2. Inoltre, essendo il piano β perpendicolare all’asse del cono, la sua intersezione col cono sarà una circonferenza C1, che può essere proiettata sul p.o. (dove è rappresentata in figura solo per la parte a destra del segmento B1B’1). Da B2 si conduce la perpendicolare alla lt, determinando i punti B1 e B’1, intersezioni con la circonferenza C1. I due punti trovati appartengono al piano di sezione α, in quanto appartenenti anche alla superficie laterale del cono, e sono punti della circonferenza di intersezione del cono col piano ausiliario β. Ripetendo la costruzione per un numero sufficiente di punti, si otterrà la curva completa in pianta. Procedendo con i metodi già studiati, sarà poi possibile riportare i punti della curva anche nella vista laterale. Infine, sempre con le regole per la determinazione della vera forma di una figura piana precedentemente esposte, è possibile ottenere la vera forma della figura su un piano ausiliario. Le figure 8 e 9 riportano le costruzioni per ottenere le sezioni di un cono con un piano parallelo a una generatrice o all’asse del cono, ottenendo rispettivamente una parabola e una iperbole.

12. Figura 8 – Sezione parabolica di un cono retto con un piano parallelo alla generatrice

13. Figura 9 – Sezione iperbolica di un cono retto con un piano parallelo all’asse

14. Sezionando una sferacon un piano parallelo al p.o. (fig. 10) si ottiene un cerchio, che si vedrà in vera forma nella vista in pianta. Figura 10– Sezione di sfera con un piano orizzontale: si ottiene un cerchio

15. B3 Se invece il piano di intersezione ha una giacitura perpendicolare al p.v. ma non parallela al p.o. (fig. 11), si otterrà sul p.o. (o su quello laterale) un’ellisse, la cui costruzione può essere effettuata con la stessa procedura seguita per determinare la sezione ellittica di un cono retto con un piano inclinato rispetto all’asse (ved. fig. 7). In vera forma si avrà ovviamente ancora un cerchio. A3 Figura 11– Sezione di sfera con un piano inclinato: in vera grandezza si ottiene sempre un cerchio, che si proietta sui piani principali come ellisse

16. Compenetrazione di solidi

17. Un problema grafico che si presenta molte volte nella rappresentazione di • componenti meccanici consiste nella determinazione delle linee di intersezione • di parti solide o cavità. • Il problema non ha solo interesse geometrico, ma trova applicazione pratica in • diversi rami dell’ingegneria: basti pensare alle ramificazioni di condotte, nel • campo impiantistico, oppure al caso di pezzi attraversati da scanalature o da fori • che possono essere appunto considerati come solidi cavi. • Ai fini della determinazione delle line di intersezione, è opportuno distinguere i • casi di compenetrazione tra: • compenetrazioni tra solidi prismatici (in questo caso tutte le intersezioni tra facce piane sono linee rette), • compenetrazioni tra solidi prismatici e solidi di rivoluzione, • compenetrazioni tra solidi di rivoluzione (che ricorre di frequente in connessioni di tubature o innesti di condotte in contenitori cilindrici o prismatici).

18. Per il tracciamento delle linee di intersezione di solidi compenetrati esistono diverse metodologie. Solitamente, comunque, le curve di intersezione si tracciano per punti: si determina cioè un numero sufficiente di punti appartenenti contemporaneamente a entrambe le superfici dei solidi compenetrati; i punti vengono poi uniti con segmenti o curve a seconda dei casi. La curva risultante dall’intersezione di due solidi, chiamata figura di intersezione, osemplicemente intersezione, risulterà quindi spesso approssimata.

19. Compenetrazione tra solidi prismatici L’intersezione fra due piani è un segmento di retta: quindi, se due solidi sono compenetrati da solidi delimitati da facce piane, la figura di intersezione sarà composta da segmenti di retta. La figura 12 mostra le proiezioni ortogonali di un prisma retto a base quadrata con un foro quadrato, considerabile quindi come l’intersezione del prisma con un altro prisma ancora a base quadrata. La costruzione geometrica delle linee di intersezione può avvenire a partire dal prospetto e dalla pianta; i punti B3 = A3, B’3 = A’3 della vista laterale si ottengono come proiezioni di punti gia definiti nel primo e secondo piano di proiezione. Nelle figure 13 e 14 si hanno costruzioni analoghe con diverse posizioni dei prismi. Figura 12 – “Intersezione” di un prisma retto con un foro prismatico

20. Figura 13 – Intersezione di due prismi retti ortogonali Figura 14 – Intersezione di prismi retti ad assi sghembi

21. Compenetrazione tra solidi prismatici e di rivoluzione Nella figura 15 è illustrato il disegno della compenetrazione tra un cilindro ad asse verticale e un prisma retto a sezione quadrata, ad asse orizzontale. In questo caso la linea di intersezione in pianta è definita da due archi di circonferenza. Le intersezioni tra le facce a e a’ del prisma col cilindro sono i segmenti A2B2 e C2D2, che si ottengono mandando le linee di richiamo da A1≡B1 e C1 ≡D1 sino ad intersecare le tracce dei piani b e b’. Sul p.l. ritroviamo i segmenti A3B3 e C3D3. Figura 15 – Intersezione fra un cilindro e un prisma retti ad assi ortogonali

22. Se il cilindro è ad asse orizzontale ed interseca il prisma ad asse verticale come in figura 16, le intersezioni sono dei tratti di curva. La figura illustra il procedimento per tracciare le intersezioni sul prospetto avendo già tracciato il profilo e la pianta. In questo caso si possono prendere dei punti qualsiasi sul cilindro nel p.l., come A3, B3, C3 e D3, e disegnare le linee di richiamo nel p.o., determinando i punti corrispondenti A2, B2, C2 e D2; le intersezioni corrispondenti delle linee di richiamo sul p.v. consentiranno la costruzione per punti delle due curve di compenetrazione sul prospetto. Figura 16 – Intersezione fra un prisma verticale e un cilindro orizzontale

23. Le figure 17 e 18 chiariscono altri procedimenti per ottenere le linee di compenetrazione tra solidi prismatici e di rivoluzione. Figura 17 – Il taglio trasversale può essere considerato come un prisma che interseca il cilindro Figura 18 – Il pezzo rappresentato può essere considerato come sovrapposizione di un cilindro e di un prisma a facce arrotondate oppure, come in questo caso, come intersezione fra cilindro e prisma

24. Un esempio tipico di intersezione tra un tronco di cono e un elemento prismatico è costituito dalla scanalatura della testa di una vite (fig. a). Figura a – La scanalatura della testa di una vite rappresenta un esempio tipico di intersezione tra un tronco di cono e un elemento prismatico. Dopo aver costruito il prospetto e la pianta, le intersezioni corrispondenti nel p.l. consentiranno la costruzione della linea A3B3

25. Un altro semplice esempio di questo tipo di compenetrazione è rappresentato dalla punta della matita prismatica sulla quale risulta ben visibile una curva di compenetrazione ottenuta dall’intersezione di un cono e un prisma esagonale (fig. b). Figura b – Nell’estremità di una matita si ha l’intersezione di un prisma esagonale con un cono. Per determinare le curve di intersezione, dal vertice V del cono si conducono alcune generatrici, quali a, b, c, d, fino ad incontrare la linea di intersezione dei due solidi nei punti 1, 2, 3, 4. Da questi punti si conducono delle linee verticali fino ad incontrare la proiezione circolare della base del cono nei punti 1’, 2’, 3’, 4’. Congiungendo questi punti col centro della circonferenza, si intercettano sull’esagono inscritto nella circonferenza i punti 1”, 2”, 3”, 4”, da cui si fanno partire delle linee verticali, le cui intersezioni con le generatrici di partenza danno i punti 1’’’, 2’’’, 3’’’, 4’’’ cercati

26. Una intersezione simile, fra un prisma retto ed un cono di grande apertura, si ha nei dadi esagonali (fig. c). Figura c – Anche in un dado si trova l’intersezione fra prisma esagonale e cono. La costruzione delle curve di intersezione è analoga al caso precedente. A partire dal vertice del cono si conducono alcune generatrici a piacere fino ad incontrare la linea orizzontale a, considerata come proiezione della base del cono. Dai punti di intersezione, si conducono delle linee verticali, fino ad incontrare la proiezione circolare della base del cono nei punti A1’ e B1’. I punti della curva di intersezione si determinano come nel caso precedente

27. Compenetrazione tra solidi di rivoluzione La figura 19 mostra casi di intersezioni frequenti tra cilindri. Nei cilindri che si intersecano ortogonalmente, quando i raggi dei due solidi sono molto differenti, si preferisce l’approssimazione con un segmento (a); se la differenza è meno elevata, la curva di intersezione è approssimata da un arco di raggio r uguale al raggio del cilindro maggiore (b); nel caso di cilindri di eguale diametro, le linee di intersezione degenerano in segmenti di retta (d, f). In tutti gli altri casi, si preferisce far uso di semplici costruzioni per l'ottenimento della curva. A questo proposito è possibile usare il metodo delle generatrici (altri metodi sono il metodo dei piani ausiliari e il metodo delle sfere ausiliarie). Figura 19 – Intersezioni fra cilindri: alcune rappresentazioni vengono semplificate

28. Metodo delle generatrici Le linee di intersezione si tracciano per punti, individuando le generatrici del cilindro di diametro minore e determinando i punti di intersezione tra i due cilindri nelle diverse viste. Tipico è il caso di un cilindro attraversato da un foro (fig. 20). I punti delle linee di intersezione nella terza vista sul p.l. vengono determinati scegliendo a piacere alcuni punti sulle generatrici A, B e C del cilindro di diametro minore (foro) sul p.o. e sul p.v.. Proiettando i punti sul p.l., si ottengono le linee di intersezioni dei due solidi. Figura 20 – Ricerca della intersezione tra due cilindri col metodo delle generatrici

29. Sviluppi di solidi

30. Generalità Una superficie si dice sviluppabile se può essere distesa su un piano senza distorsioni. Lo sviluppo di un solido consiste nell’aprire la sua superficie col minimo numero di tagli e nel distenderla su un piano. La superficie piana risultante si chiama sviluppo della superficie. Tutti i solidi delimitati da facce piane sono sviluppabili (figg. 21A e 21B). Lo sviluppo esatto delle superfici curve è limitato a solidi delimitati da facce piane e da superfici a semplice curvatura come il cono o il cilindro (fig. 21C). Figura 21 – Alcuni sviluppi di solidi elementari

31. Sviluppi approssimati, ma sufficientemente precisi, per certe applicazioni pratiche possono essere ottenuti per alcune superficie teoricamente non sviluppabili come quelle a doppia curvatura (ad esempio la sfera o un iperboloide). Un’operazione di sviluppo è di fondamentale importanza per il progetto di tutte le opere di carpenteria metallica realizzate in lamiera, quali tubi, serbatoi o elementi di scafo. Altri esempi usuali di applicazioni dello sviluppo di superficie si hanno nelle fabbricazioni di scatole, di contenitori conici o cilindrici, nonché nello studio di pezzi imbutiti. Infatti, per la costruzione di tali elementi si parte da una lamiera piana che, con opportune lavorazioni, dovrà realizzare la forma desiderata. E’ evidente quindi la necessità di conoscere lo sviluppo per il tracciamento sulla lamiera del contorno esatto della superficie da ritagliare.

32. Sviluppo di poliedri Tutti gli sviluppi sono effettuati tenendo presente la regola generale che i lati della figura sviluppata e quelli corrispondenti del solido di origine devono avere la stessa lunghezza. Lo sviluppo di poliedri richiede il taglio lungo spigoli appropriati e la distensione sul piano; questo significa determinare la vera forma di tutte le facce che delimitano il poliedro e unire queste in sequenza lungo gli spigoli comuni. La figura 22 indica la costruzione da seguire per la rappresentazione dello sviluppo di un parallelepipedoretto. Figura 22 – Sviluppo della superficie di un parallelepipedo a base rettangolare eseguita col taglio lungo gli spigoli AD, DC, CB, DH, EH, HG, FG

33. Nella figura 23 il parallelepipedo è sezionato da un piano inclinato rispetto al p.o. e perpendicolare al p.v.. Poiché nella costruzione dello sviluppo gli spigoli dei solidi prismatici devono essere considerati nella loro grandezza reale, è opportuno far uso di una vista ausiliaria in modo che sia possibile misurare la vera grandezza di tutti gli spigoli. Figura 23 - Sviluppo di un tronco obliquo di prisma retto a base rettangolare; una volta ottenuta la vista ausiliaria, si riportano sulla linea di terra i punti 4, 1, 2, 3 e 4 che individuano consecutivamente i lati della base rettangolare; per tali punti si innalzano le verticali, che verranno intersecate dalle linee orizzontali condotte per i punti D”≡A” e B”≡C”, in modo da individuare tutti i punti del contorno superiore del solido. Perpendicolarmente al lato obliquo CD si riportano infine i lati CB=C1B1 e DA=D1A1

34. Una piramideconsta di facce triangolari, tutte concorrenti nel vertice. Determinata quindi la vera forma delle facce laterali, si ottiene facilmente lo sviluppo della piramide, come in figura 24, ... Figura 24 - Sviluppo di una piramide retta a base quadrata; la superficie della piramide è composta da un quadrato e da quattro triangoli isosceli inclinati e col vertice in comune; per determinare la vera lunghezza dello spigolo della piramide è sufficiente ribaltare lo spigolo nel piano del disegno, centrando in V1, con raggio V1P1, fino a determinare il punto P1’. Questo punto, proiettato sul p.v., darà origine al punto P2’, e il segmento V2P2’ determinerà cosi la reale lunghezza dello spigolo V2P2. Con raggio R corrispondente a tale lunghezza si descrive un arco di circonferenza e su di esso si riporta per 4 volte la corda corrispondente allo spigolo di base del solido

35. ... o del tronco di piramide, come in figura 25. Figura 25 - Sviluppo di un tronco di piramide retta. Bisogna innanzi tutto ricavare le vere dimensioni di ogni elemento dello sviluppo: in questo caso l’operazione è resa più semplice dalla simmetria dell’oggetto. Con centro in F sul p.v. si ruota il segmento che rappresenta lo spigolo portando B in B’: ilsegmento FB’ nel p.o. rappresentala vera lunghezza dello spigolo FB; gli altri segmenti paralleli al p.o. o al p.v. appaiono già in vera grandezza. Per trovare la vera forma del trapezio BCGF si ricorre alla linea ausiliaria GI: portando il segmento GI sul p.v. parallelo alla lt, si individua il punto I’ che consente sul p.o. la costruzione della vera lunghezza di GI (data dal segmento HI’). In modo analogo si ricava la lunghezza effettiva del segmento HJ. Immaginando quindi di tagliare la superficie secondo gli spigoli AE, BF, CG, DH e posizionando sul piano di sviluppo il rettangolo EFHG, con centro nei suoi vertici si tracciano archi di raggio FB’, che vengono intersecati dalle parallele ai lati del rettangolo da essi distanti rispettivamente GI’ e HJ’, ricavando in tal modo i vertici A, B, C e D

36. Un prisma può essere sviluppato rapidamente ricordando che una sezione, effettuata con un piano perpendicolare a tutti gli spigoli, taglia il prisma secondo una linea pure perpendicolare a tutti gli spigoli. Tale linea, detta perimetrale, ha lunghezza eguale al perimetro. Se si dispone il prisma in modo da avere una vista (ad esempio la pianta) perpendicolare all’asse del prisma, questa rappresenta in vera forma ogni sezione retta. Il perimetro è allora derivabile da tale vista. Sviluppando il prisma di fianco al prospetto, si determinano gli spigoli in vera lunghezza. La figura 26 mostra il caso di un prisma retto con basi oblique. Come sempre il taglio deve essere effettuato lungo lo spigolo più corto. Figura 26 – Sviluppo di un prisma retto con basi oblique

37. Sviluppo di cilindri Lo sviluppo di un cilindro retto, a sezione circolare, è semplicemente un rettangolo avente la base eguale al perimetro di base ed altezza eguale all'altezza del cilindro (fig. 27). Figura 27 – Sviluppo di un cilindro retto 2π r

38. Se il cilindro è delimitato da una faccia obliqua (fig. 28), si può procedere ad una costruzione approssimata, dividendo la circonferenza di base del cilindro in n parti. L’approssimazione è tanto maggiore quanto più numerose sono le divisioni della base. Figura 28 - Prima di determinare lo sviluppo, si rappresenta la vera forma della faccia superiore; a tale scopo si divide la circonferenza di base del cilindro adesempio in 12 parti uguali e si riportano nella vista ausiliaria i segmenti BC, DE, ecc. uguali rispettivamente ai segmenti 2‑12, 3‑11, ecc., fino a costruire l’ellisse per punti. Il lato di base dello sviluppo della superficie, di lunghezza eguale a πd, viene diviso nello stesso numero di parti uguali e ad ogni divisione si innalza la generatrice corrispondente, che viene troncata con le corrispondenti proiezioni dal p.v.

39. Sviluppo di coni Un cono retto (o un tronco di cono retto a basi parallele) può essere sviluppato esattamente secondo un settore circolare avente raggio pari alla generatrice del cono (fig. 29). L'angolo al vertice dello sviluppo è: α = 360 r / l (gradi) o α = 2π r / l (radianti), dove r è il raggio del cerchio di base ed l la lunghezza della generatrice del cono. Figura 29 – Sviluppo di un cono di raggio r avente generatrice di lunghezza l

40. La figura 30 illustra il metodo per ricavare lo sviluppo di un cono retto, tagliato da un piano non parallelo alla base. Figura 30 - Sviluppo di un cono tagliato con un piano non parallelo alla base. Innanzitutto si determina la proiezione della sezione sul p.o.. Utilizzando linee radiali equamente spaziate, la vista in pianta viene divisa in parti eguali che vengono ritrovate sul prospetto sotto forma di generatrici del cono. …

41. (segue fig. 30) Utilizzando una serie di piani secanti orizzontali a, b, c, ... è possibile determinare sulla pianta i punti A, B, C, ... che le linee radiali intercettano a partire dai corrispondenti punti del prospetto, ottenendo la proiezione in pianta della figura ellittica di intersezione col piano. Lo sviluppo si ottiene riportando un arco di apertura 360 r / l (in gradi) e raggio l diviso nello stesso numero di parti del cono; su ogni linea radiale siriportano i segmenti 1A, 2B, ecc. in vera lunghezza (determinabile con il procedimento già ripetutamente visto), ottenendo lo sviluppo. E’ possibile infine costruire la vera forma della sezione, tenendo presente che è ellittica, con l’asse maggiore uguale ad AG del prospetto e l’asse minore uguale al corrispondente asse minore dell’ellisse KC già disegnato in pianta.

42. Norme di riferimento per il Cap. 6

43. Fine Cap. 6